人教版九年级数学下册相似《相似三角形（第5课时）》示范教学设计

相似三角形（第5课时）教学目标1．能构造相似三角形解决问题，会综合应用相似三角形的判定解决与圆、函数、动点有关的问题．2．经历用相似三角形的判定解决方案问题的过程，发展分析问题、解决问题的能力．教学重点巩固相似三角形的判定方法，并能熟练地运用它们进行计算和证明．教学难点综合应用相似三角形的判定解决问题．教学过程知识回顾1．相似三角形需要满足的条件是什么？【答案】（1）三个角分别相等；（2）三条边成比例．2．平行线分线段成比例的基本事实及推论分别是什么？【答案】基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．三角形相似的判定方法有哪些？【答案】（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．（3）三边成比例的两个三角形相似．（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．（5）两角分别相等的两个三角形相似．4．直角三角形相似的判定方法有哪些？【答案】（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似．（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．新知探究类型一：构造相似三角形解决问题【问题】1．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE＝___________．【师生活动】教师引导学生分析：构造以A，D，E为顶点且与△ABC相似的三角形时，要注意所构造的三角形与△ABC各顶点的对应性．学生小组讨论，完成作答．【答案】或10【解析】（1）如图①，过点D作DE1∥BC交AC于点E1，则△ADE1∽△ABC，∴＝．∵AD＝AB，AC＝15，∴AE1＝AC＝10．（2）如图②，在AC上取点E2，使∠AE2D＝∠B，则△AE2D∽△ABC，∴＝．∵AB＝12，AC＝15，AD＝AB，∴AD＝8．∴＝．∴AE2＝．综上可得，AE的值为或10．【提醒】在解决与相似三角形有关的问题时，若仅说两个三角形相似，并未明确顶点的对应性时，则应注意分情况来构造相似三角形，不要出现漏解现象．【设计意图】通过解答问题1，让学生学会构造相似三角形解决问题，体会分类讨论的思想．类型二：相似三角形的判定与圆的综合应用【问题】2．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师总结．【答案】（1）证明：∵＝，∴∠C＝∠DBE．在△AEC和△DEB中，∠C＝∠DBE，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB．（2）解：∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，∴BE＝AE＝AB＝4．∵△AEC∽△DEB，∴＝．即＝，∴CE＝8．∴CD＝10．∴⊙O的半径为5．【归纳】判定圆中相似三角形的策略：对于判定圆中相似三角形的问题，通常寻找两角分别相等来证明两个三角形相似，利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”是圆中常见的寻找等角的方法．【设计意图】通过解答问题2，让学生学会解决相似三角形与圆的综合应用问题，发展推理论证的能力．类型三：相似三角形与函数的综合应用【问题】3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位长度的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为xs(0＜x≤3)，解答下列问题：（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数解析式表示S；当x为何值时，S有最值？并求出最值；（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．【师生活动】教师提示：正确构建面积S与x的函数解析式是求面积S是否有最值以及求最值的前提；根据QP⊥DP的条件，将x是否存在的问题转化为三角形相似问题．学生小组讨论，完成作答．【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3．当运动xs时，则AQ＝x，BP＝x，∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x．∴S△ADQ＝AD·AQ＝×4x＝2x，S△BPQ＝BQ·BP＝(3－x)x＝x－x2，S△PCD＝PC·CD＝(4－x)×3＝6－x．又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，∴S＝S矩形ABCD－S△ADQ－S△BPQ－S△PCD＝12－2x－－＝x2－2x＋6＝(x－2)2＋4，即S＝(x－2)2＋4，∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x＝2．∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大．又当x＝0时，S＝6，当x＝3时，S＝，但在x的取值范围内取不到x＝0，∴S不存在最大值，当x＝2时，S有最小值，最小值为4；（2）存在．理由如下：由（1），知BQ＝3－x，BP＝x，CP＝4－x，当QP⊥DP时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC＝90°，∴∠BPQ＝∠PDC，且∠B＝∠C．∴△BPQ∽△CDP．∴＝，即＝．解得x＝（舍去）或x＝．∴当x＝时，QP⊥DP．【设计意图】通过问题3，将新知识与已学知识相结合，让学生学会解决相似三角形与函数的综合应用问题，提升学生分析问题、解决问题的能力．类型四：应用相似三角形判定定理解决动点问题【问题】4．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【师生活动】学生独立思考作答，教师指导、总结．【答案】解：设经xs△PBQ与△ABC相似，则AP＝2xcm，BQ＝4xcm．∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝AB－AP＝(8－2x)cm．∵∠B是公共角，有两种情况：（1）当＝时，△PBQ∽△CBA，∴＝，解得x＝0.8；（2）当＝时，△PBQ∽△ABC，∴＝．解得x＝2．∴点P，Q分别从点A，B同时出发0.8s或2s时，△PBQ与△ABC相似．【归纳】解决动态型几何问题时，常在“动”中求“静”，寻找符合条件的瞬间，利用分类讨论思想抓住问题的关键，逐一击破．【设计意图】通过问题4，让学生学会用相似三角形的判定解决动点问题，巩固学生对相似三角形的判定方法的掌握，拓展数学思维，进一步发展推理论证的能力．类型五：应用相似三角形判定定理解决方案问题【问题】5．要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm，60cm，80cm，另一个三角形教具的一边长为20cm，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案？【师生活动】学生小组讨论、尝试作答，教师指导、总结．【答案】解：（1）当20cm的边长的对应边为50cm时，∵50∶20＝5∶2，且一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形教具对应的三边长分别为20cm，24cm，32cm；（2）当20cm的边长的对应边为60cm时，∵60∶20＝3∶1，且一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形教具对应的三边长分别为cm，20cm，cm；（3）当20cm的边长的对应边为80cm时，∵80∶20＝4∶1，且一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形教具对应的三边长分别是cm，15cm，20cm．∴选料有三种方案．【设计意图】通过解答问题5，让学生学会应用相似三