2024年高考数学一轮复习：二次不等式

考向03不等式性质与一元二

次不等式

［经典字■题)

（2018年全国卷III理数高考试题文档版）设。=logo2°-3,b=l«g20-3,则

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【详解】

11CC17CO11

分析：求出一=log0.3o.2,=/og0.32,得到一+的范围，进而可得结果.

abab

详解：.・.・Q=log0.2o.3,&=/og2O.3

—=log0.3o.2,_=log0.32

ab

11八)

/.—+—=l7og0.4

ab°・3

八II1八a+b1

/.0<—+-<l,即0<------<l

abab

又,.・a>0,b<0

/.ab<0Bpab<a+b<0

故选B.

点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.

，方

(I)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条

件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件.

(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的

理论基础，后者一般是解不等式的理论基础.

(3)解一元二次不等式的步骤：

第一步，将二次项系数化为正数；

第二步，解相应的一元二次方程；

第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；

第四步，写出不等式的解集.容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方

程出错；③结果未按要求写成集合.

(4)对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

［查漏补缺)

一、不等式的基本性质

1、不等式的基本性质

(1)不等式的基本性质1

如果a>b,b>c,那么a〉c,此性质称为不等式的传递性

(2)不等式的基本性质2

如果a>。，那么a+c>O+c,此性质称为不等式的加法性质

(3)不等式的基本性质3

如果a>b,c>0,那么ac>"c,如果a>Ac<0,那么ac<历.此性质称为不等式的乘法性质

2、其他性质

(4)a>b,c>d=^>a+c>b+d(同向相加性)；

(5)a>b>Q,c>d>Onac>bd(同向相乘性，特别注意符号限制，需满足正号)；

（6）a>b>Q,neN*na”>b”（可乘方性，特别注意符号限制，需满足正号）；

（7）a>b>Q,HGN*=*>乖（可开方性，特别注意符号限制，需满足正号）。

（8）a>b>Q^O<L<L（可倒性，特别注意符号性质，需满足正号）

ab

3.一元二次不等式

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是乙的不等式，称为一元二次不等式.

4.三个“二次”间的关系

判别式A=b2—4acA>0A=0A<0

7

——伏EN缴y—ax2-|-DX-|-c〈a\/

J

>0)的图象O/xIy

J()|1X|=X2Jf

0X

有两个相等的实数根X1

一元二次方程ax2+bx+c=有两个不相等的实数根

b没有实数根

0(a>0)的根X,X(X<=X=-

121X）22a

ax2+bx+c>0(a>0)的解[x卜b]

{xx>x2或X<xJ-a)R

集

ax2+bx+c<0(a>0)的解

{x|x.<x<xj00

集'——

5.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x—a)•(x—b)>0{xx〈a或x>b}{xxWa}{xx〈b或x>a}

(x—a)•(x—b)<0{xa〈x〈b}0{xb〈x〈a}

【知识拓展】

不等式的证明方法：

1.比较法

（1）求差比较法要证。>。，只需证。一。>。；要证。<。，只需证。一b<0.其步骤是：作差一变

形f判断（与零比较）.

（2）求商比较法要证。>。，而。>0,只需证:〉1；要证。<。，而。>0,只需证?<1.其步骤

bb

是：作商（除式分母大于零）一变形一判断（与1比较）

2.综合法

利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种由因导果

的证明方法叫做综合法.

3.分析法

肯定待证的不等式成立，逆推到与已知条件或基本不等式相符合，这一系列的不等式中后者总是前者的

充分条件.这种由果索因的证明方法叫做分析法，又称逆证法.

4.一元二次不等式

（1）解不等式ax2+bx+c>0«0）时不要忘记a=0时的情形.

（2）不等式ax2+bx+c〉0（<0）恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.

[a=b=O,[a>0,

①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立或|人

[c>0[A<0.

[a=b=0,[a<0,

②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立或:

[c<0[A<0.

1.（2021•全国高三其他模拟（理））已知a>b,c>d,则下列关系式正确的是（）

A.ac+bd>ad+bcB.ac+bd<ad+bc

C.ac>bdD.ac<bd

2.（2021•贵溪市实验中学高三其他模拟）如果那么下列说法正确的是)

A.ac>bcB.ac2<bc2C.ac=bcD.b-a<0

3.（2019年天津市高考数学试卷（文科））设xwR,使不等式3x2+x-2<0成立的1的取值范围为

4.（2。21.河北石家庄市.高三二模）若命题“々R,*-2x°+〃z<°"为真命题,则实数相的取值

范围为

开带

1.（2021•安徽马鞍山市•高三二模（理））已知a>0,b>0,下列说法错误的是（）

bba

A.若贝！J—〉——B.若=3加,则。>匕

aab

C.恒成立D.e（0,1）,使得QC-Q=J_£-a

a

2.（2021•广东珠海市•高三二模）已知Q,b£R,满足〃b<0,a+b>Qfa>b,则（）

11bai7i

A.-<-B.-+->0C.a2>b2D.ci<\b\

abab11

3.（2021•北京八十中高三其他模拟）已知非零实数a,匕满足4<b,则下列不等式中一定成立的是（）

A.InavlnbB.-C.a2<b?D.。3<匕3

ab

4.（2020年新高考全国卷I数学高考试题（山东））已知a>0,b>0,且a+b=l,则（）

711

A.a2+b2>_B.2a-b>-

22

C.10g2«+10g2Z?>-2D.yfa-^yfb<y/2

5.（2021•江苏南京市•高三一模）若。<b<0,则下列不等式恒成立的是（）

111〉1

A-口<7B'MM

C."[>[+：）D.+J

6.（2021•江苏扬州市•扬州中学高三其他模拟）已知两个不为零的实数X,y满足x<y,则下列说法中

正确的有（）

A.3x-vl>1B.xy<y2c.x|x|<y|y|D.->-

7.（2021•江苏盐城市•盐城中学高三其他模拟）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b〉0,则ac2〉/?c2B.若。<b<0,则。2〉"〉匕2

C.若a〉b>0,且c<0,则D.若a>b,则一<了

。2b2ab

8.（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版））能够说明“设出儿。是任意实数,

若〃〉b>j则4+b>。”是假命题的一组整数。力工的值依次为.

9.（2021•浙江高三二模）已知。，beR,若对任意xWO,不等式（办+2）（¥2+2bx—1）W0恒成立,

则。+。的最小值为.

10.（2021•四川攀枝花市•高三一模（文））定义在R上的奇函数/（X）满足了G+l）=/（—X）,当

xe0,1时，f（x）=-x2+x,则当xe（1,2）时，不等式/（x）+且V0的解为__________.

<2」16

C1

11.（2021•新疆乌鲁木齐市•高三二模（文））不等式2X2-3X+I<］的解集是.

12.（2020年江苏省高考数学试卷）设xeR,解不等式21x+ll+1xl<4.

1.（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））设x、y、z为正数，且2、=3〉=5z,

则

2x<3y<5zB.5z<2x<3y

3y<5z<2xD.3y<2x<5z

2.（广西玉林市陆川中学2018届高三期中考试数学（理）试题）若。>6>1,0<c<l,则

B.abc<baC."logc<blogcD.logc<logc

3.（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷参考版））已知羽丁£尺，且x>>>。，则

B.sinx-siny>0

D.Inx+Iny>0

4.（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版））设X>0,*R,则“x>y”

是“X>|”的

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

5.（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷精编版））已知a,b>0,且aWl,bWL若

logb>l,则

a

A.(6Z-l)(&-l)<0

B.>0

C.g—l)(b—a)eO

D.S-1)(j)〉0

6.(2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(浙江卷精编版))已知实数a,b,c.

A.若|@2+b+c|+1a+b2+c|W1,则@2+b2+c2<100

B.若|出+b+c|+1az+b-c|Wl,贝！Jaz+bz+czVIOO

C.若|a+b+c21+1a+b-C21Wl,则a2+b2+c2<100

D.若|a2+b+c|+1a+b2-c|Wl,贝!Ja2+b2+c2<100

基就练

1.【答案】A

【分析】

利用作差法可判断A、B,利用特值法可判断C、D.

【详解】

解：对于A、B：

a>b,c>d,

ac+bd-（ad+bc）=（a-b）（c-d）>0,故A正确，B错误;

对于C：当b=0,c〈0时，ac<0,bd=O,故C错误；

对于D：当a〉b〉O,c>d>0时，ac>bd,故D错误；

故选：A.

2.【答案】D

【分析】

根据不等式的性质判断，错误的可举反例.

【详解】

因为a>b,不等式两边同时减去。得D正确，

若c=0,则AB错误，若CWO,C错误.

故选：D.

/，2、

3.【答案】（-1,-）

【分析】

通过因式分解，解不等式.

【详解】

3x2+%-2<0,

即（x+l）（3x—2）<0,

,2

即-1<x<w,

/，2、

故》的取值范围是（-1，?.

【点睛】

解一元二次不等式的步骤：（1）将二次项系数化为正数；（2）解相应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程

的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集.容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应

错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合.

4.【答案】（—8/）

【分析】

根据特称命题为真命题，结合判别式可得结果.

【详解】

由题意可知，不等式%2-2%+机<0有解，

.・.A=4—4m>0,m<1,

实数m的取值范围为(—81)，

故答案为：J00」)

提升绦

1.【答案】D

【分析】

A选项可以构造嘉型函数来判断；B、D选项借用求导的手段求出函数单调性来判断大小关系；C选项利用基

本不等式可判断出大小关系.

【详解】

解：对于A：0<a<b<l,所以

,bba

因为。〉a,所以。所以—〉一,故A正确；

aab

对于B：设/(x)=x-ex,则r(Q=(x+l)e,所以xe(0,+co)上单调递增，

ac3

因为2aea=3be%所以竺一=-〉l,所以。打>加占，所以。>6,故B正确；

beb2

对于C：已知。>0,b>0,

所以砒+ba22而乐,当且仅当a时，等号成立，

当0<a<l时，y=成立，故C正确；

对于D：令y=x・e-x,则y'=e-x—x,e-x=(l—x)・e-x,

因为xe(0,l),所以y=单调递增，则不存在ae-。=；，故D错误.

a

故选：D.

【点睛】

实数间的大小比较，常见解题思路如下

(1)构造幕型函数、指数型函数、对数型函数，三角函数等、利用函数性质，结合函数图象进行实数间的大

小比较；

(2)利用基本不等式、不等式性质进行实数间的大小比较；

⑶利用导数判断函数单调性进行实数间的大小比较；

(4)利用函数单调性、对称性、奇偶性、周期性进行实数间的大小比较.

2.【分析】由给定条件分析出a>0,b<0及a与b间的关系，针对各选项逐一讨论即可得解.

【详解】

因而<0,a>b,则a>0,b<0,->0,-<0,A不正确；-<0,^<0,则2+：<0,B不正确；

ababab

又a+Z?>0,即a>—b>0,贝［］。2>(—6)2,az>bz,C正确；由。>一6>0得。>16，D不正确.

故选：C

3.【答案】D

【分析】

当a<6<0时，A,B,C均不成立，即可得到答案；

【详解】

对A,当a<6<0时，不等式无意义，故A错误；

，八11

对B,当。<。<0时，一<7，故B错误；

ab

对C,当a<b<0时，t/2>Z?2,故C错误；

对D,当时，.3<加成立，故D正确；

故选：D.

4.【答案】ABD

【分析】

根据a+b=l,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】

对于A,+加=+(1-=2a2—2a+1=21ci——+一>—,

{2J22

,1

当且仅当a=6=2时，等号成立，故A正确；

cc1

对于B,a-b=2a-l>-l,所以2“4>2-1=1，故B正确;

(a+b\21

对于C,k>g_a+logb=log_ab<logII=log—=-2,

当且仅当a=b=^时，等号成立，故C不正确；

对于D,因为+JF)=1+2yfab<l+a+b=2,

所以亚+邪W鬼,当且仅当。=匕=:时，等号成立，故D正确;

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核

心素养.

5.【答案】AC

【分析】

根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.

【详解】

11a-(a-b)b_11

对于A选项，由于故。一"<°,所以口一厂力^=就%<0,即力<7故人

选项正确;

11国一回a-b八11

对于选项,由于a<b<0,故a—。<0,厂厂方==厂面故而〈而，故选项错误；

B\a\啊\1a\\b\\a\\b\<0,\a\\b\B

iiiiriY<iY

对于c选项，因为a<b<o,故o>—>不，所以0>8+—〉。+丁，所以a+—〉b+—,故C选项正

ababIb)Ia)

确;

c,11,15(1Y

对于D选项—则a+/+厂”，所以a+j>不成立，故D选项错误;

故选:AC

【点睛】

本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式

的性质或者作差法比较大小，进而判断.

6.【答案】AC

【分析】

对四个选项一一验证：

对于A：利用y=3,为增函数直接证明；

对于B：取特殊值判断；

对于C：若x<y<0时，利用同向不等式相乘判断;若x<°<y时，有N*<°<,直接判断;若0<x<y

时，利用不等式的乘法性质进行判断

对于D：取特殊值判断；

【详解】

对于A：因为两个不为零的实数了,丁满足x<V,所以|尤-”>0,而y=3工为增函数，所以3工4>3。=1,

即3上J>1；故A正确；

对于B：可以取％=-2,y=-1,则有孙=2,>2=1,所以孙〉y2；故B不正确；

对于c：若x<y<0时，则有-x>—y>0相>川>0,根据同向不等式相乘得：―九|尤|>一,即中|<y⑶

成立；

若x<0<y时，有训<0〈山故*x|<y|y|成立；

若0<x<y时，则有川x|=x2,y\y\=y2,因为。<x<y,所以门〉》2,即可可<斗乂成立；

故C正确；

kJL11

对于D：可以取x=-2,y=l,则有三TV5—,所以一<一；故D不正确；

XLyxy

故选：AC

【点睛】

(1)判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；

(2)多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证.

(3)要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看

可以了.

7.【答案】BC

【分析】

利用不等式的性质逐一判断即可求解.

【详解】

选项A：当c=0时，不等式不成立，故本命题是假命题；

-f

a<ba<b

选项B:〈>ab,\C二ab>b2,

、a<0Ib<0

:.a?>ab>b?,所以本命题是真命题；

选项C：d!>/?>0=>612>/72>0=>0<—<—,

。2b2

•/c<0,.*--->-—,所以本命题是真命题；

。2匕2

选项D:若〃>0/<0时，显然不成立，所以本命题是假命题；

ab

故选：BC.

8.【答案】-1,-2,-3

【解析】

试题分析：-1>-2>-3,-1+(-2)=-3>-3,矛盾，所以T,-2,-3可验证该命题是假命题.

【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法.解答本题时利用赋值的方式举反例进

行验证，答案不唯一.

9.【答案】73

【分析】

考虑两个函数g(无)=以+2,/(x)=x2+2/?x-l,由此确定。>0,x<。时，/(x),g(x)有相同的零点,

得出。力的关系，检验此时Ax)也满足题意，然后计算出(用。表示)，然后由基本不等式得最小值.

【详解】

设g(x)=奴+2,f(x)=X2+2bx-1,

〃龙)图象是开口向上的抛物线，因此由xWO时，/(x)g(x)WO恒成立得。>0,

222

g(x)=O时，1=一_,X<一一时，g(x)<0,一-<x4。时，g(x)>0,

aaa

222

因此时，/(x)>0,__<xVO时，/W<0,/(--)=0,

aaa

4助，八,2

所以一一一一1=0①，—b>——②,

a2aa

„,1aa12人

由①得。—二，代入②得二一—〉——，因为a>。，此式显然成立.

a44aa

a+b=—+—>2J—x1^.'=,当且仅当一=即a=4g时等号成立，

a4\a4a43

所以a+。的最小值是卢.

故答案为：邪.

【点睛】

关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值.解题关键是引入两个函数/(x)和g(x),

把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度.由两个函数的关系得出参数。力的关系，从而可求得

a+b的最小值.

57

10.【答案】-<x<-

44

【分析】

根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得xe(1,2)时对应的函数解析式，然后解一元二次不等式

即可.

【详解】

/G+l)=/(-x)=-/(%)f(x+2)=-/(%+1)=/(%),函数周期为2；

当仪-别时，+X,

则当时，/(x)=/(x-2)=(%-2)2+(x-2)=%2-3%+2,

由/(X+1)=/(-%)=-/(%)=/(X)=-/(尤-1)知，

当时，/(X)=-/(X-1)=-[-(X-1)2+X-1]=X2-3%+2,

故xe(1,2)时，/(%)=%2-3x+2

3357

则不等式/G）+m<0即X2-3X+2+M<0,解得?,

161644

57

故答案为：———

44

【点睛】

关键点点睛：难点在于求得函数在xe（1,2）对应的函数解析式，从而解一元二次不等式.

11.【答案】（12）

【分析】

由指数函数的单调性可得X2-3x+2<0,求解即可.

【详解】

...2X2-3X+I<1=2-1,X2-3x+l<-1,即X2—3X+2<0,解得1<X<2,

故不等式的解集为（1,2）.

故答案为：（12）.

/c2、

12.【答案】（-2,?

【分析】

根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果

【详解】

x<-1f-1<x<0fx>0

*-2x-2-x<4[2x+2-x<4[2x+2+x<4

2

/.-2<x<-l^-l^%^0^0<x<—

所以解集为：（-2,1）

【点睛】

本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.

真题练

L【解析】

令2工=3丫=5二=左（左〉1）,贝ijx=logk,y=logk,z=logk

235

2x也.里=里〉］

则2x〉3y,

,1,371g231g左lg8

2x21gklg5lg25,

k=[、'T]~T=1”<1,贝！]2x<5z,故选D.

5zlg251gklg32

点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的x，％z,通过

作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及。与1的

对数表示.

2.【答案】C

【详解】

试题分析：用特殊值法，令。=3,b=2,。=彳得32>2•选项A错误，3X2：〉2X31选项B错误,

,1,1

log3->log_,选项D错误，

因为

alogc-blogc=lgc.（---心-）=lgc・（国竺—a>b>