2025高考数学一轮复习 一元二次不等式-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习一第5讲-一元二次不等式-专项训练（原卷版）

一、单项选择题

1已知二次函数_v=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式办2+队+0>0的

解集是（）

A.(—2,1)B.L，-2)U(1,+0°)

C.[-2,1]D.L，-2]U[1,+0°)

2.若不等式/+依+1<0的解集为空集，则上的取值范围是（）

A.[-2,2]B.(—8,-2]U[2,+8)

C.(-2,2)D.(-8,-2)U(2,+8)

3.不等式a/—(a+2)x+2N0(a<0)的解集为()

A.\_a

[21

C.I'oju[l,+oo)

「—2十'8]]

D.(一8,l]uh'J

4.当一2WxW2时，不等式好一相》+1>。恒成立，则实数机的取值范围为

()

A.(-2,2)B.(-8,-2)

C.[-2,2]D.(2,+8)

5.已知关于x的不等式ax2+foc+4>0的解集为(一8,m)uCn'+1其

中m<0,贝心+：的最小值为（）

ab

A.-4B.4

C.5D.8

二、多项选择题

6.已知关于x的不等式a^+bx+cX)的解集为13'1J,则下列结论正确的

是()

A.。>0

B.cVO

C.。+6>0

D.关于x的不等式0%2+云+。>0的解集为(―3,—1)

7.下列说法正确的是()

A.不等式，一3x+2V0的解集为(1,2)

B.不等式-2N—x+6W0的解集为]'2_

C.若关于x的不等式(x+a)(x—1)VO的解集为(1,3),则。=一3

D.关于X的不等式12—(Q+1)X+QV0的解集为(21)

8.已知关于x的不等式d一4QX+3a2<0(。<0)的解集为(xi,%2),贝4()

A.XlX2+xi+%2<0的解集为〔3J

B.XlX2+xi+x2的最小值为一；

C.不等式4ax+3屋V0(aVO)的解集为3。)

D.Xl+X2~\^的最小值为‘皇

X1X23

三、填空题

9.不等式为士5〉》的解集是.

x-1—

10.已知兀t)=》2—x+1,当X©[—1,2]时，不等式兀¥)>2%+优怛成立，

则实数机的取值范围为一.

11.已知任意-1,1],不等式好十5-4)x+4-2a>0怛成立，则x的

取值范围为

四,解答题

12.已知关于x的不等式ax2—3x+2>0的解集为(一8,i)u(A,+°°)(/)>

1).

(1)求a,b的值;

13.已知函数/(x)=x2—(q—2)x+4.

(1)求关于x的不等式八x)三4+2a的解集；

(2)若对任意的x@[l,6],寅x)—2a+14N0恒成立，求实数。的取值范围.

14.设1y(》)="2+(1—a)x+a—2.

(1)若不等式八x)三一2对一切实数x恒成立，求实数。的取值范围；

(2)解关于x的不等式段)＜。-l(a©R).

2025高考数学一轮复习一第5讲-一元二次不等式-专项训练(解析版)

一'单项选择题

1已知二次函数_v=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式办2+乐+£；＞0的

解集是(A)

A.(-2,1)B.(—8,—2)U(1,+00)

C.[-2,1]D.(—8,—2]U[1,+8)

【解析】结合图象易知不等式办2+bx+c＞0的解集是(一2,1).

2.若不等式/+依+1＜0的解集为空集，则上的取值范围是(A)

A.[-2,2]B.(-8,-2]U[2,+8)

C.(-2,2)D.(—8,-2)U(2,+8)

【解析】因为不等式N+Ax+lVO的解集为空集，所以/=沼一4忘0,解得

—2WkW2.

3.不等式ax?—(q+2)x+2N0(aV0)的解集为(A)

If—oo—21

C.I'aju[l,+℃)

【解析】原不等式可以转化为(x—1)(办一2)三0,因为。＜0,所以

T)W0,解得故该不等式的解集为

a

4.当一2WxW2时，不等式好一相》+1＞。恒成立，则实数机的取值范围为

(A)

A.(-2,2)B.(-8,-2)

C.[-2,2]D.(2,+8)

【解析】设小）=/—MX+1,其中一2WxW2.①当;W—2,即机W—4时，

函数人x）在区间［-2,2］上单调递增，则义x）min=/（—2）=27〃+5>0,解得机>一

此时掰不存在；②当一4〈机V4时，｛x）min=U=l—,>。，解得一2〈机V2；

③当;三2,即机三4时，函数义X）在区间［—2,2］上单调递减，贝IJ义x）min=/（2）=

-2加+5>0,解得掰<上此时掰不存在.综上所述，实数机的取值范围是（一2,

2）.

^+8］

5.已知关于x的不等式办2+区+4>0的解集为（一8,m）u\jnJ,其

中m<0,则'+?的最小值为（C）

ab

A.-4B.4

C.5D.8

2

【解析】由ax+6x+4>0的解集为（一8,m）UGMJ,知tz>0,且m,

”是方程办2+区+4=0的两根.由机VO,机W“，得/〃W—2.由根与系数的关系

mm

,4_b

m+-=—,r4、

maI_1L|

知’44解得。=1,Z）=（-m）+l利1三4,当且仅当a=—2时等

mX-=一,

ma

号成立，故=6+：设八，）=b+；（，》4）,则函数/（b）在bG［4,+8）上单调

abbb

递增，所以义A）min=/（4）=4+：=5.所以'+?的最小值为5.

4ab

二、多项选择题

6.已知关于x的不等式办2+区+。>0的解集为（？“，则下列结论正确的

是（BC）

A.a>0

B.c<0

C.a+b>Q

D.关于x的不等式cN+bx+a>。的解集为(一3,—1)

【解析】由不等式"2+bx+c>0的解集为］,可知。<0,且:和1是

方程办2+区+。=0的两个根，由根与系数的关系可得11解得。

£=1xi,

匕3

=3c,b=~4c,a<0,c<0,a+b=~c>0,故A错误，B正确，C正确.不

等式cx2+Z)x+«>0即为ex2—4cx+3c>0=>x2_4x+3<0,解得1VxV3,故D

错误.

7.下列说法正确的是(AC)

A.不等式3x+2V0的解集为(1,2)

、

B.不等式-2N—x+6W0的解集为—］2'-2_

C.若关于x的不等式(x+a)(x—1)VO的解集为(1,3),则。=一3

D.关于X的不等式，一(Q+1)X+QVO的解集为(见1)

【解析】对于A,因为3x+2V0=(x—2)(x—1)<001Vx<2,故A正

确；对于B,由一2x2—x+6W0,得2N+x—6=(2%—3)(x+2)^0,解得xW—2

a

或故B错误；对于C,因为(x+a)(x—1)VO的解集为(1,3),所以。=一

3,故C正确；对于D,因为/—(Q+I)X+Q=(X—Q)(X—i)vo,所以当。=1时,

不等式的解集为巴当QV1时，不等式的解集为(m1),当。>1时，不等式的

解集为(1,a),故D错误.

8.已知关于工的不等式，一4"+3/<：0(4<：0)的解集为(》,X2),则

(AB)

.、"，o］

A.XlX2+xi+%2<0的解集为I3J

B.XlX2+xi+x2的最小值为一：

C.不等式，一4Q%+342Vo(qV0)的解集为(Q,3Q)

D.Xl+x2~\^的最小值为

X\X23

【解析】N-4。工+3。2=(%一Q)(%—3a)V0,由于QVO，所以不等式的解集为

2

(3a,a),所以xi=3〃，X2=a,故C错误；对于A,xix2+xi+x2=3a+4a=a(3a

+4)<0,解得一gva〈O,即不等式X1X2+X1+X2VO的解集为[3,0],故A正

确；对于B,xix2+x\+x2=3a2+4a,令y=3q2+4a(aVO),天=3。2+4矶。<：0)的

A77

图象的开口向上，对称轴为。=一二=一：;，所以当。=一(时，产3a2+4〃取得最

633

小值为3X[—3)+4x[—3]=一：,故B正确；对于D,xi+x2+—=4a+^=

3x\xi3相

4a+3〈°，故D错误.

三、填空题

3x+5

9.不等式>%的解集是(一吟一5)

【解析】由题得3^-x>0,艮产+5T+X>0,即一(X+1)(X-5)>0,

X—1X—1X—1

则(%—l)(x+l>(x—5)V0,根据穿根法解得x£(—8,—1)U(1,5).

10.已知火%)=%2—%+1,当工£[—1,2]时，不等式«r)>2x+加怛成立，

【解析】由题意可得N—%+1>2x+加对任意的工£[―1,2]恒成立，即加

,_(%-斗5

<x2—3x+1对任意的[―1,21恒成立,令g(x)=X2—3x+1=12J—1,工£[―

1,2],则g(X)min=g{21=—j所以机V—

11.已知任意Q£[—1,1],不等式，+(〃-4)x+4—2。>0怛成立，则x的

取值范围为(一%1)U(3,+8).

【解析】令/(a)=(x—2)〃+/—4X+4,则不等式，+(〃-4)X+4—2〃>0恒

成立转化为人。)>0在。£[—1,1]上恒成立，可得}])>0即

x2—5x+6>0,

解得xVl或x>3.

X-2+x2—4x+4>0,x2—3x+2>0,

四、解答题

12.已知关于x的不等式办2—3x+2>0的解集为(一8,l)U(Z),+8)s>

1).

(1)求a,b的值；

【解答】因为不等式办2—3.丫+2>0的解集为(-8,1)US，+8),所以1

a—3+2=0,

和6是方程办2—3x+2=0的两个实数根，且。>0,所以•，解

\ab2~3b+2=0,

,Q=l,八人,

得・或・(舍去).

\b=2b=i

(2)当x>0,y>0,且满足"+'=1时，有2x+y2R+左+2怛成立，求左

的取值范围.

【解答】由⑴知a=l,b=2,于是1+?=1,2x+y=(2x+v)[+J=4+上+

xy"x

@24+2、»鱼=8,当且仅当工=组，！+2=1,即卜一2，时等号成立.依题

J\lxyxyxy\y=4

意有(2x+y)min2F+左+2,即8三3+左+2,即F+左一6W0,所以一3W左W2,所

以左的取值范围为[—3,2].

13.已知函数八%)=X2—(a—2)x+4.

(1)求关于x的不等式大工)>4+2。的解集；

【解答】由已知易得y(x)24+2a即为，一(〃-2)x—2a>0.令x2—(〃-2)%—

2(2=0,可得x=—2或x=a,所以当a<~2时，原不等式的解集为(一8,u[―

2,+-)；当。=—2时，原不等式的解集为R；当。>—2时，原不等式的解集

为(一8,-2]U[a,+°°).

(2)若对任意的工£[1,6],加)-2〃+1420恒成立，求实数。的取值范围.

【解答】由於)-2。+1420,可得Q(X+2)W/+2X+18.由1得x

।匚匚z^x2+2x+18R二N+2X+18.18/1c、।18,0

+2>0,所以QW---------.因为---------=x+------=(x+2)+--------222yl8

x+2x+2x+2x+2

—2=6也一2,当且仅当x+2=」\,即x=3也一2时等号成立，所以aW6也一

x+2

2,所以实数。的取值范围是(一8,6^2-2].

14.设人》)="2+(1—d)x-\-a—2.

(1)若不等式八x)三一2对一切实数x恒成立，求实数。的取值范围；

【解答】VxGR,兀v)三一2恒成立等价于VxGR,aN+q—a)x+a，O.当a

___.f(7>0,

=0时，xNO,不满足题意，则a#0,此时必有《即