高考数学一轮复习题型与专项训练：导数的运算与几何意义题型战法

第三章导数

3.1.1导数的运算与几何意义(题型战法)

知识梳理

一导数的公式及运算

1.基本初等函数的导数公式表：

y=/(x)y'=f'M

y-cV=o

y=xa(6Z>0,2W0,2£Q)V=CW"T,cr为有理数

y=ax(Q>0,QW1)y'=优ina

y'=^~

y=logflx(a>0,owl,x>0)

xlna

y=exy'=ex

y=Inxy'=-

X

y=sinxyf=cosx

y=cosxyr=—sinx

2.导数的四则运算法则：

(1)函数和(或差)的求导法则：设了0),g(x)是可导的，则(/(%)土g(%)y=尸(*)±，(%)；

(2)函数积的求导法则：设/(%),g(x)是可导的，贝(J"(%)g(%)]'=fXx)g(x)+f(x)g\x);

(3)函数的商的求导法则：设/⑺，g(x)是可导的，g(x)wo,则「生4=g(x)1(x)「/(x)g'(x)；

_g(x)」g-(x)

二导数的几何意义

由导数意义可知，曲线y=f(x)在点(尤0,/(尤0))的切线的斜率等于-(%).

曲线y=/(x)在点(%0，/(x。))处的切线方程为：、-/(与)=f'(.x0)(x-x0)

题型战法

题型战法一导数定义中的极限计算

则lim〃2+Ax)T(2)=(

典例1.已知函数仆）=^+1,)

-Ax

A.2B.4C.6D.8

变式1-1.已知函数〃尤）=2',则113上皿（）,

m―一。—2Ax

A.1B.-1C.In2D.-In2

变式12若函数〃尤）在与处可导，且1加〃/+2二,"/）=1,则/'5)=()

-2Ax

A.1B.-1C.2D*

变式13设函数〃x）=e+ln尤，则近“1+一）-"1）=（)

20Ax

A.eB.1C.-1D.-e

变式14设函数/⑺满足蚂2个小',则广㈤二（）

A.-1B.1C.-2D.2

题型战法二导数的四则运算

典例2.下列求导运算正确的是（）

A.fx+—=1+占B.（log3x）=

{xjx2xln3

X

C.（2"）=2log2eD.（fsinx）=2xcosx

变式2-1.下列求导正确的是（）

A.g'=]B.（e，+l）'="+l

C.（cosx）r=-sinxD.（xln%）'=lnx

变式2-2.下列求导运算正确的是（）

A.（log2x）=———B.，+工]=1+-^

xln2x）x2

X

C.（3，）=3log3eD.（x'cosx）=-2xsinx

变式2-3.若/（x）在R上可导，/。）=3元2一5-（2）元-2则/'（-1）=（）

A.16B.54C.-25D.-16

变式2-4.已知〃力=%2+2仃(1),则r⑶等于()

A.-4B.2C.1D.-2

题型战法三导数的复合运算

典例3.设例x)=ln(2x-l),若/(x)在％处的导数尸(%)=1,则%的值为()

e+1_3_._3

A.B.—C.1D.

24

变式3-1.已知函数/（x）=sin[2x+T，贝"]口等于（）

A.-2B.2C.-1D.1

变式3-2.函数y=xln（2x+5）的导数为（）

0Y

A.y=ln（2x+5）-^-^B./=ln（2x+5）+-------

（72x+5

C.y=21n（2x+5）D.y-

2x+5

变式3-3.函数y=的导数为（）

,1

A.y'="2、By=--------C.v=—2/xD.y'=（—2%）二日

.ln（-2x）

变式34函数y=（2x+iy的导数为（）

A.y=3（2x+l）3B.y=3（2x+l）2C.y=6（2x+l）2D.V=6（2X+1）3

题型战法四求曲线切线的斜率（倾斜角）

典例4.曲线y=cosx在x=£处的切线的斜率为（）

O

A.BB.一也C.-

222

变式4-1.曲线丁=-/+以+3在点（1,6）处的切线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

变式4-2.过函数/（x）=ge2x-元图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（）

变式4-3.函数y=〃x）的图象如图所示，尸（%）是函数〃x）的导函数，则下列大小关系正确的是（）

A.2/（（4）＜/（4）-/（2）＜2/（（2）B.2[⑵＜〃4）-〃2）＜2广（4）

C.2r（4）＜2以2）＜〃4）一”2）D.〃4）-/（2）＜2­（4）＜21（2）

变式4-4.已知函数/（无）在R上可导，其部分图象如图所示，设y/1）”则下列不等式正

A.r（i）＜«＜/,（2）B.a</，（D</，（2）

C.f'（2）＜f'（l）＜aD.r（i）<r（2）<a

题型战法五“在”一点求曲线的切线方程

典例5.曲线y=d+l在点(-1,0)处的切线方程为()

A.y=3x+3B.y=3x+1C.y=-3x-]D.y=-3x-3

变式5-l.曲线y=lnx+l在横坐标为1的点处的切线方程为（）

A.%+y—l=0B.%+y+l=0C.%+y=0D.x-y=0

变式5-2.曲线y=xln（2%+5）在％=—2处的切线方程为（）

A.4x—y+8=0B.4x+y+8=0C.3x—y+6=0D.3x+y+6=0

变式5-3.函数y=cosx在点唱,o）处的切线方程是（）

变式5-4.曲线>在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为()

题型战法六“过”一点求曲线的切线方程

典例6.过点(0,・1)作曲线〃x)=xlnx的切线，则切线方程为

A.x+y+l=0B.x-y-l=0

C.%+2y+2=0D.2x-y-l=0

变式6-1.已知/(x)=V,则过点尸(J,0)且与曲线y=/(x)相切的直线方程为()

A.>=。B.4x+y+4=0

C.y=0或4x+y+4=。D.y=0或4x—y+4=0

变式6-2.若过点尸（1,0）作曲线y=d的切线，则这样的切线共有（）

A.。条B.1条C.2条D.3条

变式6-3.已知函数〃x）=e）过原点作曲线＞=/（元）的切线/,则直线/与曲线＞=〃尤）及y轴围成

的图形的面积为（）

e+1

A.殳'B.丝匚C.匕D.

222~r

变式64已知函数/。）=［叱—x+—2］）x；x1＜。0'若函数g（x）=/（x）-…加+2耳有四个零点'则实数"的取

值范围是()

-2<?(2(--2、

A.-,e3B.-,e3C.-,e3D.e\-

3333

L7k7\7、JJ

题型战法七已知切线（斜率）求参数

典例7.若曲线/（x）=lnx+?在点（I"⑴）处的切线的斜率为T,则实数。的值为（）

A.2B.1C.0D.-2

变式7-1.若函数〃x）=尤-alnx的图象在％=1处的切线斜率为3,则”（）

A.-2B.-1C.1D.2

变式72若曲线y=/+alnx在点(1,1)处的切线与直线x-2y+2=0平行，则实数。的值为()

A.eB.-C.--D.--

ee2

变式7-3.若曲线y=/+ox+b在点(0,6)处的切线方程为x-y+l=O,则。+6=()

A.2B.0C.-1D.-2

变式7-4.若曲线、=/(力=/+^+。在点(1,加))的切线为3元->-2=。，则有()

A.a=—l9b=lB.a=l,b=—l

C.a=-2,b=lD.a=2,b=—l

题型战法八两条切线垂直、平行、重合(公切线)问题

典例8.已知函数F(x)=Hnx,g(x)=cv^-x.若经过点A(l,0)存在一条直线/与曲线y=/(x)和

y=g(x)都相切，则。=()

A.-1B.1C.2D.3

变式8-1.已知曲线y=W在点(l,e)处的切线与曲线尸。1!1犬+2在点(1,2)处的切线平行，则。=()

A.1B.2C.eD.2e

变式82曲线片与曲线y—的公切线方程为()

A.y=-4x+4B.y=4x-4

C.y=-2x+4D.y=2x-4

变式8-3.若曲线y=lnx与曲线:y二f一%有公切线，则实数%的最大值为()

A711c-70

A.—+—ln2B.---ln2C.—+—ln2D.—+—ln2

82822222

变式8-4.对于三次函数AM,若曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线与曲线y=对•⑺在点(1,2)处点的切

线重合，则/(2)=()

A.-34B.-14C.-4D.14

第三章导数

3.1.1导数的运算与几何意义（题型战法）

知识梳理

一导数的公式及运算

2.基本初等函数的导数公式表：

y=/(x)y'=f'(x)

产Cy=o

y=xa(cr>0,a^O,crGQ)y="为有理数

y-ax(Q>0,QW1)yf=axIna

y=logx(a>0,awl,x>0)

axina

y=exyr=ex

y=\nx,1

y=X-

y=sinxy'=cosx

y=cosxyr=—sinx

2.导数的四则运算法则：

(1)函数和(或差)的求导法则：设/(X),g(x)是可导的，则(/(X)土g(x)y=f'(x)±g'(x);

(2)函数积的求导法则:设f(x),g(x)是可导的，则"(x)g(x)］，=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);

⑶函数的商的求导法则：设f(x),g(尤)是可导的，g(x)wO,则

l(x)=g(x)/'(x)-7'(x)g，(x).

_g(x)Jg2(x)

二导数的几何意义

由导数意义可知，曲线y=/(x)在点(尤0,7(%))的切线的斜率等于/(%).

曲线y=f(尤)在点(%，〃%))处的切线方程为：，-/(%)=/(%)(工-％)

题型战法

题型战法一导数定义中的极限计算

典例1.已知函数〃x)=f+l,则lim〃2+竺k/(2)=()

—Ax

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用导数的定义和求导公式进行求解.

【详解】

由题意lim/(2+.)-/(2)=八4，

—Ax

因为〃力=炉+1,所以八%)=2%,即八2)=4；

故选：B.

变式1-1.已知函数〃x)=2，，则典"1+啜"1)=().

A.1B.-1C.In2D.-In2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据导数的定义，结合指数函数的导数进行求解即可.

【详解】

由/(x)=2*n_f(x)=2xin2,

所以+⑴=-l/,(l)=-lx21n2=-ln2,

Ar->0-2Ax22

故选：D

变式12若函数〃x)在与处可导，且£,“工。+2氏-则广(%)=(

)

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据导数的定义进行求解即可.

【详解】

由导数定义可得lim/仇+2y-”、=,

v7

Ax->02Ax

所以广(*=L

故选：A.

变式1-3.设函数〃x)=e+lnx,则lim，0十八9--⑴=()

-Ax

A.eB.1C.-1D.—e

【答案】B

【解析】

【分析】

根据极限的运算法则，直接计算得出结果.

【详解】

由题意广(》)=：,所以r⑴=1,

所以原式等于+=

A-V-v7

故选：B.

变式14设函数4>满足lim-2『)一/(无。)=2,则八尤。)=()

-Ax

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

利用函数的导数的定义求解.

【详解】

解：因为lim/(为一2©)一/5),

-Ax

=_2lim/(x0-2Ar)-/(x0)>

-2Ar->0-2\x

,

=-2/(%0)=2,

所以尸(%)=—1,

故选：A

题型战法二导数的四则运算

典例2.下列求导运算正确的是()

A=1+(1g3%)，=

-[T7B.°^3

r

C.(2y=2"log2eD.(Ysinx)=2xcosx

【答案】B

【解析】

【分析】

利用求导公式进行求解，判断四个选项.

【详解】

[■X+口=1y>A错误;

(logX)B正确；

3xin3

(2")=2rIn2,C错误；

(fsinx)=2xsinx+x2cosx,D错误

故选：B

变式2-1.下列求导正确的是（）

A.(«y=qB.ex+l]=ex+l

C.(cosx)'=-sinxD.(xlnx)'=lnx

【答案】C

【解析】

【分析】

根据导数的运算法则直接计算即可.

【详解】

=*=上故A错误;

对A,(y/x)'=

7

对B,（靖+1）=蜻，故B错误;

对c,(cosx)'=-sinx,故C正确;

对D,(xlnx/=l-lnx+x--=lnx+l,故D错误.

x

故选：C.

变式2-2.下列求导运算正确的是（)

1=1+4-

A.(log2x)'=B.

xln2X

12

C.(3)=3^1og3eD.Xcosxj=-2xsinx

【答案】A

【解析】

【分析】

由初等函数导数公式和导数运算法则直接判断各个选项即可.

【详解】

1

对于A,由对数函数导数运算法则知：（iogxy，A正确;

2xln2

1

对于B,=1y，B错误;

XX

对于C,(3]=31n3,C错误;

对于D,(Ycosx)=2xcosx-x2sinx,D错误.

故选：A.

变式2-3.若AM在R上可导，/(X)=3X2-5r(2)了-2则尸(一1)=()

A.16B.54C.-25D.-16

【答案】D

【解析】

【分析】

先求导函数，即可求出尸(2)=2,再根据导函数即可求解.

【详解】

解：解x)=6x-51(2),则:⑵=12-5;⑵，解得:八2)=2,

掰-1)=6?(1)-10=-16,

故选:D.

变式24已知〃力=#+2+/，(1),则式⑶等于()

A.-4B.2C.1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

先求导，求出尸(1)=-2,得到制x)=2x-4,从而求出八3)=6-4=2.

【详解】

1(x)=2x+2〃l),令x=l得：1⑴=2+2广⑴,

解得：/⑴=-2,

所以用x)=2x-4,

广⑶=6-4=2

故选：B

题型战法三导数的复合运算

典例3.设例x)=ln(2x—1),若f(x)在与处的导数(国)=1,则%的值为

【答案】B

【解析】

直接求出原函数的导函数，由/（%）=1列式求解飞的值.

【详解】

2

由—（21）,得广（幻==

23

由"不）=ifn=i，解得：

立人0—12

故选：B.

【点睛】

本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题.

变式・已知函数71

3L/(x)=sin12x+mj,贝U-等于（)

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复合函数的求导法则即可求解.

【详解】

由已知得r(x)=2cos(2x+|J,

/，()=2cS2x+

i°[Jj)=-2,

故选：A.

变式3-2.函数y=xln（2x+5）的导数为()

7r

A./=ln(2x+5)---------B.y=ln(2x+5)+-------

v)2%+5'72x+5

X

C.y=21n(2x+5)n，

D・厂不

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复合函数的求导法则以及导数的四则运算可求得结果.

【详解】

因为y=xln（2x+5）,贝lj

y'=x'ln（2尤+5）+xln（2尤+5）=ln（2尤+5）+x----!（2x+5）'=ln（2x+5）H——^―

2x+5v7v72x+5

故选：B.

变式3-3.函数y=e%的导数为（）

A.""B.

C.尸-2jD.y'=（-2x）e-2x-I

【答案】C

【解析】

利用复合函数的求导法则，直接进行求算即可得答案.

【详解】

•.*y'=e-2xx（-2x）'=-2e-2x.

故选：C.

【点睛】

本题考查复合函数的求导法则，考查运算求解能力，求解时注意负号问题.

变式34函数y=（2尤+以的导数为（）

A.y=3（2x+l）3B./=3（2%+1）2

C.y'=6（2尤+1）2D./=6（2x+l）3

【答案】C

【解析】

直接求导得到答案.

【详解】

y=（2x+l）3,则,=3（2X+1）2X2=6（2X+1）2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了求函数的导数，属于简单题.

题型战法四求曲线切线的斜率（倾斜角）

典例4.曲线y=cosx在x=g处的切线的斜率为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，结合导数的几何意义与求导公式，即可求解.

【详解】

TTTT1

由尸8$%,得炉=_sinx,故曲线、=8$%在工=二处的切线的斜率4=-sin^=-不

o62

故选：D.

变式4-1.曲线'=-d+4苫+3在点(1,6)处的切线的倾斜角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义求解.

【详解】

解：因为y=-/+4x+3,

所以丫'=-3/+4,则尤=1时，当y'=l,

设在点(1,6)处的切线的倾斜角为a,

则tana=1,

因为0。m&<180。，

所以夕=45。，

故选：B

变式4-2.过函数/(x)=；e2,-x图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围

为()

【答案】B

【解析】

【分析】

求得广（x）=e2'-l,根据指数函数的性质，得到小-1＞-1,即切线的斜率上＞-1,进

而得到tan6＞-l,即可求解.

【详解】

由题意，函数=可得/（x）=/「l,

因为e2*＞0,所以e2-l＞-l,即切线的斜率左＞-1,

设切线的倾斜角为凡贝Utan。＞-!

又因为04。＜万，所以04＜9＜g或（万，

24

即切线的倾斜角的范围为。，31。万］

故选：B.

变式4-3.函数y=/（x）的图象如图所示，广⑺是函数〃尤）的导函数，则下列大小

关系正确的是（）

A.2^（4）＜/（4）-/（2）＜2/^（2）B.2r⑵＜〃4）-"2）＜2广（4）

C.2r（4）＜2广⑵＜〃4）二”2）D./（4）-/（2）＜2/（（4）＜2/（（2）

【答案】B

【解析】

【分析】

由导数的几何意义判断

【详解】

故r（2）＜.?一（⑵＜r（4）,即2r（2）＜/（4）-/（2）＜2/-（4）

4-2

故选：B

变式4-4.已知函数/（X）在R上可导，其部分图象如图所示,-CI

2-1

B.a</,(l)</,(2)

C./,（2）＜/，（l）＜aD.f'(V)<f'(2)<a

【答案】A

【解析】

【分析】

根据图象在［L2］上函数的增长越来越快，再结合"誓=”求解.

Z—1

【详解】

因为［1,2］函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大,

又于所以"1）＜。＜/'（2）,

，一1

故选：A

题型战法五“在”一点求曲线的切线方程

典例5.曲线y=/+l在点（-1,0）处的切线方程为（）

A.y=3x+3B.y=3x+lC.y=-3x-lD.y=-3x-3

【答案】A

【解析】

【分析】

求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式即可得解.

【详解】

解：y'=3-,

当x=T时，贼=3,

所以切线方程为y=3（x+l）,即y=3x+3.

故选：A.

变式5-1.曲线y=lnx+l在横坐标为1的点处的切线方程为（）

A.x+y-\=0B.x+y+l=0C.x+y=0D.x-y=0

【答案】D

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义即可求解.

【详解】

解：因为y=/（x）=lnx+l,所以r（x）=L,

X

所以切线的斜率上=（。）=1,

又/■（l）=lnl+l=l,所以切点坐标为（1,1）,

所以切线方程为y-i=i?G1）,即x-y=o,

故选：D.

变式52曲线y=xln（2x+5）在x=_2处的切线方程为（）

A.4x—y+8=0B.4x+y+8=0

C.3x~y+6=0D.3x+y+6=0

【答案】B

【解析】

【分析】

将户-2代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线

方程点斜式求解即可.

【详解】

,2X

解：因为y=xln（2尤+5）,所以y=[xln（2x+5）]=ln（2尤+5）+工不，所以八一二-4。

又当x=-2时，y=xlnl=O,故切点坐标为（-2,0）,所以切线方程为4x+y+8=0.

故选：B.

变式5-3.函数y=cosx在点（-夕0）处的切线方程是（）

r兀

A.j=x--B.y=x+—

-7171

C.>=—%+—D.y=-x~—

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义求解即可

【详解】

由〉=85彳，得y=_sinx,

所以切线的斜率为g-sin,3=1,

所以所求的切线方程为y=尤+?，

故选：B

变式5-4.曲线>=/在点CM）处的切线与x轴、直线*=2所围成的三角形的面积为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

求导数，求切线斜率得切线方程后可得切线与x轴和x=2的交点坐标，从而得三角

形面积.

【详解】

y'=3x2,x=l时,y0=3,切线方程为y-l=3（x-1）,即y=3x-2,

22

在y=3x-2中，令＞=。得尤=々，令x=2得y=4,得交点(4,0),(2,4).

1OQ

直线1=2与x轴交点为(2,0)因此三角形面积为S=]X(2-7x4=§.

故选：A.

题型战法六“过”一点求曲线的切线方程

典例6.过点(0,-1)作曲线/■(尤)=xln尤的切线，则切线方程为

A.x+y+l=0B.x-y-l=0

C.x+2y+2=0D.2x-y-l=0

【答案】B

【解析】

设切点为(/，%),再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.

【详解】

/(x)=Znx+l,

设切点为(%%),・・・，0=%1口%,

.%+1,

「・=lnxo+l,

%

xolnxo+1=xolnxo+xo,xo=1,yo=O,

所以左=r(/)=i,

・二切线方程为y=x-l,即x-y-l=O,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些

知识的理解掌握水平.

变式6-1.已知/(乃=/，则过点尸(-1,0)且与曲线＞=/(%)相切的直线方程为()

A.y=。B.4x+y+4=0

C.y=0或4x+y+4=0D.y=0或4x—y+4=0

【答案】C

【解析】

设切点为(毛,为)则切线方程为y-x；=2%(%-毛)，将点尸(T,O)代入解％,即可求切

线方程.

【详解】

设切点为(无0，%)，则%=君,切线斜率为k=/'(%)=2%

所以切线方程为y-x：=2%(x-Xo),因为过点尸(TO)则

解得尤。=。或％=-2,所以切线方程为y=0或4x+y+4=0

故选：C

变式6-2.若过点尸(1,0)作曲线y=x3的切线，则这样的切线共有()

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】C

【解析】

【分析】

设切点为(刈嫣)，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点尸在切线上，

即可代入切线方程，解得叫,即可得解；

【详解】

解：设切点为(为，端)，由y=x3,所以V=3x2,所以九』=3年，

所以切线方程为y-x；=3x02(x_x°),即y=3x02x-2x03,因为切线过点P(l,0),

所以0=3无；_2%3,

3

解得X。=。或尤0=5,

所以过点尸(1,0)作曲线y=v的切线可以作2条，

故选：C

变式6-3.已知函数/(x)=/,过原点作曲线y=〃x)的切线/,则直线/与曲线y=/(x)

及y轴围成的图形的面积为()

人2e+l八2e-\一_e+1

A.------B.------D.——

222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义求出切线斜率，可得切线方程，再利用定积分的几何意义求解

即可.

【详解】

由/(X)=婷可得/(x)=e，,设切点为4(尤0,*),

则切线方程为广洲=泊(》-不)，

把(0,。)代入可得-*=*(-%),故%=1,可得切线方程为丁=”,

则直线/与曲线y=/(x)及y轴围成的图形的面积为：(/-夕)公=卜-;ef]e-2

2

故选：C

_^^2),丫JQ<02

,\八”一八，若函数g(x)=/(尤)-尔-加+;有四个零点,

In(尤+l),x>03

则实数机的取值范围是()

-2(2

33

A.L-3,e)B.I-3,e)

C.「42，e3DD.(e--\-2^1

、3JI3,

【答案】B

【解析】

【分析】

7

转化条件得直线>=加+机-;与函数〃尤)的图象有四个交点，作出函数图象，结合

导数的几何意义，数形结合即可得解.

【详解】

2fy=〃龙)

g(x)=0<^>f(x)=m(x+l)--<^><2有四个交点，作出〃x)的图象，结合

3y=m^x+1)——

y=Mx+l)\过定点,1,一£|,则直线应在过此点的y=〃X)切线以及原点的直线之

间，过原点时斜率为|;当直线与曲线相切时，由尸(无)=[ln(x+l)J=占，设切点

2

(%，%),则切线斜率为左=，=匕，得%=:故ln(x°+l)=；,所以尤。+1=%，

XQ+1XQ+1

则切线斜率为F，故me|,e31

故选：B

y

题型战法七已知切线（斜率）求参数

典例7.若曲线〃x）=lnx+£在点（1,〃功处的切线的斜率为一1,则实数“的值为（）

A.2B.1C.0D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据/。）=-1求解即可.

【详解】

根据题意得：r（%）=--4-所以-⑴=：T=T，解得。=2.

XX11

故选：A.

变式7-1.若函数/（x）=x-alnx的图象在x=l处的切线斜率为3,则"=（）

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

求/U）导数，由题可知/⑴=3即可求。的取值.

【详解】

/（x）=x-a\nx,f（x）=l--,

x

若函数y（x）=x-alnx的图象在x=l处的切线斜率为3,

贝U/⑴=1-二=3=＞。=-2.

故选：A.

变式72若曲线y=Y+alnx在点（1,1）处的切线与直线x-2y+2=0平行，则实数“

的值为（）

113

A.eB.-C.—D.——

ee2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义结合平行线斜率关系即可求解参数.

【详解】

由y=f+aInx,得；/=2x+乌，

-x

则曲线y=f+aln尤在点（1,1）处切线的斜率G=y'li=2+a,

因为曲线在点（LD处的切线与直线x-2y+2=0平行，

13

所以5=2+a,所以“=

故选：D.

变式73若曲线y=Y+ax+b在点（01）处的切线方程为x-y+l=O,贝1Ja+b=（）

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】

求出导数，将x=0代入后，可得。=1,将（0力）代入x-y+l=0后可得6=1,进而得

至.

【详解】

由>=尤?+ax+6得；/=2x+a,

又曲线y=d+ax+b在点（0,6）处的切线方程为x-y+l=0,

故当x=0时，y'=a=1

又点（0力）在无一y+l=。上，贝故。+》=2.

故选:A.

变式7-4.若曲线'=〃力=/+冰+6在点（1,11））的切线为3x-y-2=0,则有（）

A.a=—l,b=lB.a=l,b=—l

C.a=—2,b=1D.a=2fb=—l

【答案】B

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义可知，/⑴=3,由此可求a；根据切线和y=/U)都过点(1,式1))

可求b.

【详解】

%=1代入3x-y-2=0得y=l,则

则l+a+b=l①，

f(x)=x2+ax+b

:.f\x)=2x+a,则尸⑴=3,即2+4=3②

联立①②，求得4=1,b=-l.

故选：B.

题型战法八两条切线垂直、平行、重合(公切线)问题

典例8.已知函数〃x)=xlnx,g(x)=ax2-x.若经过点4(1,0)存在一条直线/与曲

线y=/(x)和y=g(x)都相切，贝()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

先求得"X)在A(LO)处的切线方程，然后与g(x)=&T联立，由△=()求解

【详解】

解析：••"(x)=xlnx,.•.广(x)=l+lnx,.•./(1)=1+1111=1,.•.左=1,.•.曲线y=

在A(1,O)处的切线方程为y=x-l,由]”,得加-2工+1=0,由A=4-4o=0,解

[y=ax-x

得4=1.

故选：B

变式8-1.已知曲线丫=苫/在点(l,e)处的切线与曲线y=olnx+2在点(1,2)处的切线平

行，贝心=()

A.1B.2C.D.2e

【答案】D

【解析】

【分析】

分别求出两函数的导函数，再根据题意得两函数的导函数在x=l处的导数值相等即

可求得a.

【详解】

解：由y=K得—),所以该曲线在点(Le)处的切线斜率为％=2e.

由y=aln尤+2