高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）直线、平面平行的判定及性质

第四节直线、平面平行的判定及性质

1基础却织妥打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

一、直线与平面平行

1.判定定理

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与此平

-------------------Q6ua}=>a

判定定理酗的一条直线平行，则6〃aJ

直线与此平面平行Z_/

//。

2.性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面平a”a]

行，则过这条直线的任>=a

性质定理

一平面与此平面的交线Qn£二团

与该直线平行//b

二、平面与平面平行

1,判定定理

文字语言图形语言符号语言

-ua、

一个平面内的两条相交Zxza

判定定理直线与另一个平面平^<7aCb=P》

行，则这两个平面平行a〃£

0aIIB

2.两平面平行的性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果两个平行平面同时

4G-二J>0a

性质定理和第三个平面相交,那3J3y-b}

么它们的交线平行

//b

［小题能否全取］

1.（教材习题改编）下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是（）

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面

B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

解析：选D由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行,

故D正确.

2.已知直线a,b,平面则以下三个命题：

①若a//b,ka,则a//a;

②若a〃瓦a//at则b//a;

③若a〃a,b//at贝I］a〃&

其中真命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选A对于命题①，若a//b,bua,则应有a〃。或aua,所以①不正确；

对于命题②，若a〃〃a〃。，则应有6〃。或6ua,因此②也不正确；

对于命题③，若a〃。，b//a,则应有a〃力或a与6相交或a与力异面，因此③也不正确.

3.（教材习题改编）若一直线上有相异三个点4B,C到平面a的距离相等，那么直线，与平面。的

位置关系是（）

k.1//aB.21

C.1与a相交且不垂直D./〃。或Jua

解析：选D由于）上有三个相异点到平面a的距离相等，则/与a可以平行，7ca时也成立.

4.平面。〃平面£,aua,6u£,则直线a,力的位置关系是一

解析：由可知，a,力的位置关系是平行或异面.

答案：平行或异面

5.（­衡阳质检）在正方体/g-4区G〃中，£是加的中点，则被与平面/位的位置关系为

解析：如图.

连接4C切交于。点，连接物因为如〃相，而施'u平面43；

ACE,所以被〃平面/密

答案：平行

1.平行问题的转化关系：

线〃线|判定歌|线〃面|耨画〃面「性质

2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到

“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向

总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.

3.辅助线（面）是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的

应用.

后高频考点要通关抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

线面平行、面面平行的基本问题

3

典题导入

［例1］（•福建高考）如图，正方体N65-46K"中，/6=2,点£为/〃的中点，

点尸在切上.若必〃平面然心则线段所的长度等于一—"-17

［自主解答］因为直线厮〃平面夕七平面/比且平面/8CC平面ABCD=

4；B,

AC,所以小7/C又因为点£是的的中点，所以户是如的中点，由中位线定理可得第

又因为在正方体力加力-/心偌中，AB=2、所以〃=2/.所以必=小.

［答案］木

»>一题多变

本例条件变为“£是中点，F,G,〃N分别是44,AM,9与"4的中点，若〃在四边形断掰

及其内部运动”，则〃满足什么条件时，有历必平面

解：如图，

・.•嬲/平面44GC

£加平面AAGC,

又GNCEG=G,

，平面£6力〃平面/4GC

当〃在线段必上运动时，恒有加/平面AAGC.

由题悟法

解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：

(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视.

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.

以题试法

1.(1)(•浙江高三调研)已知直线/〃平面a,PEa,那么过点户且平行于直线1的直线()

A.只有一条，不在平面a内

B.有无数条，不一定在平面。内

C,只有一条，且在平面a内

D.有无数条，一定在平面。内

解析：选C由直线，与点尸可确定一个平面£,且平面。，£有公共点，因此它们有一条公共直

线，设该公共直线为〃，因为/〃。，所以/〃〃，故过点户且平行于直线，的直线只有一条，且在平面。

内.

(2)(•潍坊模拟)已知仅n,Ji,上表示直线，a,£表示平面.若办=a,nua,，u£,kuB,

znL二〃则。〃£的一个充分条件是()

A.m//8且21/7aB.m//B且n//B

C.0〃£且n//hD.支n"L

解析:选D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”

可得，由选项D可推知。〃£.

直线与平面平行的判定与性质

典题导入

［例2］（•辽宁高考）如图，直三棱柱A6C-©B'C,乙BAC=90°

AB=AC冲,AA'=1,点现"分别为2万和夕C的中点.

⑴证明：仞稼平面©ACC；

（2）求三棱锥卬的体积.（锥体体积公式上;S力，其

中S为底面面

0

积，力为高）

［自主解答］⑴证明：法一：连接四'、然'，因为点眼分别是/6和

B'C的中点，

所以点〃为的中点.

又因为点“为引。'的中点，

所以感.

又脉：平面HACC

ACu平面/ACC

因此朋%平面/ACC.

法二：取/夕的中点A连接眦

而点M“分别为与aC的中点，所以腿〃44',PN//

所以此7平面/ACC,刚/平面⑷ACC.又MPCPN=P、

因此平面胺八必平面A'ACC'.而Mt平面MPN,

因.此网科平面ACC.

⑵法一：连接BN,由题意得A'NLB'C,平面A'B'CC平面夕BCC=B'C,所以/N

平面NBC.

1

又^

2--

11

故

以%

2--2-

6

11

法-%

-2--一6

由题悟法

利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已

有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交

线.

以题试法

2.(-淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体力顺-4合4”中,E,F分别是

BD,阳的中点.

(1)求证：砂〃平面4区必；

⑵求证：EFVAIX.

解：(1)在正方体4兆。-4合4"中，连接合"

在平面阳〃内，E,F分■别为BD,郎的中点，

EF//RD.

又,：BJX平面461az

EK平面48iC»,

.•.用7平面4笈以

(2)•.•/6切-446；〃1是正方体，

ADi_LA\D^AD\J_A\B\.

又A\DC\AiBi—Ai,

.・)〃_L平面AiBiD.

:.ADi1BiD.

又由⑴知，EF//B.D,：.EFLAIX.

■3平面与平面平行的判定与性质

典题导入

［例3］如图，已知/腼-/心G〃是棱长为3的正方体，点£在上，点尸在

络上，G在掰上，且/£=阅=区6=1,〃是81G的中点.

(1)求证:E,B,F,a四点共面；

(2)求证：平面4龈平面BEEF.

［自主解答］⑴在正方形加话历中,

•.・但AG=1,

:.BG=A、E=2,

:.BG糠AiE.

，四边形4凝是平行四边形.

：.A,G//BE.

又GF^BG

，四边形GA祝是平行四边形.

•，.FGC\B\D\A\.

四边形4馆是平行四边形.

4G太夹D\F.

DiF^kEB.

故gB,F,〃四点共面.

3

⑵•.•〃是Be的中点，.•.笈〃二,

RG2

又BIG=1,=

D\no

FC2

又初二可，且乙FCB=LGB1H=90°

DCO

：.XBiHGsXCBF.

:.乙氏GH=ACFB=乙FBG.

：.HG//FB.

.：Gift面FBE%,FBu面FBEa:.GH"画BEDE

由⑴知A.G//BE,AM面FBEDltBEu面FBED,,

:.A\G"面BEDE

且用A4G=G,

平面4处〃平面版E

由题悟法

常用的判断面面平行的方法

(1)利用面面平行的判定定理；

⑵面面平行的传递性(。〃£,£〃yna〃z);

(3)利用线面垂直的性质a,a〃⑶.

以题试法

3.(•北京东城二模)如图,矩形划他所在的平面与直角梯形物GV入所在的平面

互相垂直，MB//NC,MNVMB.

⑴求证：平面/场〃平面〃m；i

⑵若〃。俗求证：6A4C,二二二二苴%

证明：⑴因为MB//NC,MBi平面DNC,NCu平面DNC、

所以俯〃平面小

又因为四边形/曲以为矩形，所以Ml〃回

又平面DNC,DNu平面DNC.

所以例〃平面例C

又MACMB=M,且例，奶U平面/物，

所以平面/如〃平面

（2）因为四边形川他是矩形，

所以刑U就

因为平面阳汹_L平面侬双且平面4WC平面崎V二帆

所以/〃!.平面历死

因为BCu平面仍M

所以AMVBC.

因为掰UL8cMCCiAM^M,

所以6C_L平面/必

因为ACci平面AMC、

所以笈UC

却।解SSilll练要高型—、,，抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

A级全员必做题

1.（•浙江模拟）已知直线必平面直线〃u平面£,则下列命题正确的是（）

A.若n//a,则a〃£B.若a_L£,则m.//n

C.若ml〃，贝（Ja〃£D.若a〃£,贝（Jml.n

解析：选D由m_La,a〃£,nuB=

2.平面。〃平面£的一个充分条件是（）

A,存在一条直线a,alla、a〃£

B.存在一条直线a,aua、a〃£

C.存在两条平行直线a,b,aua,bu。,a〃£,b//a

D.存在两条异面直线a,b,aua,bu£,a//£,b//a

解析：选D若an£=J,a//l,闻a,闻£,a〃a,a〃£,故排除A.若aA£=/,aua,

a//1,则a〃a故排除B.若aC8=1、aua、a〃1,kB,b//1,则。〃⑶b//a,故排除C.

3.如图，正方体/笈切-481G〃中，E,尸分别为棱/及CG的中点，-在平面

/微4内且与平面〃斯平行的直线（）

A,不存在B.有1条

C.有2条D.有无数条

解析：选D由题设知平面A皿4与平面"砂有公共点a,由平面的基本性质中的公理知必有过该点

的公共直线在平面内与/平行的线有无数条，且它们都不在平面〃哥'内，由线面平行的判定定

理知它们都与平面〃川平行.

4.（•浙江模拟）已知a,B,7是三个不重合的平面，a,6是两条不重合的直线，有下列三个条件：

①a〃r,bu8；②a〃y,b//P；③6〃£,auy.如果命题"aCl£=a,be.r,且________贝Ua

//bn为真命题，则可以在横线处填入的条件是（）

A.①或②B.②或③

C.①或③D.只有②

解析：选C由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线

平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.

5.（•开封模拟）如图所示，在空间四边形4?切中，E,尸分别为边AAB,4?上的

点，且四：旗=/6：4=1：4,又从G分别为比；切的中点，则（）/]\\\

A.初〃平面瓦绍且四边形药诩是矩形

B.厮〃平面及力，且四边形以诩是梯形H^y

c

C,%〃平面ABD,且四边形明如是菱形

D.幽7平面ADC,且四边形互即是平行四边形

解析：选B由〃：旗=/G加=1：4知EF庭BD、：.EF〃面BCD.又H,G分别为BC,切的中点，

:.HG鼎BD,:.EF〃HG旦EF#HG.

四边形即第是梯形.

6.（•山西四校联考）在空间内，设/,m,〃是三条不同的直线，a,£,尸是三个不同的平面，则

下列命题中为假命题的是（）

A.ff1r,£_!_/,acS=1,贝（]J_Lz

B./〃a,/〃£,aCS=m,则/〃0

C.aCS=1,8Cy=Cla=n,1//m,贝IJ1//n

D.«1r,1r,贝IJa_L£或。〃£

解析：选D对于A,•.•如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，

,该命题是真命题；对于B,•.•如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，.••该

命题是真命题；对于C,•.•如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，

,该命题是真命题；对于D,当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，，D

不正确.

7.设a,6为空间的两条直线，a,£为空间的两个平面，给出下列命题：

①若a〃a,a〃昆则。〃£；②若a，。，alS、则。〃£；

③若a〃。，bHa、贝IJa〃切④若a,a,bla,则a〃6.

上述命题中，所有真命题的序号是.

解析：①错误.因为。与£可能相交；③错误.因为直线a与6还可能异面、相交.

答案：②④

8.已知平面。〃£，甩。且甩£,过点户的直线加与a,£分别交于4"过点户的直线〃与

a,£分别交于8,D,且⑸=6,AC=9,如=8则劭的长为

解析：如图1,•・・〃n劭=?，

经过直线NC与M可确定平面PCD.

：a〃£,aC平面尸切=/及6c平面99=/

：.AB//CD.

PAPB6S-BD

-'-AC=Bff即yR.

24

BD--.

5

如图2,同理可证46〃az

PAPB6BD-3

•・•汗=历即十

：.BD=24.

24

综上所述，劭二三或24.

o

94

答案：三或24

O

9.（•浙江模拟）下列四个正方体中，46为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点,

能得出直线加〃平面力训的图形的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）

④

解析：对于①，注意到该正方体的经过直线位?的侧面与平面施平行，因此直线平行于平面MNP；

对于②，注意到直线46和过点A的一个与平面9P平行的平面相交，因此直线46与平面9P相交；对于

③，注意到直线4?与妨平行，且直线"3位于平面叱外，因此直线4?与平面叱平行；,对于④，易知

此时与平面团年相交.综上所述，能得出直线4?平行于平面叱的图形的序号是①③.

答案：①③

10.(•西安模拟)如图，也垂直于矩形465所在平面，CE//DF,乙DEF=90°.

(1)求证：龙〃平面/斯；

⑵若矩形被/的一边加=/，EF=2小,则另一边相的长为何值时，三棱锥F

-〃应的体积为小?

解：⑴证明：过点£作切的平行线交加于点X连接AM.

因为CE//DF,

所以四边形6W是平行四边形.

可得EM=CDnEM//CD,

于是四边形BEMA也是平行四边形,

所以有班'〃液

而川仁平面ADFyBEX平面ADF,

所以庞〃平面/跖

⑵由"=2小EM=AB=^3,

得取=3且4好^=30。.

由4颂=90°可得功=4,

从而得DE-2.

BC1CD,BCLFD,

所以夕C_L平面CDFE.

所以，VF-BDE—Vs-DEF~T5ADEFXBC.

因为S〉DEF=

3

所以BC=®.

3

综上当6c=5时，三棱锥尸-叱的体积为也.

11.如图，在直四棱柱/灰力-G〃中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,且48=

2CD、在棱48上是否存在一点元使平面口必力平面ADD1A?若存在，求点F的位置；

若不存在，请说明理由.

解：存在这样的点尸，使平面&生〃平面此时点F为AB的中点，证明如

下：

-：AB//CD,AB=2CD、

.•/尸触切，，四边形如切是平行四边形,

：.AD//CF.

又加t平面助丽平面42ZM.

必〃平面ADD,A,.

又CC\"皿CGC平面皿

DDid平面ADDiAi,

：.CG〃平面ADD1Ai,

又CG,CFu平面CKF,CGnCF=C,

平面C\CF//平面ADDiAi.

12.（•潍坊二模）如图，点C是以4?为直径的圆上一点，直角梯形8CDE所在

平面与圆。所在平面垂直，豆DE”BC,DC1BC,DE=^BC=2,AC=CD

=3.

⑴证明：£0〃平面/切；

⑵证明：平面平面为如；

⑶求三棱锥月的体积.

解：⑴证明：如图，取a1的中点可连接豳ME.

在△/回中，。为的中点，"为%的中点，

0M//AC.

在直角梯形被应中，DE//BC,且DE=*C=CM,

.•・四边形加以为平行四边形..・・创〃加

平面加。〃平面ACD,

又,/Eg平面EMO,

平面42Z

⑵证明：•••。在以加为直径的圆上，・./ABC

又•.・平面犯如_L平面平面比班D平面2回二比：

・••/UL平面BCDE.

又,「/比平面ACD,

平面ACDL平面BCDE.

⑶由⑵知/UL平面宽宏

11

又〈SABDE-'^'XDEX6Z?=~X2X3=3,

1,1

VE-ABD—VA-BDE—-XS△破XZC=gX3X3二3.

B级重点选做题

1■若平面a〃平面£,直线a〃平面a,点8G£,则在平面£内与过8点的所有直线中（）

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一与a平行的直线

解析：选A当直线a在平面£内且经过8点时，可使a〃平面a，但这时在平面£内过8点的所

有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线.

2.（*南宁二模）如图所示，在四面体力6切中，M,“分别是

则四面体的四个面中与4V平行的是.

解析：连接4〃并延长，交切于瓦连接刚并延长交CD于F,

EMEN\

知，E,户重合为一点，且该点为切的中点£,由正=拓=5，得肠必

M/11\DN

平面/a1且加〃平面ABD.

答案：平面ABC,平面ABD

3.（•北京东城区模拟）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中幽”分别是4?,"C的中点,

G是勿7上的一动点.

俯视图

（1）求该多面体的体积与表面积；

⑵求证：GN1AC]

⑶当户时，在棱加上确定一点尸，使得平面砥并给出证明.

解：⑴由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△/所中，AD1DF,DF二AD=DC=a,

所以该多面体的体积为最

表面积为1a~X2+y/2a2+a+a=(3+,\y2)a.

⑵连接龙，FN、由四边形力8切为正方形，且“为的中点知N,〃三点共

线，且陇

又,：FD1AD、FDICD,

ADQCD=D,

二切_L平面ABCD.

'：ACa平面ABCD,：.FD1.AC,

又DNCFD=D、

•,W平面侬

又图e平面冲

；.GNIAC.

（3）点P与点/重合时，夕〃平面磁:

取先的中点〃连接笫GA,MH.

・•,G是加的中点，

GH^CD.

又〃是熊的中点,

：.AM^CD.

：.GH//AM^_GH=AM.

，四边形GHMA是平行四边形.

GA//MH.

■:MHu平面FMC、GA（1平面FMC,

.•.劭〃平面砥即当点户与点力重合时，配〃平面磁：

I§标各选题I

1.已知见n,1