人教A版2019必修第一册专题2.2基本不等式【八大题型】(原卷版+解析)

专题2.2基本不等式【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对基本不等式的理解】 1【题型2由基本不等式比较大小】 3【题型3利用基本不等式证明不等式】 4【题型4利用基本不等式求最值（无条件）】 6【题型5利用基本不等式求最值（有条件）】 7【题型6基本不等式的恒成立问题】 9【题型7基本不等式的有解问题】 11【题型8基本不等式的实际应用】 13【知识点1两个不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).【题型1对基本不等式的理解】【例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式（x-2y）+1x−2y≥2成立的前提条件为（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式a2+4A．a=4 B．a=2 C．a=−2 【变式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考阶段练习）给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使ab+bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2023·全国·校联考三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（

）A．ab≤14 C．1a+1【题型2由基本不等式比较大小】【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知P＝a2＋4a2(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若0<a<b，则下列不等式成立的是（

）A．ab<a<a+b2C．a<ab<a+b【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，A=a+b2,A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤H D．H≤A≤G【变式2-3】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2ab，2ab，a2+A．a2+bC．2ab D．a+b【题型3利用基本不等式证明不等式】【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：1+1【变式3-1】（2023秋·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．(1)若0≤x≤1，则x1−(2)若ab≠0，则ba【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a，b，c均为正实数.(1)求证：a+b+c≥ab(2)若a+b=1，求证：1+1【变式3-3】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，证明.(1)a2(2)a【知识点2基本不等式与最值】1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型4利用基本不等式求最值（无条件）】【例4】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）设x>0，则函数y=x2+x+25A．6 B．7 C．11 D．12【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）函数y=2x+1x(x>0)A．2 B．22 C．3 【变式4-2】（2023春·河南信阳·高一统考期末）当x>a时，2x+8x−a的最小值为10，则a=（A．1 B．2 C．22 D．4【变式4-3】（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知0<x<4，则x4−x的最大值为（

A．12 B．1 C．2 【题型5利用基本不等式求最值（有条件）】【例5】（2023·重庆沙坪坝·重庆校考模拟预测）已知x>0,y>0,xy+2x−y=10，则x+y的最小值为（

）A．22−1 B．22 C．4【变式5-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知4a2+b2A．34 B．32 C．5【变式5-2】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2A．78 B．C．910 D．【变式5-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知a>0,b>0，则下列命题错误的是（

）A．若ab≤1，则1B．若a+b=4，则1aC．若a2+bD．若2a+b=1，则ab的最大值为2【题型6基本不等式的恒成立问题】【例6】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知对∀x∈0,+∞，不等式x>m−1x恒成立，则实数mA．1 B．2 C．3 D．不存在【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知不等式x+y1x+ay≥9对任意正实数x，A．2 B．4 C．6 D．8【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式x+A．(−1,4) B．(−∞,−1)∪(4,+∞) C．(−4,1) D．(−∞,0)∪(3,+∞)【变式6-3】（2023春·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知正数a，b满足1a+1b=1，若不等式a+A．94 B．32 C．2 【题型7基本不等式的有解问题】【例7】（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4<m2A．(−1,4) B．(−4,1) C．(−∞,−4)∪(1,+∞【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0,y>0，且2x+1y=1，若2x+y<A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【变式7-2】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数x，y满足3x+y+xy−13=0，且t≥2y+x有解，则t的取值范围是．【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足4x+9y=xy且x+y<m2−24m有解，则实数m【题型8基本不等式的实际应用】【例8】（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；

【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？【变式8-2】（2023春·广东汕头·高一统考期末）已知某公司计划生产一批产品总共t万件（0.5<t<1.5），其成本为61+1t2（万元/万件），其广告宣传总费用为(1)将该批产品的利润y（万元）表示为t的函数；(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?【变式8-3】（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240m2，体育馆高5m(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为12000+500a+1152x+a元(a>0)

专题2.2基本不等式【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对基本不等式的理解】 1【题型2由基本不等式比较大小】 3【题型3利用基本不等式证明不等式】 4【题型4利用基本不等式求最值（无条件）】 6【题型5利用基本不等式求最值（有条件）】 7【题型6基本不等式的恒成立问题】 9【题型7基本不等式的有解问题】 11【题型8基本不等式的实际应用】 13【知识点1两个不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).【题型1对基本不等式的理解】【例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式（x-2y）+1x−2y≥2成立的前提条件为（

A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【解题思路】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.【解答过程】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式x−2y+1x−2y≥2成立的前提条件为故选：B.【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式a2+4A．a=4 B．a=2 C．a=−2 【解题思路】利用基本不等式的取等条件即可求解.【解答过程】由基本不等式可知a2+4即a=±2故选：D.【变式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考阶段练习）给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使ab+bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据基本不等式可知，当ab+ba≥2成立时，则a【解答过程】由基本不等式可知，要使得ab+ba≥2成立，则a故选：C.【变式1-3】（2023·全国·校联考三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（

）A．ab≤14 C．1a+1【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，由基本不等式可得ab≤a+b22由基本不等式知a+b2≤a即a2+b由题得1a由已知0<b<1，故1−b2∈故1a由基本不等式可得a+即a+b≤故选：D.【题型2由基本不等式比较大小】【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知P＝a2＋4a2(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q【解题思路】由基本不等式可得P≥4，通过配方结合1<b≤3可得Q≤4即可选得答案.【解答过程】P=a2+Q=b2−4b+7=所以P≥Q.故选：C.【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若0<a<b，则下列不等式成立的是（

）A．ab<a<a+b2C．a<ab<a+b【解题思路】根据已知条件利用基本不等式直接得出ab<a+b2【解答过程】由已知0<a<b，利用基本不等式得出ab<因为0<a<b，则a2<ab<b所以a<ab<b，∴a<ab故选：C.【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，A=a+b2,A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤H D．H≤A≤G【解题思路】利用基本不等式计算出H≤G≤A.【解答过程】因为a、b为正实数，所以A=a+b2≥2H=1a+综上：H≤G≤A.故选：B.【变式2-3】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2ab，2ab，a2+A．a2+bC．2ab D．a+b【解题思路】首先利用均值不等式比较a2+b2与2ab的大小和【解答过程】∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2+b2>2ab，∴a+b>a故选：D.【题型3利用基本不等式证明不等式】【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：1+1【解题思路】利用a+b=1把1+1a1+【解答过程】因为a>0，b>0，a+b=1，所以1+1a≥5+22ba×2ab故原题得证.【变式3-1】（2023秋·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．(1)若0≤x≤1，则x1−(2)若ab≠0，则ba【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；（2）讨论ab>0和ab<0两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.【解答过程】（1）证明：因为0≤x≤1，所以0≤x≤1，所以x1−当且仅当x=1−x，即（2）证明：因为ab≠0，当ab>0时，ba当且仅当a=b≠0时等号成立．当ab<0时，ba当且仅当a=−b≠0时等号成立．综上，若ab≠0，则ba+a【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a，b，c均为正实数.(1)求证：a+b+c≥ab(2)若a+b=1，求证：1+1【解题思路】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由1+1【解答过程】（1）因为a，b，c都是正数，所以a+b+c==ab+bc所以a+b+c≥ab（2）1+1当且仅当a=b=1∴1+1【变式3-3】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，证明.(1)a2(2)a【解题思路】（1）首先将不等式左边进行变形，利用公式2=a+b≥2ab（2）首先将不等式左边变形为a2【解答过程】（1）a2因为a>0,b>0，2=a+b≥2ab，则0<ab≤1，则a2b所以a2（2）a=====而a2+b所以a3【知识点2基本不等式与最值】1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型4利用基本不等式求最值（无条件）】【例4】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）设x>0，则函数y=x2+x+25A．6 B．7 C．11 D．12【解题思路】先化简为y=x【解答过程】∵x>0，∴y=x当且仅当x=25x，即所以函数y=x2+x+25故选：C.【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）函数y=2x+1x(x>0)A．2 B．22 C．3 【解题思路】直接根据基本不等式即可得结果.【解答过程】因为x>0，所以y=2x+1当且仅当2x=1x，即x=22时等号成立，即函数故选：B.【变式4-2】（2023春·河南信阳·高一统考期末）当x>a时，2x+8x−a的最小值为10，则a=（A．1 B．2 C．22 D．4【解题思路】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.【解答过程】当x>a时，2x+8即8+2a=10，故a=1.故选:A.【变式4-3】（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知0<x<4，则x4−x的最大值为（

A．12 B．1 C．2 【解题思路】利用基本不等式可求得x4−x【解答过程】因为0<x<4，则4−x>0，所以x4−x当且仅当x=4−x，即x=2时，等号成立，所以x4−x所以x4−x故选：D.【题型5利用基本不等式求最值（有条件）】【例5】（2023·重庆沙坪坝·重庆校考模拟预测）已知x>0,y>0,xy+2x−y=10，则x+y的最小值为（

）A．22−1 B．22 C．4【解题思路】用y表示x+y后，根据基本不等式可求出结果.【解答过程】因为x>0,y>0，由xy+2x−y=10，得x=y+10所以x+y=y+10y+2+y=当且仅当y=22故x+y的最小值为42故选：D.【变式5-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知4a2+b2A．34 B．32 C．5【解题思路】根据基本不等式的变形形式直接求解.【解答过程】由题意得，6=4a2+当且仅当2a=b，即a=32,b=所以ab的最大值为32故选：B.【变式5-2】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2A．78 B．C．910 D．【解题思路】由a+2b=6，得到a+2+2b+2=10，再利用“1”的代换求解.【解答过程】解：因为a+2b=6，所以a+2+2b+2=10，所以1a+2当且仅当2b+2=2a+2，即a=43故选：C.【变式5-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知a>0,b>0，则下列命题错误的是（

）A．若ab≤1，则1B．若a+b=4，则1aC．若a2+bD．若2a+b=1，则ab的最大值为2【解题思路】直接使用基本不等式即可判断A，C，D；若a+b=4，则1a【解答过程】∵0<ab≤1，∴1ab≥1，∴若a+b=4，则1a当且仅当a=1,b=3时等号成立，故B正确；若a2+b2=4若2a+b=1，则1=2a+b≥22ab，即ab≤18故选：D.【题型6基本不等式的恒成立问题】【例6】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知对∀x∈0,+∞，不等式x>m−1x恒成立，则实数mA．1 B．2 C．3 D．不存在【解题思路】将已知转化为对∀x∈0,+∞，不等式m<x+1x【解答过程】对∀x∈0,+∞，不等式x>m−1x利用基本不等式知x+1x≥2x⋅1∴x+1xmin=2故选：D.【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知不等式x+y1x+ay≥9对任意正实数x，A．2 B．4 C．6 D．8【解题思路】由x+y1【解答过程】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要x+y1∵x>0，y>0，a>0，∴x+y当且仅当xay=yx即∴a≥2或a≤−4(舍去)所以正实数a的最小值为4.故选：B.【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式x+A．(−1,4) B．(−∞,−1)∪(4,+∞) C．(−4,1) D．(−∞,0)∪(3,+∞)【解题思路】由1x+4y=1【解答过程】∵不等式x+y∴x+∵x>0，y>0，且1∴x+当且仅当4xy=y4x，即∴∴m2解得−1<m<4故实数m的取值范围是(−1,4)故选：A.【变式6-3】（2023春·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知正数a，b满足1a+1b=1，若不等式a+A．94 B．32 C．2 【解题思路】结合条件，由a+b2+a2【解答过程】因为1a+1所以由a+b2+因为b2+a所以a+b2+a22+2故选：B．【题型7基本不等式的有解问题】【例7】（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4<m2A．(−1,4) B．(−4,1) C．(−∞,−4)∪(1,+∞【解题思路】依题意可得4y+1x=1【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x+y=xy，所以4y所以x+y当且仅当4xy=y所以m2+3m>4，即(m+4)(m−1)>0，解得m<−4或所以m的取值范围是(−∞故选：C.【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0,y>0，且2x+1y=1，若2x+y<A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【解题思路】由2x+y<m2−8m有解，可知只要m2−8m大于2x+y【解答过程】因为x>0,y>0，且2x所以2x+y=(2x+y)(2当且仅当2xy=2yx，即因为2x+y<m2−8m有解，所以m解得m<−1或m>9，故选：A.【变式7-2】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数x，y满足3x+y+xy−13=0，且t≥2y+x有解，则t的取值范围是−7+82,+【解题思路】根据已知表示出y=13−3xx+1，若t≥2y+x有解，则t≥2y+x【解答过程】由题知，因为3x+y+xy−13=0，所以x+1y=13−3x，y=若t≥2y+x有解，则t≥2y+x因为x，y都是正数，所以2y+x==32当且仅当32x+1=x+1，即故t≥82故答案为：−7+82【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足4x+9y=xy且x+y<m2−24m有解，则实数m的取值范围是【解题思路】不等式x+y<m2−24m【解答过程】由已知得：4yx+y=(x+y)(4当且仅当x=15,y=10时取等号；由题意：x+ymin即m2解得：m<−1或m>25，故答案为：(−∞,−1)∪(25,+∞).【题型8基本不等式的实际应用】【例8】（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；

【解题思路】设污水池的长为x米，总造价为y元，宽为400x米，得到函数y=200×【解答过程】设污水池的长为x米，总造价为y元，则宽为400xy=200×2x+当且仅当400x=360000x，即所以设计