浙江2025届高考数学一轮复习 综合检测二（含解析）

综合检测二

（时间：120分钟满分：150分）

第I卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.已知集合4={x|—2〈水2},5=己知集-1）20},则4G（腹面等于（）

A.U|0<^<2}B.{x|0WxG}

C.{x\0<^<l}D.{x|—l〈x<0}

答案C

解析,:B={x\x{x~V）>0}={x|x21或xWO},

.•.[R8={X|0<X<1},

又A={x\~2<x<2},

・・・/n（]R而={x|0〈x〈l},故选C.

2.已知"+/=〃+i（勿,〃£R）,其中i为虚数单位，则勿十刀等于（）

1

A.2B.-2C.4D.-4

答案A

解析方法一由已知得s+3i=i（〃+i）=—l+/7i,

由复数相等可得°所以加+刀=2,故选A.

〃=3,

0+3itn[in——1»

方法二=3+-=3—加，则由已知可得3—〃i=〃+i.由复数相等可得所

11〔〃=3，

以卬+〃=2,故选A.

3.已知乙，12,4是不同的直线，a,£,7是不同的平面，若aCS=h,aC丫=乙,

则是的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若73±7I,h工当人〃心时，不能得出4,。；当73±a时，因为an£=，，aQr

=所以Zua,_ZzUa,所以/3_1_/2.所以“/3_1_，1,Z，/?"是。”的必要

不充分条件.故选B.

4.某学校社团打算从4B,C,D,伤个不同的节目中选3个分别去3个敬老院慰问演出,

在每个敬老院表演1个节目，其中4节目是必选节目，则不同的安排方法共有()

A.24种B.36种C.48种D.64种

答案B

解析从氏C,D,羽个节目中选2个，有C：种选法，将选出的2个节目与/节目全排列,

共有屈种状况，又心点=36,所以不同的安排方法共有36种.

5.函数f(x)=行击二y的大致图象为()

答案C

解析设函数g(x)=x+|lnx|-1(x>0,xWl),

x+lnx-1,x>\,

则g(x)=

x-Inx-1,OU

r,1

l+一，X>1,

X

得(x)=<]

1—，O<X1,

IX

故当X>1时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增，/'(x)单调递减，且F(x)>0；当0<AK1时,g'(x)<0,

函数g(x)单调递减，F(x)单调递增，故选C.

6.已知(l+5)°=a+aix+d2/H--贝I2aH----|-9乃9-10团0等于()

答案D

解析方法一由题意，得功=服・a&=戊・（5）,…，aw=Cw,

■^j2+,,,+9Cio•9o1

贝！Ja\—2为+…+9^9—1OEIO=C；O•,—2Cio,|j-ioc!oIOC9---

10C；•——HOC：­做TOC；­针=5X0-2）.故选D.

方法二对等式（l+9°=ao+aix+a2X2HF/V+aio/两边求导，得5（1+工

=Qx+2改X

+…+9a，+10国0居令x=-1,则ai—2a?+…+9a；）—lOaio=5xgj9,故选D.

7.已知随机变量％1的分布列如下（其中x#y）,贝U（）

才12

22

pXy

Y12

22

pyX

A.£(»=£(£),。⑶=2(。

B.£(»W£(D,。(aWO(»

C.E(a-E(H〉D(X)+〃(D

D.£(与+£(。<巩乃•

答案C

解析£(第=为2+2炉=1+4,

MJ)=2/+y=l+/,

2(2)=y(l-y-l)2+y(2-l-y)2=/y+y(y-l)2=y/,

同理得2(。=//,

••2I2__1•2I2^/22・221

.x+y—1,・・x十..xy

・・・£(»•£(D=(1+y)(1+/)=2+xy>2xy=D{X)+〃(D,

£(m+£(力=3〉+三(9/)2=〃(万・2(口，故选C.

8.已知向量a,6满意|2a+引=3,且4・(a—6)=3,则|a—引的最小值为(

A3镉+5门3镜—5八3m+3八3m—3

A，2B，2―C，2D，2

答案D

解析方法一由a・（a—6）=3,

得[(2a+b)+(a—o)J,(a—Z?)=9,

即(2a+6)・(a—6)+|a—b\2=9,

设2d+6与a—6的夹角为9,

则(2a+6)•(a—6)=12a~\-b\,|a-b\•cos0e[—31a~b\,31a-b\],

所以一31a—b\W9—Ia—b\2^3|a—b\,

解得*wa~b\

所以Ia—引的最小值为对I二。

方法二如图，设。=加，b=MB,

由\2a+b\=3,

21

-a-6

得33=1,

取靠近力的46的三等分点G

>2]»

则J必=谟+鼻6,所以|必|=1.

OO

由a•(a—6)=3,得彤1•0=1.

以园所在直线为x轴，线段加的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,则0

设Z(x,y),则由加•乃=1,得

所以点力的轨迹是以。(0,0)为圆心，勺为半径的圆,

易知点。在该圆内，所以的最小值为写

所以|的最小值为对^~

即|a—引的最小值为对|~

ZZ1

9.已知户为双曲线?一看=1上一点，M,“分别为圆5+犷+/=7及其关于y轴对称的圆

T：0TI

上的两点，则I掰一I河的取值范围为()

A.[-5,5]B.[-5,-3]U[3,5]

C.(-3,3)D.[-3,3]

答案B

1122

解析由题意知，点〃在圆5+3)2+/=彳上，点”在圆(X—上，设双曲线小一看=

1的左、右焦点分别为E,则E(—3,0),兆(3,0),易知月分别为两个圆的圆心，连

接阳，MR,PFz,NF2,则|历|一|姐|小国*|历|+|姐I，|必|一|朋|W|/W|W|〃|+

\NF2\,所以|〃|一|%|—1W|掰阳IT抬|+1,而|阳IT附|=±4,所以一

54掰一|孙但一3或34掰一向W5.

10.如图1,已知正三角形"回的边长为6,。是底边6c的中点，，是46边上一点，且肥=

2,将围着直线力。旋转，在旋转过程中，若加的长度在[标，内改变，如图2,

则点，所形成的轨迹的长度为()

it3兀3五

A.-B.71D-

答案A

解析方法一•••△/以为正三角形，。为死的中点，

J.AOLOB,AO±OC,

.•.28%是二面角8—/。一。的平面角，记/6〃C=%

2

如图，过点，作庞，眼垂足为反连接密贝U庞〃/。，OE=\,OC=3,DE=1Ag2木,

则应一应'+诙+而其中〈龙'•亦=9,

即〈诙，OC)=JI-0,

.•.个=(应+质+击?=庞+击+宓+2质•亦=(2/)2+12+32+2X1X3XCOS{EO,OC)

=22—6cos9,

则比=22—6cosOe[19,22],即COSoG0,-L

JIJIJI

即点c转过的角度为丁一二=/.

236

JIJI

点。的轨迹为以。为圆心，以利为半径的一段圆弧，弧长为3X0=k.

62

方法二•.•△/阿为正三角形，。为况1的中点，

：.AOVOB,AOL0C,

.../6%是二面角8—/。一。的平面角，记/夕.

2

如图，过点，作庞_1阳垂足为其连接幽贝！I庞〃A。，0E=\,0C=3,DE=1Ag20

贝I]Ed=Od+O近一2000E-cos夕=10—6cos9,

在Rt△腔'中，"（2■”+10—6cos6=22—6cos夕，则2d=22—

6cosde[19,22],

1JIJIJI

即cos0e0,-,即点。转过的角度为不--1=7■.

_2」236

兀JI

点C的轨迹为以。为圆心，以利为半径的一段圆弧，弧长为3义0=丁.

b2

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题

中横线上）

11.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的探讨比西方早一千年.在《九章

算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖腌”.已知某“鳖膈”的三视图（单位:

cm）如图所示，则该“鳖席”的体积是cm3.

俯视图

答案10

解析由三视图结合“鳖席”的定义易得该几何体为一个底面为直角边长分别为3,4,高为

5,且顶点在底面的射影为直角三角形中最小的角的顶点，则其体积为3X4X5=10cm'

12.已知等比数列｛%｝的公比力0,前〃项和为S.若2(含一当一a)=2,且勾为为=64,则q

=，Sn=.

n

田心2-l

答案2

解析・.・2(a5—&一&)=&,

2a5=28+3&=2/=2/+3q2q—3。—2=0,

得。=一；(舍去)或0=2.

•&aa=64,・・a=z640a=4,

1小

,15(1-2")20-1

•••&=]，Sn=1―

13.已知x,y满意约束条件,+y—120,则约束条件表示的可行域的面积为

、x—2y+220,

,目标函数z=x—y+3的取值范围为.

答案23]

解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则40,1),庾2,2),?2

易知ACLBC,

则可行域的面积

13

s=]•\AC\'\BC\=-

因为z=x—y+3,所以y=x—z+3,

数形结合知，当直线y=x—2+3与直线以重合时，z取得最大值3,当直线y=x—z+3经

过点/时，z取得最小值2,所以ze[2,3].

14.已知函数/'(x)=|2x—1|,g(x)=|2x+a|(aGR),则不等式/U)(3的解集为；

若不等式+g(x)^6对随意的XGR恒成立，则实数a的取值范围是

答案(—8,-7]U[5,+8)

解析f(x)W3,即|2x-l|W3,即一3W2x-lW3,

解得一1WxW2,

所以不等式『(x)W3的解集为[—1,2].

因为f(x)+g(x)=[2x—11+12x+a

》12x—1—2x—a\=|a+11,

所以要使不等式f(x)+g(x)26对随意的xGR恒成立，则|a+l|26,解得aW—7或a25.

15.在中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,6=2,A=2B,则sin6

=，c—.

〜或5

答窣―

口木42

解析a=3,b=2,A=2B,

aA

・・・由正弦定理得，

sinZsin夕

即—3—=工

sin28sinF2sia5bos夕sin?

3

•・•£为△28。的一个内角，・・・sin皮0,・・・cos6=],

I-----小

/.sinB=\]1—cosB=^~.

由二倍角公式知，

由33亚

sinA=sin2^=2sin^osB=2X-^X-=-^-f

21

cos/=cos28=2cosB—1=~

o

方法一cosC=cos[兀一(A+JS)]=—cos(Z+而

/.•、9

=—(cosAcosB—sinAsinB)=—,

16

/.c=a!J-2abcosC=-^,c=|-.

方法二Vsin^sinE兀—(/+⑸]=sin(Z+而

15小

=sin/cosB+cos/sin==二I”,

由正弦定理a扁=而5

2,

16.已知x,y,z均为正实数，且满意/+/+22=1,则盯+2"的最大值为

答案坐

解析由已知条件系+/+22=1,

可设1=V+y+(1--A)y+z2,0<几<1,

即得122ylxy~\-2y(1-几)yz,

入纽工2y/1一/1

令一=一---，斛得才=匚，

所以"^灯+耳^72・1,即灯+2彩W申，

UU乙

.r=迎

r、io,

。、历

当且仅当<422即<y=当，时等号成立.

旷Z,2

</+/+/=1,z=^

I5

17.已知函数/"(x)=x+：若对于随意的RGR,方程"(〃+X)1+lfE—x)|=a均有解，则

a的取值范围是.

答案[4,+8)

解析令g(x)=If{m+x)|+|f(m—x)|,

：.g(—x)=|f{m—x)|+|f^m+x)|=g(x),

・・・g(x)是偶函数，设x>0,

①若%>0,

当时，g(x)=(x+4++(/一才)+---=2R+/+---=2勿+:必2>2(E+1]24；

当x>勿时，g(x)=(x+勿)+]+(x—ni)+~-~=2x+]+~-~=2x+M2>2(x+324.

x-rinx-mx十mx-mx-m\x)

②若成0,则一E>0,

当x<-s时，g{x)——(x+4-—;—-{m—x)-—--

x十mm-x

<1,021n

=—2m—।+=—2m——--2

\jn-\-xm—x)m—x

>2-24；

L(一初

当x>一〃时，g。)=(x+血+]+(x-血+―-—=2x+]+—~—=2x+2>2(x+~\

x-rmx-mx-rmx-mx-m\xj

24.

③若勿=0,g(x)=2卜+；)24.

又g(x)是偶函数，，当x<0时，g(x)=g(—x)24.

综上，g(x)24.

・・・要使方程g(x)=》有解，只需石24即可，

J所求3的取值范围是[4,+8).

三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(14分)(2024,台州模拟)设函数f{x}=sin(2x十及j—2，§sinxcosx(x£R).

⑴求函数f(x)的最小正周期及(2)的值；

JI兀

(2)将函数f(x)的图象向右平移行个单位长度，得到函数g(x)的图象，试求g(x)在0,—±

的最小值.

解(1)Ax)=sin(2x+~^")——2<sinxcosx

2TI

所以函数F(x)的最小正周期T=—=兀，

因为问「0,-兀J,所以2叶兀萨降兀—7兀

JI5兀

所以当2x+c="，即户次时,g(x)取最小值,此时g(x)5一L

c

19.(15分)如图，在四棱锥P-力及刀中，如，平面为3,ZABP^12.0°,AB//CD,CABA

AB=B­2,£为/户的中点.

(1)求证：PC〃平面BDE；

(2)求直线应与平面也?所成角的正弦值.

c

⑴证明方法一连接立交物于点尸，连接明

则斯为的中位线，所以EF〃PC,

又EFu平面BDE,P&平面BDE,

所以PC〃平面BDE.

方法二因为AB//CD,AB=CD,

所以四边形ABCD为平行四边形,

所以AD〃BC旦AD=BC,

故可将四棱锥户一46必补形成三棱柱用6—和C,如图，取加的中点0,连接0C,PQ,EQ.

易知制〃砂，DQ^EP,

所以四边形/W为平行四边形，所以DE〃PQ,

又DEu平面BDE,PQt平面BDE,所以户0〃平面〃次

XDQ//AE,DQ=AE,

所以四边形为平行四边形,

所以助〃£0,AD=EQ,

XAD//BC,AD=BC,：.EQ//BC,EQ=BC,

所以四边形BEQC为平行四边形，所以龙〃QC,

又BEu平面BDE,平面〃昭,

所以0c〃平面BDE.

又PQCQC=Q,所以平面PQC//平面BDE.

又用z平面20C,所以PC〃BDE.

⑵解方法一由(1)中方法二可知庞〃尸0,

所以直线座与平面也?所成的角就是直线20与平面R力所成的角，设直线户0与平面PCD

所成的角为明点。到平面户切的距离为4

连接加交物于点凡连接明

易知瓦上镜，PC=2y[2,PQ=y[5,

在中，£>P=2^2=PC,CD=2,

所以Skcw=|'X2X，7=巾，

易知SA(W=]X1,

=

因为Vp-CDQVQ-CDP,

所以可义5X切0义SA6»PXh,

«Jo

恒

所以仁耳.所以sin。=白=：=瞎，

7PQ35

所以直线庞与平面尸口所成角的正弦值为理I

35

方法二在△胡尸中，AB=BP=2,£为"的中点，/ABP=120。,所以庞_L/R

以£为坐标原点，EB,谟I的方向分别为x,y轴的正方向，过点£且平行于庞的直线为z轴，

且物勺方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则£(0,0,0),8(1,0,0),/(0,小,

0),P(0,一小,0),2(1,0,2),

所以防=(1,y[3,2),DC=AB=^,一小,0),ED=(1,0,2),

DC'n=0,

设直线施与平面户少所成的角为9,平面也?的法向量为n=(x,y,z),贝川一

~PD-A=0,

取尸1，得x=小,z=~\[3

所以〃=（/,1,一/）为平面R6的一个法向量,

|z?•诙IM+O—2mlJT而

所以sin。=,

|z?|\ED\巾Xm

所以直线庞与平面产⑦所成角的正弦值为母.

35

20.（15分）已知等差数列｛a｝的前刀项和为S,且瓯=2a+3,2=3,数列｛4｝为等比数列,

6i+6?=10&,坊+7?4=10维

⑴求数列｛a｝,｛4｝的通项公式；

2

⑵若Cn=求数列匕｝的前n项和心,并求使得Tn<A--A恒成

(4-1+1)(4+1)(如1+1)'

立的实数A的取值范围.

解(1)由｛a｝为等差数列可得，

&=石1+乃2+&=3@2=3,石2=1.

由&〃=2劣+3可得&=24+3,

故1=24+3,解得团=—1.

所以数列｛品｝的公差4=均一乃1=1一(-1)=2,

所以an=a\+(/?—1)d=-1+2(〃-1)=2〃-3.

故&=2X3—3=3,56=2X6—3=9.

设等比数列｛4｝的公比为q,

则由已知可得Z?i+&=10«a3=30,益+64=10a=90.

2

故Z?I+&=Z?I+Z?IX3=30,解得61=3.

所以数列｛4｝的通项公式为4=3义3"一1=3：

⑵由（1）可知,以

(3〃T+1)(3”+1)(3”+I+1)

—3〃+1(3L1+1)(3什1+1)

__3(11)

=3"+1X礼L+厂产+“

_3T11

=豆(3"7+1)(3"+1)一(3"+l)(3"+i+1)_'

所以北=。1+。+…+c〃

=4—

—8(2X44X10^^8^4X1010X28)

11

+1)(3"+1)—(3"+1)(3"|+1)_

=号二—一一+…十

W2X44X104X1010X28

1_______________1

(3"f+1)(3"+1)—(3"+1)(3什1+1)_

_3T^__________1

=&2X4-(3〃+1)(3"+】+1)_

_3T11

二必—(3”+1)(3什1+1)_,

1313

因为(3〃+1)(3〃+/1)〉°'所以7L<ixi=^'

113

故由恒成立可得左前

161664

即64几2—44—320,也就是(44—1)(164+3)20,

31

或

解得1W12

A-A4-

16

21.(15分)如图，已知在平面直角坐标系x分中，抛物线E,x-=2"(0>0)的焦点厂是椭圆C-.

£~+/=1的一个焦点.

(1)求抛物线£的方程;

⑵设尸是£上的动点，且位于第一象限，抛物线£在点尸处的切线，与椭圆C交于不同的两

4

点4B,直线尸一勺与过点?且垂直于x轴的直线交于点必做与直线,交于点〃

①求证：直线的平分线段48；

②若直线/与y轴交于点G,记△加G的面积为S,A/W的面积为S,是否存在点户，使得

微取得最小值？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

02

(1)解依据题意,

所以抛物线£的方程为/=2y.

(2)①证明设F\ni,yj(m>0),

由f=2y可得/=x,所以直线/的斜率为如

22

因此直线1的方程为y—^=m（x—ni）,即y=mx—^.

设/(xi,yi),B(X2,㈤，

mx——,

得(3勿2+4)/—3zz73^+-p—3=0,

所以X\+X2—3^+4,

又6,勺所以。〃的方程为尸一暴

由R2得直线加与1的交点的横坐标为

m

y=mx—~,

3niX1+X2

Xn=6/n+8'故苞=2

所以直线/平分线段46.

②解由①知直线1的方程为y=wx—今（0>0）,

所以《0,所以4如曰,《0,；）,

（3m~2my（4、

2W+8,衍力，V一助

所以s=,l研/=；/（着+1）,

“3。+8)2

S2=^\PM\•\m—xD\

=24(3勿,+4)'

S6(3病+4)(病+1)

所以G=―(37+8/一■

令t=3而十■&,则微

2(L"L5)=4O1t40J40,

02

又对于(3/z^+4)3宫x+千3zz一^3=0,/>0,

即(-3勿3)一—4(3加?+4)(一1—3j>0,

所以0<R2<4,所以力=3方+8,；£(百，J),

t\ZUoj

故微不存在最小值，即不存在点只使得微取得最小值.

u)202

22.(15分)已知函数f(x)={ax+2ax+l)e%—2.

⑴探讨F(x)的单调区间；

(2)若水求证：当*20时，f(x)<0.

(1)解因为广(x)=(&^+2〃X+1)e“一2,

所以f'(x)=(@/+4。才+2己+1)/,

令〃(x)=ax+4乃x+2乃+1,

①当3=0时，〃(x)>0,f'(x)>0,

所以F(X)的单调递增区间为(一8,十8).

②当a〉0时，/=(4a)?—4a(2a+l)=4a(2a—1),

(i)当办|时，d>0,令〃(x)=0,得

所以当x£(—8,矛1)U(如+8)时，〃(x)>0,f'(x)>0,

当(xi,当时,〃(x)<0,f'(x)〈0,

(ii)当■时，4W0,所以〃(x)三0,f'(x)20,

所以广(X)的单调递增区间为(一8,十8).

③当水0时，A>0,令〃(x)=0,得

所以当万£(知矛1)时，〃(x)>0,f'(x)>0,

当X£(—8,歪)U(XI,+8)时，〃(£)<0,f1(入)〈0,

所以Ax)的单调递增区间为

1

当

时『co的单调递增区间为1—8,