【数学】辽宁省鞍山市普通高中2023-2024学年高三第二次质量监测试题（解析版）

辽宁省鞍山市普通高中2023-2024学年高三第二次质量监测

数学试题

一、单项选择题

2-mi

z-

1.已知复数2+i为纯虚数，则实数加的值为（）

A.-1B.-4C.1D.4

【答案】D

2-mi（2-77zi）（2-i）4-（2m+2^i~m4一m（2m+2）i

【解析】由题意得2=

2+i-（2+i）（2-i）—555~

为纯虚数,

4-m

5

所以，解得机=4,故D正确.

2m+2C

---------70

5

故选：D.

2.已知直线/：x—y—2=0,点C在圆（％一1）2+/=2上运动，那么点。到直线/的距离

的最大值为（）

A.-V2+1B.-72C.-V2D,正

2222

【答案】C

【解析】圆（％-1）2+寸=2的圆心为。,0）,半径为一行.

f-2=。的距离为：八表

则圆心（1,0）到直线/：

所以圆上的点。到直线/：%—y—2=0距离的最大值为：受+g=述

22

故选：C.

3.已知非零向量@,方满足同=2仰，向量a在向量方方向上的投影向量是",，则a

与〃夹角的余弦值为（）

A®R3c®

A.---D.---U.---

362

【答案】C

【解析】由向量M在向量〃上投影向量为，为，

同Wcos(a,6)b

a-bb

所以得

\b\\b\\b\\b\

又因为同=2阵所以cos«，9=¥，故C正确.

故选：C.

4.设/,机是两条不同的直线，。，尸是两个不同的平面，若/ua,a///3,则

_U”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若mJU,lua,a//j3,则加与尸的位置关系不能确定；

若〃2_L/7,因为戊〃夕，所以加又Iua,所以加_L/成立.

所以“m±I”是"mV/3”的必要不充分条件.

故选：B

5.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.8和

0.5,且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀

等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）

15517

A.—B.—C.-D.—

2613829

【答案】B

【解析】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A、3、C,

则尸（A）=0.6,P（3）=0.8,P（C）=0.5,且A,B,。相互独立，

设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件。，

则p（o）=尸（福cj+P（Me）+P（A§6）

=0.4x0.2x0.5+0.4x0.8x0.5+0.6x0.2x0.5=0.26,

设乙没有达优秀等级为事件E，则P（£）=0.2,

所以P(E|D)=?^=0.4x0.2x0.5+0.6x0.2x0.55

02613

故选：B.

A.|75B,27A/?C.5D.8

【答案】C

[1一八丁十丁入丁人—/〔一八一十丁

=6

=小

=6

'捶+一义匕五匕&

=622

=75(1+2+2)

=5百

1

所以%=x5逐=5.

故选：C.

7.校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男

4

女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的二，女生选学生物学的人数占女生人

3

数若有90%的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（）

人.

附表：

P(K2>k)0.1000.0500.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

其中，-〃(ad-bc)2

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

A.20B.30C.35D.40

【答案】A

43

【解析】设总人数为2〃，则男生选学生物学的人数为女生选生物学的人数为

_(4n2n3nn\

2n\——x------x—

贝°K?=I5555J=22.706,

7n3n

nxnx——x——

55

即〃2至吆包。28.413,

又几为5的倍数，故男生最少有30人.

2

故选：A.

8.已知月均为锐角，sina=3sin/?cos（a+A）,则tana取得最大值时,

tan（a+尸）的值为（）

A.叵B.6C.1D.2

【答案】D

【解析】sino=sin(a+/?—分)=sin(a+/)cos6-cos(a+6)sin/

=3sin/3cos[a+/?),则sin(a+/?)cos/?=4sin/?cos(a+/?),

tan(6Z+/?)-tancif

所以tan(a+6)=4tan/?=4tan(a+/—=4x

l+tan(o+⑶tan1

3tan(a+/?)3

,tan。=——丁一----2―=-----------------；----

41

整理得tan-(a+⑶+4tan(a+0+—7-

、)tan(a+^)

因为a,尸均为锐角，且3sin尸cos(c+⑶=sintz>0,即cos(a+/)>0,

所以tan(a+/?)>0,

所以tag+⑶+^西之2小n(o+⑶•京西=4,

4

当且仅当tan(a+/)={an(刈+1)，即tan(a+乃)=2时等号成立，

3

tana=_______<2

4一4,

所以tan(cr+/?)+

tan(tz+〃)

所以taniz取得最大值时，tan（a+尸）的值为2.

故选：D.

二、多项选择题

9.己知函数/（x）=sin[ox+tj在（0,兀）上是单调函数，则下列结论中正确的有

（）

A.当6y＞0时，。的取值范围是0＜。＜1

3

B.当。＜0时，0的取值范围是—1＜。＜0

3

—2

c.当。＞o时，。的取值范围是0＜。《一

3

—2

D.当。＜0时，。的取值范围是——＜®＜0

3

【答案】AD

rrt。

【解析】根据题意，易知兀，即TN2»，因止匕网=沫WL

当力＞0时，0＜69＜1,因为Ovxv兀，所以：＜g工+—＜口乃+—，

666

又因为函数/（X）=sin[0x+《]在（0,兀）上是单调函数，所以0"+彳＜多

解得0<。<,，故A正确，C错误；

3

冗冗冗

当@<0时，一l«G<0,因为0VJVV7C,所以一-->CDTC-\------,

666

又因为函数/（x）=sin[0x+qj在（0,兀）上是单调函数，所以公r+Q,

解得0>。2—2,故B错误，D正确.

3

故选：AD.

10.如图，正方体ABC。—A4G。]的棱长为2,E,F,G,H分别是棱44,4。1，耳£,

____UUUULUUU.

CG的中点，点/满足其中Xe[0,l],则下列结论正确的是（）

A.过M,E,歹三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形

B.三棱锥A-MER的体积为定值

C.当4=^•时，AC//平面

2

D.当4=1时，三棱锥A-MEF外接球的表面积为6兀

【答案】ABD

【解析】当4=0时，点M与点〃重合时，

过M,E,尸三点的平面截正方体所得截面图形为正六边形，

如图：

故A正确;

uuumuuu

对于B,因为可得点M是线段G”上的一个动点，

又因为正方体ABCD-44Goi中，平面BCCB//平面ADD^,GH<z平面BCCXBX,

故GH//平面ADD,A,所以点M到平面ADDXA的距离为定值，

故三棱锥4-MEB的体积为定值，B正确；

当4二工时，点M为GH中点，

2

因为AC7/EH,而平面A/ER

所以AC与平面MEF不平行，C错误；

当彳=1时，点M与点G重合，一4肢为等腰直角三角形,

则.AEP的外接圆半径为r=’斯=心，

22

又因为产G,平面4所，

22

所以三棱锥A,-MEF外接球的半径R=r+（空］=1+1=-,

22

则尺=以，所以外接球表面积为4兀友=6兀，D正确

故选：ABD

11.在平面直角坐标系中，定义d（A5）=■-年+1%-匆为点人（和%）到点5（W，%）

的“折线距离”.点。是坐标原点，点。在直线2x+y-2百=0上，点P在圆d+y2=i

上，点R在抛物线/=—4x上.下列结论中正确的结论为（）

A.d（0,Q）的最小值为2B.d（O,P）的最大值为夜

C.d（P,Q）的最小值为qD.d（H,Q）的最小值为逝—（

【答案】BCD

【解析】对A：设Q1,2^—2X）,则J（O,e）=|x|+2|75-x|>|X|+|75-X|

>|X+A/5-X|=A/5（当且仅当x=逐时取“="）.故A错；

对B：设P（x,y）,则上+y=i,则d（o,p）=N+MV'（炉+力=后,故B对；

对C：设P（cosO,sinO）,Q（x,2，？-2x）,贝！|

d（P,Q）=卜0$。-%|+卜1110-26+2耳=|cos0-x|+2兰——百+x

>|cos0-x|+^^--A/5+x>COS0-X+-^^--A/5+x=A/5cos0+^^-

二Ycos0•区5+sin1逝(当且仅当sinO=走，cosO=2时取

5255

“二”）.故C对;

（2、

对D：设r--

I4

7

产

d（E,Q）—x+括+x>--45+x

42

2--------x-\-----y/5+x上+,-75=---+V5>V5--（当且仅当/=1时取

42"J2~424

“=”).故D正确.

故选：BCD

三、填空题

12.己知圆锥的底面半径为2,母线与底面所成的角为60。，则该圆锥的表面积为

【答案】1271

【解析】已知圆锥的底面半径r=2,圆锥母线与底面所成的角为60。，

所以圆锥的母线长为/=4,

22・

所以该圆锥的表面积为5=S侧面积+S底面积-Tirl+Tir=7rx2x4+7ix2=12兀

故答案为：1271

13./(x)=YV*的极大值为.

4

【答案】—

e

［解析］f(%)=2xe-A+x2(―「)=(2x-x2)e-x=-x(x-2)尸,

当XC(YO,0)U(2,+OO)时,f'(x)<0,当xe(0,2)时，盟x)>0,

故/(x)在(—8,0)、(2,+8)上单调递减，在(0,2)上单调递增，

故/(x)有极大值/(2)=22e-2=4.

e

4

故答案为：—.

e

22

14.已知双曲线C：.—3=1(。〉0力〉0)的右焦点为口，左、右顶点分别为4，4,

轴于点产，且Pb=2QE.当NAQ4最大时，点p恰好在双曲线c上，则双曲

线C的离心率为.

【答案】^5

*

因为尸轴，且尸在双曲线上，所以|尸司二一，又PF=2QF,所以。为尸尸中点.

a

因为NA24最大，所以经过A,4两点的圆与p/相切于。，此时。点坐标为

(b2}

(2a)

fb2}

圆心C0,—,

由|。2]二80nt?+—=c2n—=Z?2=>/?2=4tz2=>c2-a2=4a2

、2〃)、2。)

r2「

nc，:5a2n==5ne=5

a'

故答案为：V5

四、解答题

15.鞍山市普通高中某次高三质量监测考试后，将化学成绩按赋分规则转换为等级分数

(赋分后学生的分数全部介于30至100之间).某校为做好本次考试的评价工作，从本校

学生中随机抽取了50名学生的化学等级分数，经统计，将分数按照[30,40),[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成7组，制成了如图所示的频率分

布直方图.

(1)求频率分布直方图中用的值，并估计这50名学生分数的中位数；

⑵在这50名学生中用分层抽样的方法从分数在[70,80),[80,90),[90,100]的三组

中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记J为3人中分数在[80,90)的人数，求

J的分布列和数学期望.

解：(1)由10(0.002+2*0.004+/〃+0.020+0.028+0.030)=1=加=0.012.

又,1•0.02+0.04+0.2=0.26<0.5,0.02+0.04+0.2+0.3=0.56>0.5.

(0.5-0.26)

所以，估计这50名学生分数的中位数为:60+10xI0.3J=68.

(2)因为[70,80),[80,90),[90,100]三组的频率之比为0.28:0.12:0.04=7:3:1

所以从[70,80),[80,90),[90,100]三组中抽取的人数分别为7,3,1.

由题意J可取。，1，2,3

且5）=*禽『）=皆嗡…看丁

3

P（^=3）=^C=—1

l）C：］165

所以j的分布列为:

g0123

562881

p

1655555165

=0X^1X^2XAX9

所以E片+++3X=

165555516511

16.如图1,在平面五边形ABCDE中，AE//BD,且。E=2,AEDB=60°,

CD=BC=&,cosZDCB=~,将△BCD沿BD折起，使点C到P位置，且

7

EP=5得到如图2所示的四棱锥P—ABDE.

（1）求证；PE,平面ABDE；

（2）若AE=1，求平面上钻与平面尸砒>所成锐二面角的余弦值.

（1）证明：在ABC中，CD=BC=币，cosZDCB=1,

由余弦定理可得BD2=BC-+CD'-2BC-CDcosZDCB=7+7-2x77x77x-=4,

7

所以8E>=2,

又因为DE=2,NEDB=60,所以△BDE为正三角形,

设BD的中点为p，连接",PF,可得BDLEF,

又由CD=BC,可得M，且平面。砂，EFPF=F,

所以皮)，平面PET，因为P£u平面PEF，所以5£)，理,

在,PED中,可得PF=[PB2—BF2=屈，

在△5DE中，可得EF=JED?—DF?=唐，

又因为政=百，可得ER?+政2=相2,所以PELEF，

因为平面A3DE，且EFcBD=F，所以PE,平面A5DE.

(2)解：因为AE/ABD,所以AE，£F,

又由PE,平面ABDE，且AE,Ebu平面AB0E，所以PELAE,PE工EF,

以E为原点，以E4,EB,EP所在的直线分别为％yz轴，建立空间直角坐标系，

3

如图所示，可得A(l,0,0),3(l,百,0),/(0,3,0),P(0,0,有)，

则AB=(0,6,0),AP=(-1,0,我,BP=(-1,-石,布),BF=(-1,0,0),

勺-AB=—0

设平面R4B法向量为“=a，x，zj,则，

勺•AP=一占+y[3zi=0

取石=百，可得％=0,4=1,所以勺=(6,0,1),

%,BP——%2-—0

设平面PBD的法向量为巧=(%2,y2,z2),贝卜

勺-BF=-x2=0

取%=1,可得％=0/2=1，所以巧=(0,1,1)，

设平面与平面尸皿所成的角为，，由图象可得。为锐角,

।」々•闻_1

则cos8=gs/%

同㈣2后4

所以平面A钻与平面R犯所成锐二面角的余弦值为Y2

4

17.已知函数/(x)=ga%2_(〃+2)x+21nx,(2eR.

(1)若曲线y=/(x)在x=2处的切线与y轴垂直，求实数〃的值；

(2)讨论函数/(%)的单调性.

解：(1)依题意x>0,f(<x)=^ax2-(<2+2)x+21nx,

则尸(x)=a-(a+2)+>加一("；2)x+2=(ax—1'—2),

因为在x=2处的切线与y轴垂直，所以/'(x)=a—1=0,解得。=1；

(2)由⑴知r(x)=A—△—^(x〉o),

X

当aWO时，由/'(尤)>0得0cx<1,由/'(尤)<0得x>l,

所以/(X)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间(1,也)，

当。>0时，分以下三种情况：

若a=2,则/'(尤)》0在定义域内恒成立，

所以/(刈的单调递增区间为(0,+oo),无单调递减区间；

2

若0<a<2,令/'(x)>0得0<x<l或x〉一，

a

2

令f\x)<0得

a

所以/(x)的单调递增区间为(0』),。+8)单调递减区间为d,

22

若a>2,令/'(%)>。得0<x<—或1>1,令/'(%)<。得一<%<1,

aa

所以f(x)的单调递增区间为|^0,|^(1,+C0),单调递减区间为,1],

综上所述，当aWO时，/(可在区间(0,1)单调递增，在区间+。)单调递减；

当a=2时，/(可在区间(0,+")单调递增，无递减区间；

当0<a<2时，/(%)在区间单调递增，在区间11京单调递减;

当a>2时，在区间„,（L+s）单调递增，在区间序]单调递减.

22

18.焦点在x轴上的椭圆土+4=1的左顶点为A/,A（xl,y]）,B（%2，y2）,C（x3,y3）

4b

为椭圆上不同三点，且当O3=2OC时，直线MB和直线的斜率之积为

4

（1）求b的值；

（2）若Q4B的面积为1,求x；+考和才+q的值；

（3）在（2）的条件下，设A3的中点为。，求卸的最大值.

解：（1）因为OB=2OC，所以。,用C三点共线，则必有点B和点C关于点。对称，

所以%=，设直线MB和直线MC的斜率分别为左MB，L,

因为点加为椭圆的左顶点，所以M（—2,0）,

,初一0y2,%—0%

所以kMB==-yr，KMC==-77，

%2—（-2）x2+2x3-（-2jx3+2

所以-^MC=:、'—=-],

%+2w+24

1

所以（々+2F）（2-9）=—“

所以歪+y；=l,所以廿=1,即b=±l；

42

（2）设过A,3两点直线为/,

当直线/的斜率不存在时，A8两点关于x对称，所以々=玉，为=-%，

因为4（在椭圆上，

所以（~+才=1，又SOAB=L

所以5闻|2引=1,即㈤仅J=1,结合才+y；=1可得㈤=^^]%|二拒,

22

此时玉2+x：=4,才+$=1,所以=4；

一.「y'+yl

当直线/的斜率存在时，设其方程为丁=区+加，m。0,

y=kx+m

联立《122，消去y得（1+4左2）X2+8^mx+4机2-4=0,

7）'=

其中A=（8kmf-4（1+4左2）（4m2-4）=16（4A;2-m2+l）＞0©

—8km4m2-4

所以玉+%

所以\AB\=Jl+左，J（X]+曾2『-4%曾2=Jl+左，,"I"：*1

因为。到直线/的距离d=-^=,

所以S.AB=TMM=I，

所以:卡•生平力1・3=1,整理的4—2+1=。，符合①式,

—8kmYW-8_

此时才+考（玉+%）~-2X^3=1+4PJ

1+4左2―

22

城+货=1一江+i—旦=2-1=1；

1244

22

⑶因为4|0£＞「+恒呼=4+广+（X1-X2）+（J1-J2）

=2（x；+*+y；+y；）=10,

所以21cZ)HAB|W4°口JAM=5,

即\OD\-\AB\<I,当且仅当2\OD\=\AB\=45时等号成立,

此时Q钻为直角三角形且/A05为直角，

2

故Q4­。5=玉々+X%=玉%2++m

4m2-47—Skm3m2-3

------+mk+m2

1+4左21+4左22m2

解得疗=1,从吟今此时等号可成立.

所以|OE>HAB|的最大值为g.

（1）证明：|*+i为等比数列，并求数列｛4｝的通项公式;

（2）设勿=log3（%+2"）,若对于任意的aeN*，不等式d（1+附）—2@+2"）—6<0

恒成立，求实数X的取值范围；

（3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字

定义的函数称为高斯函数/（%）=国，其中国表示不超过x的最大整数，如[2.3]=2,

[-1.9]=-2,设G=七