2024年河北省秦皇岛市某中学中考数学一模试卷

2024年河北省秦皇岛市山海关二中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1〜6小题各3分，7〜16小题各2分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）计算：1-2的结果是（）

A.1B.0C.2D.-1

3.（3分）若等式2冲•x+O=3/y成立，则“代表的单项式可以是（）

A.xyB.fyC.xy1D.x2/

4.（3分）如图，从由相同的小正方体组成的立体图形中取走一个小正方体后，视图不变的是（）

砧

/U

正而

A.左视图B.主视图

C.俯视图D.三视图都改变

5.（3分）如图，C地在A,3两地的中点处，C两地之间的距离为6X1（）6"Z,则48两地之间的距离为

（）

A.3X106/77B.12X1（）6机C.1.2X105mD.1.2X107/T7

6.（3分）如图，在正六边形P1P2P3P4P5P6中,连接P1P5和尸3P5,若要使得到的图形不是轴对称图形，

那么可以连接下列选项中的线段（）

_____p6

3P4

A.P1尸3B.尸2尸5C.P1P4D.P4P6

7.（2分）若p』，则下列各式的值与尸的值一定相等的是（）

IR

2

A.*B.皿C.包D.工

m-2m+22m

8.（2分）数据“3,4,5”的平均数为内，添加下列选项中的数据后得到的新数据的平均数为。2,若

=。2,则添加的数据为（）

A.0B.3C.4D.5

9.（2分）如图1,在正方形卡片上剪掉两个如图2所示大小的三角形，剩余图形中小正方形ABC。的面

10.（2分）若二次函数>=/-4图象的顶点坐标为（0,k）,则在如图中，反比例函数y=—（x>0）（）

11.（2分）综合实践课上，老师让同学们利用尺规作矩形，其中AC为矩形的对角线

①如图1,作AC的垂直平分线，交AC于点。；

②如图2,以点。为圆心，OA的长为半径画圆，连接80并延长，交。。于点D；

③如图3,依次连接A8,BC,DA,得到四边形A8C。

由作图过程可知，判定四边形ABC。为矩形的依据是

A.有三个角为直角的四边形为矩形

B.对角线相等的平行四边形为矩形

C.有一个角为直角的平行四边形为矩形

D.以上都可以

12.（2分）已知两个等式=2,p-3m=-3,贝!Jp-3〃的值为（)

A.3B.-3C.9D.-9

。为AB，ZOBC=60°,若BC=3,则AB（）

A.JTB.2KC.3JTD.4TI

14.（2分）若p］心黑）2-弓）2,Q=d20252-2X2025+1，则关于尸与Q的大小关系正确的是（）

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.以上都不对

15.（2分）秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活.如图1和图2,欣欣通过两

把不同刻度的直尺说明了其中的原因，则由两幅图可得方程（）

024

1直凤I

直咫32

图1图2

A24-9B24=x-10

32-x-10'32"9

c24=9D24=x+10

'至=x+10-32"9

16.（2分）如图，在等边△ABC中，AB=10（不与点B,C重合），过点尸作于点P,交线段

AB于点M,交线段AC于点N,连接MN

嘉嘉：△PNC为直角三角形.

淇淇：当AM=2时，AN=7.

珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于8C的情况.

A.只有嘉嘉正确B.嘉嘉和淇淇正确

C.淇淇和珍珍正确D.三人都正确

二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18〜19小题各4分，每空2分）

17.（2分）若机-2<2024°,写出一个符合条件的正整数机的值：.

18.（4分）如图，直线。与c交于点尸，则N2=.将直线a绕点P逆时针旋转

19.（4分）水下探测器经常用作水下探索和考古工作，如图，探测器在水底发现一古迹建筑，探测器在点

P处时视线下边沿在点B处，上边沿落在点M处，点。在点B正上方，且8,此时探测器视线的下边

沿恰好在点M处，上边沿在点N处.已知MN：8M=1：2.

⑴PB的长为m.

（2）tanZABC=.

A

三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.（9分）如图，A、B、C三个小桶中分别盛有2个、11个、3个小球，将B小桶中部分小球转移到A,

数量如图所示.

（1）求转移后A,C两个小桶的小球的数量和（用含的代数式表示）.

（2）若转移后A,C两个小桶的小球的数量和与B小桶中剩余小球的数量相同，求转移后C小桶的小

球的数量.

A桶B桶C桶

21.（9分）如图，点A,B,C在直线/上，BC=nAB,m,〃满足-3|+（«-2）2=0.

（1）求线段AC的长.

（2）尸为线段始延长线上一点，若以B4,AB,求线段PC的长.

—.--._.-----.—I

PABC

22.（9分）如图1,实验室中存放有A,2两组溶液（均为无色）（HCD和稀硫酸（H2so4）,B组溶液中

的两种碱性溶液分别为氢氧化钠溶液（NaOH）和氢氧化钙溶液（CaQOH）2）.

开始

IoIIUIUIIUIB组僦/

A组B组

图1图2

（1）彤彤从A组溶液中随机选择一瓶溶液，则选中稀盐酸（HCD的概率为.

（2）下面是小杰求”从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（CaC/2）”

的概率的部分过程，帮他补全如图2所示的树状图并完成求解.（提示：稀盐酸与氢氧化钙溶液反应可

生成氯化钙溶液）

23.（10分）在平面直角坐标系中，点A（加，2）,B（m+4,2）,直线-1与y轴相交于点C.

（1）如图1,当A,2关于y轴对称，求左的值.

（2）如图2,当人=-1时，直线y=-X-I与线段存在交点P（不与点A,8重合），求机的取值

范围.

24.（10分）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”.“方田

一段，一角圆池占之”的意思为“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角

的两边相切），在正方形尸中，。。与AE相切于点C

（1）求证：图1中的四边形ACOD为正方形.

（2）在图1中，正方形一条对角线A8与。。相交于点N（点N在点M的右上方），若的长度

为12丈，请求出8N的长度.

操作与探究：

如图2,泽泽在一张正方形的卡片的对角线8D上选取一点。，以点。为圆心，恰好与正方形ABCD的

边相切于点E,请利用（1）（2）

（3）若0B=2\历，聪明的你知道A8的长为多少吗？请直接写出结果.

25.（12分）某景区为方便游客观光，计划建设缆车路线，缆车跨度8千米，X轴表示距离出发点的横向

距离（单位：千米），y轴表示缆车路线距离地面的高度（单位：百米），缆车线路为抛物线Ci：

-2x+9的一部分，缆车路线经过点（2,6）.出于安全考虑修改设计方案如图2所示2,C3均为抛物线

的一部分，且C2,C3关于直线x=4对称，C2最低点的坐标为（2,5）.

（1）求抛物线Ci的表达式.

（2）根据图2中的函数图象解答以下问题：

①求抛物线C2的表达式.

②当尤=7.5时，求y的值.

(3)当图2中的横向距离分别为xi,%2,尤3,取时，缆车路线距离地面的高度y相同，且X4=7XI,请

缆车路线距离地面的高度y.

图1

26.(13分)如图，在等腰RtZkABC中,产为AB边上一点，过点。作

OE_LCF于点E,连接AE.

(1)当NABC=75。时，求证：DC=2DE.

(2)过点/作PGLBC于点G,

①当AP=PG时，求/即C的度数，并直接写出NAFC的度数.

②根据①中的结果猜想/AFC+/EDC=,请证明以上猜想.

(3)若NAM=135°,设AC=d,请直接写出AF的长度(用含d的代数式表示).

A

BC

GD

2024年河北省秦皇岛市山海关二中中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1〜6小题各3分，7〜16小题各2分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）计算：1-2的结果是（）

A.1B.0C.2D.-1

【解答】解：1-2=6+（-2）=-1.

故选：D.

2.（3分）如图，若/1=40°,则/2的度数为（）

【解答】解:如图，

Xz

VZ1=4O°,

・・・N3=N7=40°,

VZ3+Z4=90°,

・・・N5=90°-40°=50°,

・・・N2=180°-Z4=180°-50°=130°,

故选：B.

3.（3分）若等式2孙・x+O=3/y成立，则“O”代表的单项式可以是（）

A.xyB.C.xy2D.x2y2

【解答】解：O=3x2y-4xyx

=3/y-4。

=fy.

故选：B.

4.（3分）如图，从由相同的小正方体组成的立体图形中取走一个小正方体后，视图不变的是（）

正而

A.左视图B.主视图

C.俯视图D.三视图都改变

【解答】解：如图，从由相同的小正方体组成的立体图形中取走一个小正方体后，底层是两个正方形;

主视图和俯视图由原来的两列变为一列.

故选：A.

5.（3分）如图，C地在A,8两地的中点处，C两地之间的距离为6*1。6加，则A,8两地之间的距离为

ACB

A.3X10*6/77B.12X106mC.1.2X105/??D.1.2X107n?

67

【解答】解：根据题意知：AB=2AC=2X7X10ffj=1.6X10»I.

故选：D.

6.（3分）如图，在正六边形P1P2P3P4P5P6中，连接P1P5和尸3P5,若要使得到的图形不是轴对称图形,

那么可以连接下列选项中的线段（)

C.P1P4D.P4P6

【解答】解：连接P1P3,P2P5,P4P4,得到的图象都是轴对称图形；连接P1P4,得到的图形不是轴对

称图形.

故选：C.

7.（2分）若则下列各式的值与尸的值一定相等的是（）

m

2

A.n-2B."2C.包D.

m-2m+22mm2

【解答】解：A、注2不能再化简；

m-2

B、四不能再化简；

m+2

c、2nJl=p,故本选项符合题意;

3mm

2

D、之二（R）4,故本选项不符合题意;

m2%111'

故选：C.

8.（2分）数据“3,4,5”的平均数为m,添加下列选项中的数据后得到的新数据的平均数为〃2,若〃1

=。2,则添加的数据为（）

A.0B.3C.4D.5

【解答】解：“1=左”=5；

3

A、破=3+3+5+0=3,aiW°5,不符合题意；

7

B、°2=-5+。=不符合题意；

84

C、及=「+5+5+4=%ai=°3,符合题意；

2

D、42=。1+5+5+5不符合题意；

84

故选：C.

9.（2分）如图1,在正方形卡片上剪掉两个如图2所示大小的三角形，剩余图形中小正方形ABC。的面

【解答】解：由题意，小正方形的边长=4-3=2,

•••小正方形的面积为1.

故选：A.

10.（2分）若二次函数y=f-4图象的顶点坐标为（0,%）,则在如图中，反比例函数y=K（x>0）（）

【解答】解：..•二次函数y=f-4图象的顶点坐标为（4,-4）,

k—~4,

反比例函数的表示为：y=-i,

X

对于反比例函数y=_t当X=-2时，

X

反比例函数y=E经过点（2,

X

故选：D.

11.（2分）综合实践课上，老师让同学们利用尺规作矩形，其中AC为矩形的对角线

①如图1,作AC的垂直平分线，交AC于点。；

②如图2,以点。为圆心，的长为半径画圆，连接2。并延长，交O。于点

A.有三个角为直角的四边形为矩形

B.对角线相等的平行四边形为矩形

C.有一个角为直角的平行四边形为矩形

D.以上都可以

【解答】解：由作图可知，AO=OC,

四边形ABC。是平行四边形，

9：AC=BD,

，四边形A8CD为矩形,

・・・对角线相等的平行四边形为矩形正确,

故选：B.

12.(2分)已知两个等式机-〃=2,p-3m=-3,则p-3〃的值为()

A.3B.-3C.9D.-9

【解答】解：・.,加-〃=2,

.,.3m-7〃=6①，

■:p-3m=-2②，

・••②+①得：p~3〃=3.

故选：A.

13.（2分）如图，在扇形A05中，。为AB，ZOBC=60°,若8。=3,则AB（

A.TTB.2irC.3TlD.4n

【解答】解：连接OC,

VOC=OB,ZOBC=60°,

•••△03C是等边三角形，

：.ZBOC=60°,0C=BC=3,

•・・c为窟的中点,

ZAOC=ZBOC=60°,

AZAOB=120°,

篇的长=12°兀X3,.

180

故选：B.

14.（2分）若p1心黑）2_（；）2,Q.2025z-2X2025+r则关于尸与。的大小关系正确的是（）

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.以上都不对

【解答】解：P小笔灯号吗3=72025X2024

Q=V20257-2X2025+1=V（2025-7）2W20245，

：2025X2024>20242,

:.P>Q，

故选：A.

15.（2分）秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活.如图1和图2,欣欣通过两

把不同刻度的直尺说明了其中的原因，则由两幅图可得方程（）

0

直凤24直KA9

i11

直他

直尺H3210X

图1图2

A249R24x-10

32x-1032-9

c249D24x+10

32-x+10329

【解答】解：由题意，根据图1和图2,

V直尺A的对应长度分别为24、7,而直尺B的对应长度分别为32,

又结合24对应32,9对应（x-10）,

故选：A.

16.（2分）如图，在等边△ABC中，AB=10（不与点2,C重合），过点尸作于点尸，交线段

于点M,交线段AC于点N,连接

嘉嘉：为直角三角形.

淇淇：当AM=2时，AN=7.

珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于8c的情况.

下列说法正确的是（）

A.只有嘉嘉正确B.嘉嘉和淇淇正确

C.淇淇和珍珍正确D.三人都正确

【解答】解：：△ABC是等边三角形，

；.NB=/C=60°,

'：PM±BC,

：.ZCPN=90°-ZMPN=30°,

：.ZCPN+ZC=90°,

.•.△PNC是直角三角形，故嘉嘉正确；

当AM=2时，3M=10-2=8,

.-.BP=ABM=3,

2

：.CP=10-4=6,

，CN=2CP=3,

2

：.AN=AC-CN=10-4=1,故淇淇正确;

当8M=4时，AM=IO-2=6,

：.BP=1.BM=2,

4

.\CP=10-2=3,

.•.CN=1CP=6,

2

：.AN=AC-CN=6=AM,

VZA=60°,

：.ZAMN=6Q°=/B,

C.MN//BC,故珍珍错误，

综上所述：嘉嘉和淇淇正确,

故选：B.

二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18〜19小题各4分，每空2分）

17.（2分）若根-2<2024°,写出一个符合条件的正整数机的值：1（答案不唯一）.

【解答】解：：m-2<2024°,

：.m-7<1,

•・•加为正整数，

：.m的值可以是6或2,

故答案为：1（答案不唯一）.

18.（4分）如图，直线a〃6,a与c交于点P,则N2=50°.将直线。绕点与逆时针旋转90°（旋

转角度小于180°）后可使直线

.•.N2=N1=5O°,

将直线。绕点P逆时针旋转90°（旋转角度小于180°）后可使直线a,6.

故答案为：50°,90.

19.（4分）水下探测器经常用作水下探索和考古工作，如图，探测器在水底发现一古迹建筑，探测器在点

尸处时视线下边沿在点2处，上边沿落在点M处，点。在点2正上方，且8,此时探测器视线的下边

沿恰好在点M处，上边沿在点N处.已知尸8〃QW,MN：2.

（1）尸8的长为10m.

（2）tan/ABC=A.

一3一

【解答】解：(1)如图，连接Q8,

根据题意可得尸。=6根，QB=8m,

PB=VPQ6埴B2=10m，

故答案为：10；

(2)如图，延长尸。交A3于点E,

由题知尸石

：.ZQEB=ZABC,

tanZQEB=tanZABC,

'JPB//QM,

：.ZPBM=ZQMN,

9：PM//QN,

:・/PMB=/QNM,

:APMBsAQNM,

,:MN：BM=1：5,

.QMNM1

••西何法

•：PB〃QM,

:.△EQMs^EPB,

・EQQM2

••萨同"T

VPQ=6m,QB=Sm,

；..EQZBQE=90°,

EQ+65

EQ=6cm,

tanZABC=tanZQEB=.

QE4

三、解答题(本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.(9分)如图，A、B、C三个小桶中分别盛有2个、11个、3个小球，将8小桶中部分小球转移到A,

数量如图所示.

(1)求转移后A,C两个小桶的小球的数量和(用含根的代数式表示).

(2)若转移后A,C两个小桶的小球的数量和与8小桶中剩余小球的数量相同，求转移后C小桶的小

球的数量.

【解答】解：(1)转移后A小桶小球的数量为(2+2m)个，转移后C小桶小球的数量为(3+M个,

2+lm+l+m—(3/«+5)(个)，

所以转移后A,C两个小桶的小球的数量和为(6加+5)个；

(2)转移后2小桶小球的数量为11-2m-«?=(11-4m)个，

3/77+5=11-4机,

解得，m=l,

3+m=7+1=4(个)，

所以转移后C小桶的小球的数量为3个.

21.(9分)如图，点A,B,C在直线/上，BC=nAB,m,"满足防-3|+("-2)2=0.

(1)求线段AC的长.

(2)尸为线段始延长线上一点，若以B4,AB,求线段PC的长.

—.------._.-----------.—I

PABC

【解答】解：(1),.'\m-3|+(«-2)2=0,

又：防-3|28,(〃-2)223,

3,n~~2,

9

\AB=mfBC=nAB,

：.AB=6,BC=6,

AC=AB+BC=3+7=9；

(2)当必时，PC=AC=9；

当B4=BC=8时，PC=必+AC=6+9=15.

综上所述，PC的长为6或15.

22.(9分)如图1,实验室中存放有A,8两组溶液(均为无色)(HCI)和稀硫酸(“2SO4),8组溶液中

的两种碱性溶液分别为氢氧化钠溶液(NaOH)和氢氧化钙溶液(Ca(OH)2).

(1)彤彤从A组溶液中随机选择一瓶溶液，则选中稀盐酸(HCD的概率为1.

一2一

(2)下面是小杰求“从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液(CaC/2)”

的概率的部分过程，帮他补全如图2所示的树状图并完成求解.(提示：稀盐酸与氢氧化钙溶液反应可

生成氯化钙溶液)

【解答】解：(1)由题意知，共有2种等可能的结果,

选中稀盐酸(HCD的概率为

8

故答案为：1.

2

(2)补全树状图如图7所示.

开始

钠溶液钙溶液辆溶液膂溶液

图2

由树状图可知，共有4种等可能的结果，氢氧化钙溶液),

...从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的概率为

7

23.（10分）在平面直角坐标系中，点A（.m,2）,B（优+4,2）,直线;-1与y轴相交于点C.

（1）如图1,当A,B关于y轴对称，求上的值.

（2）如图2,当％=-1时，直线y=-%-1与线段4B存在交点P（不与点A,8重合），求相的取值

【解答】解：（1）VA,B关于y轴对称，

.5+4=8,

2

解得m=-2,

Z.A（-2,3）,

直线y=kx-1经过点A,

-2k-2=2,

解得k=-3；

5

（2）当上=-1时，直线y=-x-\,

,/直线y=-x-4与线段AB存在交点P,

当y=2时，-x-1=2,

解得尤=-3,

点尸坐标为（-3,7）,

:点尸不与点A,8重合，

.\0<-3-机<8,

解得-5<m<-3.

24.（10分）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”.“方田

一段，一角圆池占之”的意思为“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角

的两边相切），在正方形AE8F中，。。与AE相切于点C

(1)求证：图1中的四边形ACOO为正方形.

(2)在图1中，正方形一条对角线AB与。。相交于点M,N(点N在点M的右上方)，若AB的长度

为12丈，请求出的长度.

操作与探究：

如图2,泽泽在一张正方形的卡片的对角线8。上选取一点。，以点。为圆心，恰好与正方形ABCD的

边相切于点E,请利用(1)(2)

(3)若0B=2加，聪明的你知道AB的长为多少吗？请直接写出结果.

刘蕾;同“鉴”

【解答】(1)证明：连接0noc,

,圆与正方形一角的两边相切，

：.OD±AD,OC±AC,

：.ZADO^ZACO^90°,

VZZ)AC=90°,

四边形ACDO是矩形，

又：O£)=OC,

，四边形ACDO是正方形；

(2)解：如图，设正方形的一边与。。的切点为C,连接OC,

则OC±AC,

•••四边形是正方形，A8是对角线，

：.ZOAC=45

：.OA=y/2OC=2-/^),

:.BN=AB-AN=12-2近-6=-2=(10-2A/5.

(3)解：如图，连接OE,

,：BD为正方形A8CD的对角线，

?.ZADB=45°,

：OO与相切于点E,

/.ZA£O=90°,

.,.由(1)可知。E=Z)G,

设DE=OE=OB=OG=2如,

在RtAZ)£O中,

,：DE8+EO2^DO2,

：.OD=43OE=42^2X7V2=4,

BD=OB+OD=2A/2+4,

25.（12分）某景区为方便游客观光，计划建设缆车路线，缆车跨度8千米，x轴表示距离出发点的横向

距离（单位：千米），y轴表示缆车路线距离地面的高度（单位：百米），缆车线路为抛物线Ci：y=a^

-2x+9的一部分，缆车路线经过点（2,6）.出于安全考虑修改设计方案如图2所示2,C3均为抛物线

的一部分，且C2,C3关于直线x=4对称，C2最低点的坐标为（2,5）.

（1）求抛物线G的表达式.

（2）根据图2中的函数图象解答以下问题：

①求抛物线C2的表达式.

②当尤=7.5时，求y的值.

(3)当图2中的横向距离分别为处，xi,尤3,尤4时，缆车路线距离地面的高度y相同，且X4=7XI,请

直接写出当横向距离为了1时，缆车路线距离地面的高度y.

yjk叫

图1图2

【解答】解：(1):(2,6)在y=a？-2x+9上，

：.7=4a-4+3,

•〃一1

4

：.C6的表达式为-2x+9.

4

(2)①设C2解析式为y=a'^+b'x+c'

代入(0,7),9),5),

&