2019-2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2.1基本不等式课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE12.2.1基本不等式一、选择题1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：当eq\f(b,a)，eq\f(a,b)均为正数时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．答案：C2．已知t>0，则y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值为()A．－1B．－2C．2D．－5解析：依题意得y＝t＋eq\f(1,t)－4≥2eq\r(t·\f(1,t))－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝eq\f(t2－4t＋1,t)(t>0)的最小值是－2.答案：B3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2)B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.答案：C4．若a，b都是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析：因为a，b都是正数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．答案：C二、填空题5．不等式a2＋1≥2a解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a答案：a＝16．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)，由基本不等式可得，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(M2,4)，因为ab的最大值为2，所以eq\f(M2,4)＝2，M>0，所以M＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)7．已知x>0，y>0，且eq\f(1,y)＋eq\f(3,x)＝1，则3x＋4y的最小值是________．解析：因为x>0，y>0，eq\f(1,y)＋eq\f(3,x)＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝13＋eq\f(3x,y)＋eq\f(12y,x)≥13＋3×2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，所以(3x＋4y)min＝25.答案：25三、解答题8．已知x<eq\f(5,4)，求f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值．解析：因为x<eq\f(5,4)，所以4x－5<0,5－4x>0.f(x)＝4x－5＋3＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2eq\r(5－4x·\f(1,5－4x))＋3＝1.当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)时等号成立，又5－4x>0，所以5－4x＝1，x＝1.所以f(x)max＝f(1)＝1.9．已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．解析：因为f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为x＝3，所以a＝4×32＝36.[尖子生题库]10．已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，求函数y＝eq\f(1,x)＋eq\f(8,1－2x)的最小值．解析：y＝eq\f(2,2x)＋eq\f(8,1－2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2x)＋\f(8,1－2x)))·(2x＋1－2x)＝10＋2·eq\f(1－2x,2x)＋8·eq\f(2x,1－2x)，而x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，2·eq\f(1－2x,2x)＋8·eq\f(2x,1－2x)≥2eq\r(16)＝8，当且仅当2·eq\f(1－2x,2x)＝8·eq\f(2x,1－2