安徽省淮南市2025届高三数学一模试题理含解析

PAGE18-安徽省淮南市2025届高三数学一模试题理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣22．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）3．a2＞b2的一个充要条件是（）A．a＞b B．a＞|b| C．|a|＞|b| D．4．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an+1＝1﹣，则S2024＝（）A． B．1009 C． D．10105．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c6．已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是（）A．y＝sin（ex+e﹣x） B．y＝sin（ex﹣e﹣x） C．y＝cos（ex﹣e﹣x） D．y＝cos（ex+e﹣x）7．良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2024年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年头的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）改变的数学模型：（y0表示碳14的初始量）．2024年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年头学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推想良渚遗址存在的时期距今大约是（）（参考数据：log25≈2.3，log211≈3.5）A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年8．在平面直角坐标系xOy内，已知直线l与圆O：x2+y2＝8相交于A，B两点，且|AB|＝4，若＝2且M是线段AB的中点，则的值为（）A． B．2 C．3 D．49．在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），若cos（）＝，则x0＝（）A． B． C． D．10．2024年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的选派方法数有（）种A．25 B．60 C．90 D．15011．如图，双曲线F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A． B． C． D．12．已知两个实数M，N满意M≤xex﹣lnx﹣x﹣1，N≤+lnx﹣x在x∈（0，+∞）上均恒成立，记M，N的最大值分别为a，b，那么（）A．a＝b+2 B．a＝b+1 C．a＝b D．a＝b﹣1二、填空题：本大共4小题，每小题5分，共20分13．已知实数x，y满意约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14．（2x2﹣1）5绽开式中，含x6项的系数为．15．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B，且|AF|﹣|BF|＝，则＝．16．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为an＝[（）n﹣（）n]，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设n是不等式＞x+6的正整数解，则n的最小值为．三、解答题：本大题分为必考题与选考题两部分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且S3＝12，a8＝16．数列{bn}为等比数列，满意b1＝a2，b3b5＝256b4．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满意cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．18．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3（sinB+sinC）2﹣3sin2（B+C）＝8sinBsinC．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面积为4，求a+b+c的最小值．19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领将来”的目标，创建了很多项中国首次．2024年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事务的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是依据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男女合计（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，过F2的直线l交C于点A、B，且△F1AB的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．（1）若f（x）在R上是减函数，求m的取值范围；（2）假如f（x）有一个微小值点x1和一个极大值点x2，求证：f（x）有三个零点．选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分,作答时,请用2B铅笔在答越卡上将所选题号后的方榧涂焦.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝6sinθ，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；（2）已知直线l：（t为参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求|PA|⋅|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2解：复数z＝＝＝＝2+3i，则z的虚部是3．，故选：A．2．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）解：集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，B＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{x|1≤x＜3}＝[1，3）．故选：B．3．a2＞b2的一个充要条件是（）A．a＞b B．a＞|b| C．|a|＞|b| D．解：A：当a＝2，b＝﹣4时，a＞b成立，但a2＞b2不成立，∴A错误，B：当a＝﹣6，b＝﹣4时，a2＞b2成立，但a＞|b|不成立∴B错误，C：a2＞b2⇔|a|＞|b|，∴C正确，D：当a＝2，b＝﹣4时，＞成立，但a2＞b2不成立，∴D错误，故选：C．4．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an+1＝1﹣，则S2024＝（）A． B．1009 C． D．1010解：若a1＝，an+1＝1﹣，则a2＝1﹣2＝﹣1，a3＝1﹣（﹣1）＝2，a4＝1﹣＝，a5＝1﹣2＝﹣1，…，所以{an}的最小正周期为3，则S2024＝673（a1+a2+a3）+a1+a2＝673×（﹣1+2）+﹣1＝1009．故选：B．5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：设a＝，b＝，c＝，∵函数y＝是（0，+∞）的增函数，＜，∴b＜c．∵当0＜a＜1时，函数y＝是R上的减函数，＜，∴＞，即a＞c，则a，b，c的大小关系为a＞c＞b，故选：A．6．已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是（）A．y＝sin（ex+e﹣x） B．y＝sin（ex﹣e﹣x） C．y＝cos（ex﹣e﹣x） D．y＝cos（ex+e﹣x）解：由图象可知，函数图象关于y轴对称，而y＝sin（ex﹣e﹣x）为奇函数，图象关于原点对称，故解除B；且﹣1＜f（0）＜0，而sin2＞0，sin0＝0，故解除A，C．故选：D．7．良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2024年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年头的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）改变的数学模型：（y0表示碳14的初始量）．2024年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年头学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推想良渚遗址存在的时期距今大约是（）（参考数据：log25≈2.3，log211≈3.5）A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年解：设良渚遗址存在的时期距今大约x年，则y%y0，即（）＝0.55，所以＝log2100﹣log255＝2+log25﹣log211≈0.8，解得x≈5730×0.8＝4584，故选：C．8．在平面直角坐标系xOy内，已知直线l与圆O：x2+y2＝8相交于A，B两点，且|AB|＝4，若＝2且M是线段AB的中点，则的值为（）A． B．2 C．3 D．4解：由|AB|＝4，M是线段AB的中点，可得OM⊥AB，所以|OM|＝＝＝2，由＝2，则+＝2，则A为线段BC的中点，如图所示，所以|CM|＝|CA|+|AM|＝4+2＝6，在Rt△CMO中，＝||||cos∠COM＝||2＝4．故选：D．9．在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），若cos（）＝，则x0＝（）A． B． C． D．解：在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），∴cosα＝x0，∵α∈（﹣，0），∈（﹣，），又cos（）＝＜，∴∈（﹣，0），∴sin（）＝﹣，∴x0＝cosα＝cos[（）﹣]＝cos（）cos+sin（）sin＝﹣＝．故选：A．10．2024年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的选派方法数有（）种A．25 B．60 C．90 D．150解：依据题意，分2步进行分析：①将5名工作人员分为3组，若分为1﹣2﹣2的三组，有＝15种分组方法，若分为1﹣1﹣3的三组，有C53＝10种分组方法，则有10+15＝25种分组方法，②将分好的三组全排列，支配到A、B、C三个村调研，有A33＝6种状况，则有25×6＝150种选派方法，故选：D．11．如图，双曲线F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A． B． C． D．解：如图，不妨设|AB|＝1，|CD|＝4，则|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2•1•2c•cos60°＝（1+2a）2，①在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2•4•2c•cos120°＝（4+2a）2，②②﹣①得，15+10c＝12a+15，则e＝．故选：C．12．已知两个实数M，N满意M≤xex﹣lnx﹣x﹣1，N≤+lnx﹣x在x∈（0，+∞）上均恒成立，记M，N的最大值分别为a，b，那么（）A．a＝b+2 B．a＝b+1 C．a＝b D．a＝b﹣1解：xex﹣lnx﹣x﹣1＝ex+lnx﹣（x+lnx）﹣1≥0，+lnx﹣x＝ex﹣2﹣lnx﹣（x﹣2﹣lnx）﹣1﹣1≥0﹣1＝﹣1，所以a＝0，b＝﹣1，即a＝b+1．故选：B．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，共20分13．已知实数x，y满意约束条件，则z＝x+2y的最大值为2．解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，得A（0，1），此时z的最大值为z＝0+2×1＝2，故答案为：2．14．（2x2﹣1）5绽开式中，含x6项的系数为80．解：∵（2x2﹣1）5绽开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•25﹣r•x10﹣2r，令10﹣2r＝6，求得r＝2，可得绽开式中含x6项的系数为•23＝80，故答案为：80．15．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B，且|AF|﹣|BF|＝，则＝2．解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|＝，可得|AF|＝+m，由抛物线的方程可得F（1，0），过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'，过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点，则△BFD∽△BAC，∴＝，即，解得m＝，＝，故答案为：2．16．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为an＝[（）n﹣（）n]，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设n是不等式＞x+6的正整数解，则n的最小值为9．解：不等式，化为：﹣＞26＝64，∴﹣＞，∈（21，34）．由数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，an＝，可得：n＞8，因此n的最小值为：9．故答案为：9．三、解答题：本大题分为必考题与选考题两部分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且S3＝12，a8＝16．数列{bn}为等比数列，满意b1＝a2，b3b5＝256b4．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满意cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由S3＝12，a8＝16，可得a1+7d＝16，3a1+3d＝12，解得a1＝d＝2，所以an＝2n；由b1＝a2，b3b5＝256b4，可得b1＝4，b42＝256b4，即b4＝256，可得4q3＝256，解得q＝4，则bn＝4n；（2）cn＝＝＝（﹣），所以Tn＝c1+c2+…+cn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝4（1﹣）＝．18．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3（sinB+sinC）2﹣3sin2（B+C）＝8sinBsinC．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面积为4，求a+b+c的最小值．解：（1）∵3（sinB+sinC）2﹣3sin2（B+C）＝8sinBsinC，∴3（sinB+sinC）2﹣3sin2A＝8sinBsinC，由正弦定理知，＝＝，∴3（b+c）2﹣3a2＝8bc，即a2＝（b+c）2﹣bc，由余弦定理知，cosA＝＝＝．（2）由（1）知，cosA＝，∵A∈（0，π），∴sinA＝＝，又△ABC的面积S＝bcsinA＝4，∴bc＝12，由余弦定理知，cosA＝＝，即b2+c2﹣a2＝bc，∴a2＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc＝16，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，∴a≥4，∴a+b+c≥4+4，故a+b+c的最小值为4+4．19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领将来”的目标，创建了很多项中国首次．2024年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事务的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是依据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男女合计（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：（1）关注没关注合计男303060女122840合计4258100所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”．（2）因为随机选一高三女生，对此事关注的概率又因为，所以随机变量X的分布列为：X0123P可得：．20．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，过F2的直线l交C于点A、B，且△F1AB的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．解：（1）因为△F1AB的周长为8，由椭圆的定义知4a＝8，故a＝2，又，所以c＝1⇒b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的标准方程为．（2）由题意可设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，明显△＞0且，，∴＝．令，∴．易知S在t∈[1，+∞）单调递减，从而．21．已知函数f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．（1）若f（x）在R上是减函数，求m的取值范围；（2）假如f（x）有一个微小值点x1和一个极大值点x2，求证：f（x）有三个零点．【解答】（1）解：由f（x）＝x2+mx﹣ex+1，得f′（x）＝x+m﹣ex，设g（x）＝x+m﹣ex，则g′（x）＝1﹣ex，当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝m﹣1，f（x）在R上是减函数，则f′（x）≤0恒成立，所以m﹣1≤0，所以m≤1，故m的取值范围是（﹣∞，1]．（2）证明：因为f（x）有一个微小值点x1和一个极大值点x2，所以由（1）可知m＞1，设g（x）＝f′（x）＝x+m﹣ex，则g′（x）＝1﹣ex，当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，因为g（﹣m）＝﹣e﹣m＜0，g（0）＝m﹣1＞0，g（m）＝2m﹣em＜2m﹣em＜0（x∈R，ex＞ex），所以∃x1∈（﹣m，0），x2∈（0，m），使g（x1）＝g（x2）＝0，所以x∈（﹣∞，x1），g（x）＜0即f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（﹣∞，x1），g（x）＜0即f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（x1，x2），g（x）＞0即f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（x2，+∞），g（x）＞0即f′（x）＞0，f（x）单调递减，因为x1＜0＜x2，所以f（x1）＜f（0）＝0＜f（x2），又因为f（﹣2m）＝1﹣e﹣2m＞0，由x＞0，ex＞x2得f（2m+2）＝（2m+2）2+m（2m+2）﹣e2m+2+1＜（2m+2）2+m（2m+2）﹣（2m+2）2+1＝﹣2m﹣1＜0，所以由零点存在定理，得f