第11讲整数和整除的意义、因数和倍数(原卷版+解析)

第11讲整数和整除的意义、因数和倍数1.掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念2.掌握整除的条件，会区分整除和除尽3.在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数4.掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数5.掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数知识精要知识点1：整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数（naturalnumber）；整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。自然数正整数自然数正整数零整数零负整数 负整数知识点2：整除（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.（2）整除的条件（两个必须同时满足）：除数、被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数而且余数为零。【典例分析】1．下列说法中，正确的个数有（

）①32能被4整除；

②1.5能被0.5整除；

③13能整除13；④0能整除5；

⑤25不能被5整除；

⑥0.3不能整除24．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（

）.A．3和6 B．3.6和0.6 C．32和9 D．24和4知识点3：除尽与整除的异同点相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。知识点4：因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。注：（1）在整除的条件下才有因数和倍数的概念；（2）说法：例如，63=2，只能说6是3的倍数，3是6的因数，不能单独说6是倍数，3是因数（3）如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数；反之，如果b是a的因数，那么a一定是b的倍数【典例分析】4．和是的（

）．A．因数 B．素因数 C．合数 D．素数5．16的所有因数的和是_________．6．一个数既是15的倍数，又是15的因数，这个数是_____．知识点5：求一个数的因数的方法（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数例：6=1×6，6=2×3，所以1、2、3、6都是6的因数（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数例：81=8，82=4，所以1，2，4，8都是8的因数规律总结：一个数的因数个数是有限的。一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。1的因数只有1，最大的因数和最小的因数都是1，除1以外的整数，至少有两个因数知识点6：求一个数的倍数的方法求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数例：2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8……，则2，4，6，8都是2的倍数规律总结：一个数的倍数是无限的，一个数的最小倍数是它本省，没有最大倍数知识点7：因数和倍数的性质（规律总结）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数1．（2022秋·上海·六年级专题练习）a÷b＝5（a，b都是非0自然数），a是b的（

），b是a的（

）．①倍数

②因数

③积A．①② B．②① C．③①D．①③2．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）有一个数，它既是16的倍数，又是16的因数，这个数是（

）A．16 B．32 C．8 D．43．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）第一个数能整除第二个数的是（

）A．2和9； B．12和3； C．5和10； D．6和2.44．（2021·上海·六年级期末）已知，，那么，最大公因数是A．4 B．60 C．30 D．25．（2022秋·上海松江·六年级校考阶段练习）下列算式中表示整除的算式是（

）A． B．C． D．6．（2021秋·上海嘉定·六年级统考期中）下列算式中，被除数能被除数整除的是（

）A．； B．； C．； D．．7．（2022秋·上海杨浦·六年级统考期中）8的因数有_______．8．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是______．9．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）在6，12，，，，，中_________________既是的因数，又是3的倍数．10．（2022秋·上海长宁·六年级上海市复旦初级中学校考期中）在中，能同时被整除的数有_________11．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是_________．12．（2020秋·上海徐汇·六年级上海市民办华育中学校考期中）一个长方形的面积是24平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形周长为______厘米．13．（2020秋·上海徐汇·六年级上海市民办华育中学校考期中）一个最简带分数，它的分数部分的分子是3，把它化成假分数后，分子是45，则这个带分数是___________．1．在下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A．6.3÷3 B．6÷3 C．3÷6 D．33÷62．能整除19，那么是（）A．19 B．38 C．19的倍数 D．19的因数3．下列说法中正确的是（

）A．任何正整数的因数至少有两个 B．1是所有正整数的因数C．一个数的倍数总比它的因数大 D．3的因数只有它本身4．，A的因数有（

）A．2、3、5 B．2、3、5、6、10C．1、2、3、5、6、10、15 D．1、2、3、5、6、10、15、305．一个正整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（

）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不等于零6．A=2×5×7，A的因数有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．8个7．下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是（

）A．10和35 B．42和24 C．15和16 D．22和208．下列说法中正确的是（

）①能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除②最小的素数是③合数一定是偶数④没有最大的素数A．①、② B．②、③ C．②、④ D．③、④9．有一个数，它既是的倍数，又是的因数，这个数是__________．10．既是的倍数又是的因数的数是_________．11．一个整数最小的因数是______，最小的倍数是______．12．50以内能被6整除的正整数的个数为____________．13．用一个正整数去除16，24，32正好都能整除，则这个数可能是__________．（写出所有符合条件的数）14．在中，是非负整数的是______________．15．用某数分别去除，结果都余5，这个数是_________16．如果用表示a的全部因数的和，如，那么______．17．四个连续自然数，它们从小到大依次是的倍数，的倍数，的倍数，的倍数，则这四个数和的最小值是____________．18．在41□□这个四位数的方框里填上适当的数，使这个数同时能被2、5、3整除，这个四位数最大是______．19．写出下列各数所有的因数．（1）11

（2）10220．把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）．1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，10021．如图，街道在处拐弯，米，米，沿街道一侧等距离安装路灯，要求在A，，处各安装一盏路灯，问这条街道最少要安装多少盏路灯？22．中秋节班里买来了64个月饼和160个苹果，平均分给班里的全体同学，刚好全部分完，问这个班最多有多少人？23．已知一个三位数，试证明：若能被9整除，则能被9整除．24．不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不超过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？25．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除．(1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由；(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．第11讲整数和整除的意义、因数和倍数1.掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念2.掌握整除的条件，会区分整除和除尽3.在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数4.掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数5.掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数知识精要知识点1：整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数（naturalnumber）；整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。自然数正整数自然数正整数零整数零负整数 负整数知识点2：整除（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.（2）整除的条件（两个必须同时满足）：除数、被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数而且余数为零。【典例分析】1．下列说法中，正确的个数有（

）①32能被4整除；

②1.5能被0.5整除；

③13能整除13；④0能整除5；

⑤25不能被5整除；

⑥0.3不能整除24．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据整除的概念：如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，则a能被b整除，或b能整除a判断即可．【详解】解：①32能被4整除，故正确；②1.5和0.5是小数，故不能整除，故错误；③13能整除13，故正确；④0不能除5，故错误；⑤25能被5整除，故错误；⑥0.3是小数，不能整除24，故正确；故正确的有3个，故选B．【点睛】本题考查了整除的概念，注意掌握整除的概念和前提，以及整除的特征．2．下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（

）.A．3和6 B．3.6和0.6 C．32和9 D．24和4【答案】D【分析】根据整除的定义依次进行判断即可得出答案．【详解】解：A、3不能被6整除，故A错误；B、不符合整除的定义中的两个整数，故B错误；C、32不能被3整除，故C错误；D、24能被4整除，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查整除的定义，理解整除的定义，若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除，或说b能整除a，是解题关键．知识点3：除尽与整除的异同点相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。知识点4：因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。注：（1）在整除的条件下才有因数和倍数的概念；（2）说法：例如，63=2，只能说6是3的倍数，3是6的因数，不能单独说6是倍数，3是因数（3）如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数；反之，如果b是a的因数，那么a一定是b的倍数【典例分析】4．和是的（

）．A．因数 B．素因数 C．合数 D．素数【答案】A【分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除（），就叫做的倍数，就叫做的因数．【详解】∵，∴和是的因数，故选A．【点睛】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答．5．16的所有因数的和是_________．【答案】31【分析】先写出16的所有因数，再求和．【详解】解：16的因数有：1，2，4，8，16．，故答案为：31．【点睛】本求一个数的因数，解题的关键是掌握因数的求法，如相乘法、短除法、配对法等．6．一个数既是15的倍数，又是15的因数，这个数是_____．【答案】15【分析】一个数既是15的倍数，又是15的因数，这个数是15即可得出答案．【详解】解：一个数既是15的倍数，又是15的因数，这个数是15．故答案为：15．知识点5：求一个数的因数的方法（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数例：6=1×6，6=2×3，所以1、2、3、6都是6的因数（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数例：81=8，82=4，所以1，2，4，8都是8的因数规律总结：一个数的因数个数是有限的。一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。1的因数只有1，最大的因数和最小的因数都是1，除1以外的整数，至少有两个因数知识点6：求一个数的倍数的方法求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数例：2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8……，则2，4，6，8都是2的倍数规律总结：一个数的倍数是无限的，一个数的最小倍数是它本省，没有最大倍数知识点7：因数和倍数的性质（规律总结）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数1．（2022秋·上海·六年级专题练习）a÷b＝5（a，b都是非0自然数），a是b的（

），b是a的（

）．①倍数

②因数

③积A．①② B．②① C．③①D．①③2．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）有一个数，它既是16的倍数，又是16的因数，这个数是（

）A．16 B．32 C．8 D．43．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）第一个数能整除第二个数的是（

）A．2和9； B．12和3； C．5和10； D．6和2.44．（2021·上海·六年级期末）已知，，那么，最大公因数是A．4 B．60 C．30 D．25．（2022秋·上海松江·六年级校考阶段练习）下列算式中表示整除的算式是（

）A． B．C． D．6．（2021秋·上海嘉定·六年级统考期中）下列算式中，被除数能被除数整除的是（

）A．； B．； C．； D．．7．（2022秋·上海杨浦·六年级统考期中）8的因数有_______．8．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是______．9．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）在6，12，，，，，中_________________既是的因数，又是3的倍数．10．（2022秋·上海长宁·六年级上海市复旦初级中学校考期中）在中，能同时被整除的数有_________11．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是_________．12．（2020秋·上海徐汇·六年级上海市民办华育中学校考期中）一个长方形的面积是24平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形周长为______厘米．13．（2020秋·上海徐汇·六年级上海市民办华育中学校考期中）一个最简带分数，它的分数部分的分子是3，把它化成假分数后，分子是45，则这个带分数是___________．参考答案：1．A【分析】a÷b＝5，a、b、5三个数字都是非0自然数，所以被除数a是除数b的倍数，除数b是被除数a的因数，由此求解．【详解】解：因为a÷b＝5，所以：a是b的倍数，b是a的因数．故选A【点睛】一个整数能够被另一整数整除，被除数就是除数的倍数，除数就是被除数的因数．2．A【分析】一个数是16的因数，说明这个数≤16，又是16的倍数，说明这个数≥16，因此这个数是16，由此解答即可．【详解】一个数既是16的因数又是16的倍数，这个数是16．故选：A．【点睛】此题考查了倍数和因数的概念，解题的关键是熟练掌握倍数和因数的概念．一个非0的自然数既是自己的倍数，也是自己的因数．3．B【分析】根据整除的定义逐项验证即可得到答案．【详解】解：由题意可知，，故选：B．【点睛】本题考查整除定义，熟记整除定义是解决问题的的关键．4．C【详解】解：，，和的最大公因数为；故选：C．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是正确掌握最大公因数的概念．5．C【分析】整除是指一个整数除以另一个不为零的整数，得到的商也是整数．据此分析即可．【详解】解：A．因为的除数、被除数都是小数，故选项错误；B．因为有余数，故选项错误；C．因为的除数、被除数、商都是整数，故选项正确；D．因为的商不是整数，故选项错误．故选：C【点睛】本题主要考查整除的性质：整除必须是整数除以不为零的整数，商是整数，没有余数，要与除尽分开．掌握以上要点，是解题的关键．6．D【分析】根据整除的定义逐项分析即可．【详解】解：A．，故被除数不能被除数整除；B．的除数不是整数，不符合整除的定义；

C．，故被除数不能被除数整除；D．，故被除数能被除数整除故选D．【点睛】此题考查整除的意义：整除必须是整数除以一个不为0的整数，商是整数，而没有余数．7．1、2、4、8【分析】先写出8的因数：，，因此8的因数有1，2，4，8，解答即可．【详解】解：8的因数有：1、2、4、8．故答案为：1、2、4、8【点睛】本题考查因数倍数，解题的关键是找准所有能整除8的数．8．0【分析】找到16的最小倍数和最大因数，相减即可．【详解】解：正整数16的最小倍数是16，它的最大因数也是16，，故答案为：0．【点睛】本题考查了因数与倍数，一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身．9．6，，【分析】根据3的倍数必须所有数字和是3的倍数找出是3的倍数的数字，在用除以数字能被整除的就是的因数，即可得到答案；【详解】解：由题意可得，6，12，，，，，中是3的倍数的是6，12，，，，，其中：，，，，，，∴既是的因数，又是3的倍数有：6，，，故答案为：6，，．【点睛】本题考查因数及倍数求取，解题的关键是掌握3的倍数必须所有数字和是3的倍数．10．【分析】能被3整除的数的特点为各个数位上的和能被3整除；能被5整除的数的特点为个位上的数字为0或5；然后找出同时满足两个条件的数即可．【详解】解：能被3整除的数有：，能被5整除的数有：，∴能同时被3，5整除的数有：，故答案为：．【点睛】题目主要考查整除的定义及特点，理解能被3整除与能被5整除的数的特点是解题关键．11．10【分析】根据能被2，5整除的数的特征，可以得到：最小正整数的个位不能是5，只能是0，因为是最小的正整数，所以十位上的数字是1，则可解答．【详解】解：既能被2整数，又能被5整除的正整数是：10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查整除的性质及应用，解答的关键是明确能被2、5整除的数的特征．12．20或22或28或50【分析】根据长方形面积公式为：长乘以宽，将24写成两个整数的积为24，找出所有满足乘积为24的两个整数，即可．【详解】∵长方形面积=长×宽，长和宽都是整厘米数∴满足条件的长方形有：；；；∵周长=（长＋宽）×2∴满足条件的长方形的周长为：、、、．故答案为：20或22或28或50．【点睛】本题考查长方形的知识，解题的关键是掌握长方形的面积公式，周长公式，24的因数．13．3或6【分析】带分数化成假分数的方法：分母不变，把整数和分母相乘的积加上原来分子做分子；据此可知：这时假分数的分子45是由带分数的整数部分和分母相乘的积加上原分子得到的，再根据带分数的分子是3，可知：带分数的整数部分和分母相乘的积只要得42即可．【详解】解：设带分数的整数部分为a，分数部分的分母为b，则由题意知，这个带分数是，即．由已知得，，即，因为，a、b是正整数且，且不能是3的倍数（因为是最简带分数），所以，或，．因此，这个带分数是3或6故答案为：3或6．【点睛】本题主要考查了分解因数，解决此题关键是明确带分数化假分数的方法，进而确定出带分数的整数部分和分母相乘的积只要得42，然后把42拆分为两个自然数的乘积，从而得解．1．在下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A．6.3÷3 B．6÷3 C．3÷6 D．33÷62．能整除19，那么是（）A．19 B．38 C．19的倍数 D．19的因数3．下列说法中正确的是（

）A．任何正整数的因数至少有两个 B．1是所有正整数的因数C．一个数的倍数总比它的因数大 D．3的因数只有它本身4．，A的因数有（

）A．2、3、5 B．2、3、5、6、10C．1、2、3、5、6、10、15 D．1、2、3、5、6、10、15、305．一个正整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（

）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不等于零6．A=2×5×7，A的因数有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．8个7．下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是（

）A．10和35 B．42和24 C．15和16 D．22和208．下列说法中正确的是（

）①能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除②最小的素数是③合数一定是偶数④没有最大的素数A．①、② B．②、③ C．②、④ D．③、④9．有一个数，它既是的倍数，又是的因数，这个数是__________．10．既是的倍数又是的因数的数是_________．11．一个整数最小的因数是______，最小的倍数是______．12．50以内能被6整除的正整数的个数为____________．13．用一个正整数去除16，24，32正好都能整除，则这个数可能是__________．（写出所有符合条件的数）14．在中，是非负整数的是______________．15．用某数分别去除，结果都余5，这个数是_________16．如果用表示a的全部因数的和，如，那么______．17．四个连续自然数，它们从小到大依次是的倍数，的倍数，的倍数，的倍数，则这四个数和的最小值是____________．18．在41□□这个四位数的方框里填上适当的数，使这个数同时能被2、5、3整除，这个四位数最大是______．19．写出下列各数所有的因数．（1）11

（2）10220．把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）．1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，10021．如图，街道在处拐弯，米，米，沿街道一侧等距离安装路灯，要求在A，，处各安装一盏路灯，问这条街道最少要安装多少盏路灯？22．中秋节班里买来了64个月饼和160个苹果，平均分给班里的全体同学，刚好全部分完，问这个班最多有多少人？23．已知一个三位数，试证明：若能被9整除，则能被9整除．24．不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不超过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？25．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除．(1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由；(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．参考答案：1．B【分析】根据有理数的除法分别计算各选项，即可得出答案．【详解】解：A选项，6.3不是整数，故该选项不符合题意；B选项，6÷3＝2，故该选项符合题意；C选项，3÷6＝0.5，故该选项不符合题意；D选项，33÷6＝5.5，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除是解题的关键．2．D【分析】根据整除的概念，即可求解．【详解】解：能整除19，那么是19的因数，故选：D【点睛】此题考查了整除的概念，掌握整除的概念是解题的关键，整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零，就说a能被b整除(或说b能整除a)．3．B【分析】根据因数与倍数的概念直接进行解答即可．【详解】A、任何正整数的因数至少有两个是错误的，例如：1的因数只有1；B、1是所有正整数的因数，故正确；C、一个数的倍数总比它的因数大是错误的，例如：4的其中一个倍数是4，一个因数是4，这两个相等；D、3的因数有1和3，故错误；故选B．【点睛】本题主要考查因数与倍数，熟练掌握因数与倍数的概念是解题的关键．4．D【分析】根据因数的定义进行判断即可．【详解】因为A=2×3×5，所以A=1×30=2×15=3×10=5×6，所以A的全部因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．故选：D．【点睛】本题考查了因数，掌握因数的定义是解题的关键．5．B【分析】一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，再求差即可得出答案．【详解】∵一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，∴差为0，故选：B．【点睛】本题考查了正整数的因数和倍数的含义，掌握一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身是解题的关键．6．D【分析】把A算出来等于70，看70能被哪些整数整除．【详解】因为A=2×5×7=70而因此A的因数就有1，70，2，35，5，14，7，10共8个．故选：D【点睛】本题主要考查了因数的概念：两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数．注意一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身．掌握因数的概念是解题关键．7．B【分析】根据整除的定义逐项分析即可．【详解】解：A、10不能被3整除，35不能被2整除，故A错误；B、42和24能同时被2和3整除，故B正确；C、16不能被3整除，15不能被2整除，故C错误；D、22和20不能被3整除，故D错误；故选B．【点睛】题主要考查了整除的含义和判断，整除的意义是，如果甲数和除乙数都是整数，甲数除以乙数所得的商也是整数，我们就说甲数能被乙数整除，或者说乙数能整除甲数．8．C【分析】利用整除的定义、素数定义及合数定义判断即可【详解】解：能够除尽的算式，商为整数，叫做被除数能被除数整除，故①错误；最小的素数是，故②正确；合数不一定是偶数，例如：是合数但是不是偶数，故③错误；没有最大的素数，故④正确，故选：C【点睛】本题考查了有理数的除法，整除，素数，合数，解题的关键是掌握有理数的除法和整除，理解素数和合数的定义9．a【分析】根据因数和倍数的定义解答即可．【详解】解：如果一个数既是a的倍数，又是a的因数，那么这个数是a．故答案为：a．【点睛】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在是解答本题的关键．10．【分析】直接根据因数与倍数进行求解即可．【详解】由是的倍数，的最大因数是，的最小倍数是，既是的倍数又是的因数的数是；故答案为．【点睛】本题主要考查因数与倍数，熟练掌握因数与倍数的求法是解题的关键．11．【分析】根据因数的定义以及有理数的乘法即可得到结果【详解】∵任何数乘以都等于它本身，∴整数最小的因数是，最小的倍数是，故答案为：，【点睛】本题考查了有理数的乘法，因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的定义并灵活运用是解题的关键12．8【分析】直接利用50除以6，即可得到整除的个数．【详解】解：根据题意，则50÷6=8……2．∴50以内能被6整除的正整数的个数为8个；故答案为：8．【点睛】本题考查了整除的意义，解题的关键是掌握整除的意义进行解题．13．1，2，4，8【详解】解：16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，32=2×2×2×2×2，故用一个正整数去除16，24，32正好都能整除，则这个数可能是1，2，4，8故答案为：1，2，4，8．【点睛】此题考查了数字的约数，正确确定各数的约数是解题的关键．14．，【分析】非负整数包括正整数和0，也就是自然数，据此可解．【详解】解：因为，所以在上述数中，非负整数的是+5，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了非负整数的意义，解题的关键是知道非负整数包括正整数和0．15．14【分析】根据题意得出这个数减去5后为的最大公约数，即可得出结果．【详解】解：根据题意得：这个数减去5后为的最大公约数，∴，这个数为：，故答案为：14．【点睛】题目主要考查同余定理之一：同余的几个数减去余数后都能被除数整除，理解此定理是解题关键．16．【分析】根据题意即可求得及的值，据此即可求得．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的加减运算，理解题意，正确运算是解决本题的关键．17．【分析】因满足第四项就必然满足第一项，因此只需考虑后三项，这题的突破点在的倍数上，因为无论的倍数是多少，它的个位数就或者两个数字，因为是自然数，所以前面一个数个位是或者，后面一个数个位是或者，还有个数个位是或者，据此分类讨论即可．【详解】因为无论的倍数是多少，它的个位数就或者两个数字，因为是自然数，所以前面一个数个位是或者，后面一个数个位是或者，还有个数个位是或者，那么四个连续自然数个位为：（1），，，，而个位数为的的最小倍数只能是或者或者.，在比较前面的条件能是，，倍数，明显，，，不行，个位为，，，，的四个连续自然数中最小的是，，，；（2），，，，而个位数为的的最小倍数只能是或者或者，在比较前面的条件能是，，倍数，明显，，，和，，，和，，，均不符合题意，由以上可得这四个连续的自然数最小是，，，，所以这四个数的和最小为．故答案为：．【点睛】本题考查了整除和因数和倍数的问题，解答此题的关键是在的倍数上，找到了突破口再结合题意，分别求出各数，进而得出结论．18．【分析】利用整除的定义，能被和整除，个位上的数只能是，然后根据能被整除确定十位上数的最大值即可【详解】∵四位数能被和整除，个位上的数只能是，∴这个四位数为，∵这个四位数为能被整除，∴符合条件的四位数有：、、，∴这个四位数最大是，故答案为：【点睛】本题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握整除的定义19．（1）11的因数有1和11；（2）102的因数有1、2、3、6、17、34、51和102【分析】（1）根据求一个数的因数的方法，进行列举即可；（2）由题意根据求一个数的因数的方法，进行列举即可．【详解】解：（1）11的因数有1和11；（2）102的因数有1、2、3、6、17、34、51和102．【点睛】本题考查的是求一个数因数的方法，注意掌握有顺序的写，做到不重复，不遗漏．20．左圈（部分4的倍数）：24，40，52，100；中圈（既是4的倍数又是60的因数）：4，12，60；右圈（部分60的因数）：1，2，5，30．【分析】整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数），因数和倍数是相互