江苏省某中学2023-2024学年高二年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江苏省射阳中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知随机变量XN（2,〃），尸（X<l）=0.3,贝|P（x<3）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

2.已知a=（2,-1,3）,h=（-4,2,A:）,且〃_1人，贝（）

-510

A.2B.3C.一D.——

23

3.过两点A（利2+2,〃?2-3）、8（3的直线/的倾斜角为45,则加的值为（

c-1

A.-2或-1B.-1D.-2

4.己知二项式（〃+/）"’中第左项与第加项的二项式系数相等（m力k）,则〃的值是（

A.k+m-2B.k+m-\C.k+mD.k+m+2

3a

5.已知尸（A5）=而，P（A）=|,则P（3|A）等于（）

91_91

A.——B.-C.—D.-

502104

6.某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新

节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）

A.12B.20C.36D.120

7.定义在R上的可导函数“X）满足若/（㈤啕则机的取值范围

是（）

A.B.（-00,.1]C.[-1,+<»）D.[g，+8）

8.已知耳，工是双曲线C的两个焦点，P为C上一点,且/耳阴=60。,归耳|=3俨闾，则C

的离心率为（）

A.立B.巫C.币D.V13

22

二、多选题

9.设数列｛6｝满足：4=1,且对任意的weN*,都有％包=2%+1,9为数列｛4｝的前〃项

和，则（）

A.｛%｝为等比数列B.4=2"-1

为等比数列D.S„=2"-n

10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）

A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法

B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法

C.如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法

D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法

11.已知正方体ABCD-A瓦GR的棱长为1，点E,F分别为BBl,CD的中点，则下列说

法正确的是（）

A.RF~L平面ADE

B.与平面AC。所成角的余弦值为苴

3

c.二面角A-8。-G的正弦值为g

D•点8到平面Bg的距离为正

3

三、填空题

12.已知]服从正态分布N。,22）,>P（-l<^<l）=0.3,则？C>3）=.

13.高二（1）班准备组织一场辩论赛，共有六名同学报名参加.将他们随机平均分为两组,

其中甲、乙两名同学不在同一组的概率为.

14.已知/（x）=e*（x-l）,若函数g（x）=：nx,对于任意的％e[-2,2],总存在％e[-1,2],

使得〃％）>gG），则实数加的取值范围是.

四、解答题

试卷第2页，共4页

15.如图，正方体ABC。-A4G2的棱长为2,E为BC的中点，点M在22上，EM±AD.

⑴求证：”为22的中点；

(2)求直线EM与平面MCD所成角的大小.

16.已知圆M过&&,-0),8(10,4),且圆心M在直线y=x上.

(1)求圆M的标准方程；

(2)过点©T)的直线m截圆M所得弦长为4石，求直线m的方程；

17.为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先

修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门

课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是

等可能的.

(1)求三位同学选择的课程互不相同的概率：

(2)求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；

(3)若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.

18.已知椭圆C：5+*l(a>b>0)的离心率为手.

(1)证明：a=柩b;

(9指，

(2)若点/［而，-｝J在椭圆C的内部，过点M的直线/交椭圆C于尸、。两点，M为线

段PQ的中点，且

①求直线/的方程；

②求椭圆C的标准方程.

19.数列｛%｝中，卬=一3，2a“=a,i-〃-l("N2,〃eN*),设〃,=%+〃.

⑴求证：数列也｝是等比数歹！I；

(2)求数列｛曲｝的前w项和7；；

⑶若ap,为数列，生筌，的前〃项和，求不超过乙。21的最大的整数.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CDDABBBABCCD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案.

【详解】由题意得尸(X>3)=尸(Xvl)=0.3,所以尸(rv3)=l—0.3=0.7.

故选：C.

2.D

【分析】利用空间向量垂直的坐标运算公式求解即可.

【详解】因为"=(2,T,3),ft=(-4,2,x),且£_1〃,所以出石=2x(-4)+(-l)x2+3%=。,

解得X=g.

故选：D

3.D

【分析】根据斜率公式计算可得.

【详解】因为过两点A(疗+2,疗-3)、网3-加-加2,2时的直线/的倾斜角为45,

2

-----m--—--3---2-m----=]

所以L=tan45=1,即<〃/+2-(3-加-1),解得〃z=-2.

3-m-m2丰m2+2

故选：D

4.A

【分析】由题知C-=C：T,进而根据组合数性质可得答案.

【详解】解：由题知c3=c：|,所以左一1=7九一1或左—i+加—1=〃，

又因为机H左，所以“=上+加一2

故选：A

5.B

【分析】利用条件概率公式计算可得结果.

答案第1页，共11页

3

W1

-

【详解】由条件概率公式得尸(例A)=爷舁=-

3-2-

一5

故选：B.

【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.

6.B

【分析】每次插入一个节目，利用分步乘法计数原理可求得结果.

【详解】利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有4种方法，第二步插入第二个节

目，此时有5个空，故有5种方法.

因此不同的插法共有20种.

故选：B.

【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.

7.B

【分析】构造函数，并求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于机的不等式，解出即

可.

【详解】令g(无)=/(x)-x,则g'(x)=f(x)-l<0,故g(x)单调递减，

f(ni)-/(I-2；7J)gpg(m)>g(l-2ni),得加《1—2m，解得：

故选：B.

8.A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出「盟世结合余弦定理可得答案.

【详解】因为1Pl=3|尸阊,由双曲线的定义可得出国-|尸用=2|尸用=2即

所以|尸司“，|尸周=3°；

因为4尸6=60。,由余弦定理可得4cN=9«2+6/2-2X3«-(2-COS60°，

整理可得4c2=7/,所以e2=g=Z,即6=近.

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a，。间的等量关系是求解的

关键.

9.BC

答案第2页，共11页

【分析】利用凑配法化简％+1=2%+1,结合等比数列的有关知识确定正确选项.

【详解】依题意［=2%+1,贝|%+1=2（%+1）,

因为％+1=2x0,故巴+1片0,所以也斗=2,

所以数歹支q+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以［一］是首项为二7="，公比为:的等比数列.

［%+lJq+122

4+1=2X2"T=2",%=2'-1,

ax=l,a2=3,a3=7,a；^ax-a3,所以｛an｝不是等比数列.

,2（1-2"）,

S,=2+22++2"-”=」----^-71=2,,+1-2-M-

"1-2

所以AD选项错误、BC选项正确.

故选：BC

10.CD

【分析】利用捆绑法可计算出A、B选项中的排法种数，利用特殊位置法可计算出C选项中

的排法种数，利用插空法可计算出D选项中的排法种数，综合可得出结果.

【详解】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此

时，共有A：月=24?=576种不同的排法，A选项错误；

B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有

团团=6x120=720种不同的排法种数，B选项错误；

C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有

=12x120=1440种不同的排法种数，C选项正确；

D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，

此时，共有用羯=24x60=1440种不同的排法种数，D选项正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查排列组合问题，考查了捆绑法、插空法以及特殊位置法，考查计算能力，

属于中等题.

答案第3页，共11页

11.ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用数量积为0得线线垂直，根据线面垂直的判定定理证明，

判断A正确；求出平面4G。的法向量，利用线面角的向量公式求解，判断B正确；利用

二面角的定义作出二面角的平面角，利用余弦定理及同角三角函数关系求解，判断c错误；

利用等体积法求点面距离，判断D正确.

【详解】对于AB,以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：

正方体的边长为I,。(0,0,0),R(O,O,1),q(0,1,1),3(1,1,0),尸4(100),

a(1,0,1),E1,1,所以=DA=(l,0,0),DE=(l,l,g],

因为。B-ZM=0xl+gx0+(-1)x0=。，所以〃即。尸，ZM,

因为2?DE=0xl+gxl+(-l)x；=0,所以即RP工OE,

又DAcDE=D,D4,DEu平面ADE,所以2厂-L平面AZJE,故A正确；

设平面4G。的一个法向量为〃=(x,y,z),DC、=(0,1,1),04,=(1,0,1),

n•DC,=0[y+z=0

则，即八，不妨令x=l,得y=Lz=-1,故a=zLIT)x,

nD\=0[x+z=0

又因为DB=(1,1,0),

设直线BO与平面AC1D所成角为。，贝Usin。=\cosDB,n\显

卜网73x72'3'

=无，故B正确;

所以BO与平面AG。所成角的余弦值为

3

对于C,如图:

答案第4页，共11页

连接AC,BD交于0,连接AO,CQ,AG，ARCQ,\B,C{B,

因为忸&=|AG|=|4。|=CW=|41=|G十=&,。为的中点,

所以AOLBD,Cfl±BD,AOu平面A]B£),6。匚平面62。，

所以NAOG是二面角At-BD-G的平面角，

又…ca=J2+*]='，

iZAOC-M2+IC102-|AG|2_3-2_I

故以121Aoi.C0|2x33

2

所以二面角\-BD-Cx的正弦值为Jl-flY=：2叵，故C错误；

Y①3

对于D,如图：

0设点B到平面的距离为d,因为国闻=卜4=四4=及,

一

所以SB,D,C=；X也X垃乂与=与，SBB£=—1xlxl=—1,

22

因为VB—B[CD]=VD-BB[C，所以，XXd=-x—>

<1,

3232

所以d二正，即点与到平面用CR的距离为二

D正确.

33

故选：ABD

答案第5页，共11页

12.0.2

【分析】利用正态分布的对称性，求概率.

【详解】《服从正态分布Ml?),.•.正态密度曲线关于犬=1对称，

P(^>3)=P(^<-l)=0.5-P(-l<^<l)=0.2.

故答案为：0.2

13.3

5

【分析】利用排列，组合分别写出分组情况，再按照古典概型求概率.

【详解】六名同学随机平均分为两组，共有擎=1。种方法，

其中甲、乙两名同学不在同一组包含C：c；=6种方法，所以甲、乙两名同学不在同一组的概

3

故答案为：—

14.

【分析】双变量问题根据题干转化为了(xLnAgG).,对于/(x),通过求导判断单调性得

到了⑺.，对于g(%)根据m的正负得到g(力强，通过解关于加的不等式得到加的取值范

围.

【详解】因为任意的xe[-2,2],总存在we[1,2]，使得/(内)>g伍)，所以/⑺皿〉g⑺1nto,

/'(x)=e*(x—l)+e*=胧*,令/'(%)=0得x=0,

所以当xe(-2,0)时，尸(%)<0,/(x)在(-2,0)上单调递减，

当xe(O,2)时,产(%)>0,〃尤)在(0,2)上单调递增,

所以小)皿=/(°)=-1，

当〃2<0时，gGL=g(^2)=2〃？，所以2M7<-1,解得根<-g；

当根=0时，g(%)=0不合题意；

当相>0时，g5Kn=*?(—1)=一瓶，所以一加〈一1，解得根>1；

答案第6页，共11页

综上，机的取值范围是1一--;1(1,+司,

故答案为：|-°°，-；1口(1，+8).

15.(1)证明见解析

(2)30°

【分析】(1)根据线面垂直的性质得BCLC2,再证明最后得到EM//C2，即

可证明；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量和法向量，根据线面角的空间向量求法即

可得到答案.

【详解】(1)连接CR,在正方体ABC。-中，因为平面CO0G，

CD,u平面CDDtC,,所以8C_LCR.

因为EAf_LAT>,AD//BC,所以EM_LBC,且EM,CR,8c均在同一平面内,

所以EM〃CR,因为E为BC的中点，所以M为8R的中点.

(2)在正方体中，DA,DC,两两互相垂直,

如图建立空间直角坐标系.

则£>(0,0,0),C(0,2,0),£(1,2,0),M(1,1,1).

所以。C=(O.2,O),DM=(1,1,1),EM=(O,-l,l).

设平面"CD的法向量为万=(x,y,z),

m-DC=0,y=0,

则,即

m-DM=0,x+y+z=0.

答案第7页，共11页

令X=l,则z=—1.于是加1).

\m-EM

设直线EM与平面MCD所成的角为夕，贝！jsin。=gs犯EAf|=

m\\EM

因为0<^<90,所以直线W与平面MCD所成角的大小为30。.

16.（l）（x-4）2+（y-4）2=36

（2）3x-4y-16=。或x=0

【分析】（1）首先由条件设圆的标准方程。-。）2+（，-。）2=产，再将圆上两点代入，即可求

得圆的标准方程；（2）分斜率不存在和存在两种情况，分别根据弦长公式，求得直线方程.

【详解】（1）.•圆心M在直线y=x上，，设圆M的标准方程为：（龙-十+⑶-万=产，

，圆M过点4（"-⑸,如。，4），解得[”:

[（10—。）-+（4-。）-=广[r=6

圆M的标准方程为（X-4）2+（y-4>=36

（2）①当斜率不存在时，直线”的方程为：x=0,直线机截圆M所得弦长为

I—2A/r2-d1=4>后>符合题意

②当斜率存在时，设直线加：y=kx-4,圆心闻到直线机的距离为d=也畀二4

a+1J/+1

4、尺|4^—8|3

二根据垂径定理可得，/=（暇）2+[2,...（5目7）2=16,解得左=：

直线加的方程为3万一4，-16=0或x=0.

3

17.（1）-；（2）48；（3）10.

【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选

法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果；

（2）考虑甲、乙两位同学不选同一门课程的选法种数，并求出丙选课程的选法种数，利用

分步乘法计数原理可求得结果；

（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》；②三位同学都选择《数学史》.分别

计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果.

【详解】（1）三位同学选择课程共有43=64种情况；

答案第8页，共11页

三位同学选择的课程互不相同共有团=24种情况，所求概率为7片4=[3；

648

（2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有4=12种情况，丙有4种不同的选择，

所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有12x4=48种情况；

（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》，共有C；xC；=9种不同的情况；

②有三位同学选择《数学史》共有1种情况.

综上所述，总共有9+1=10种不同的选课种数.

【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，分步计数原理分类计数原理，排列组合的基本

应用，属于中等题.

18.（1）证明见解析；（2）®A/3X-J-73=0；②]+丁=1.

【分析】（1）由2=6;7可证得结论成立；

a

（2）①设点P（&%）、。（尤2,%），利用点差法可求得直线/的斜率，利用点斜式可得出所求

直线的方程；

②将直线/的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由OPLOQ可得出。尸-。。二。，利

用平面向量数量积的坐标运算可得出关于〃的等式，可求出〃的值，即可得出椭圆C的方

程.

【详解】（1）.，,因止匕，a=

a3

(2)①由⑴知，椭圆C的方程为森+万=1,即/+3>2=3从,

2

当2一叵f目<3b?,可得人〉空.

当10'15在椭圆C的内部时,+3.10

7AIJ10

石+%2_9

210

设点P（%,%）、Q（孙％），则<，所以,

yt+y2=V3X+%29

210

x；+3y；=3b?

由己知可得两式作差得（为+%）（占一*2）+3（M+%）（另一%）=°，

x；+3y：=3&2

旷"%一%_玉+龙2

所以------__77―,一\

玉一工23(%+%)

答案第9页，共11页

所以，直线/方程为了—一~—=百］%—历］,BP）>=A/3X-A/3.

所以，直线/的方程为瓜-y-也=0;

'x2+3y2=3b2

②联立《—八,消去》可得10/-18犬+9-3从=0.

j=V3（x-1）

A=182-40（9-3/72）=120/72-36>0,

QQ_3/?2

由韦达定理可得石+々=§，再兀2=———，

又.OPLOQ,而0P=（%,%）,OQ=（%2，%），

/.OP-OQ=x,x2+yxy2=^x2+^3（^-1）-V3（x2-l）=4jqx2-3（石+/）+3

2（9-3^）-27+156-6从八

55

解得〃=1合乎题意，故6=3〃=3,

因此，椭圆。的方程为二+丁=1.

3

19.（1）证明见解析

（3）2021

b1

【分析】（1）对几—1两边者R力口2〃得至1]广=不，即可证明数列｛匕｝是等比数列;

，〃一12