2025高考数学一轮复习：条件概率与全概率公式 专项训练【原卷版】

2025高考数学一轮复习-10.6-条件概率与全概率公式-专项训练【原卷版】

[A级基础达标1

1.若P(AB)=[,P(A)=|,P(B)=g，则事件4与B的关系是()

A.事件a与B互斥B.事件a与B对立

c.事件a与B相互独立D.事件a与B既互斥又相互独立

2.[2023•山东青岛模拟]甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从可乐、乳制

品、矿泉水这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件a=

“甲选择可乐"，事件8="甲和乙选择的饮品不同”，则P(B|2)=()

A.I11B,-1C,-7D.-

3.[2023•广东广州模拟]深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行

数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出

场率分别为0.2,0,5,0.3,当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率

依次为0.4,0.2,0.8.当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为()

A.0.32B.0.68C,0.58D.0.64

4.(多选)设a是两个事件，且B发生2必定发生若0<PQ4)<l,0<

P(B)<1，则给出的下列各式中正确的是()

A.P(AUB)=P(B)B.P(B|2)=瑞

C.P⑷B)=1D.P(AB)=P(A)

5.[2023•河北邢台模拟](多选)随机事件4与B相互独立，且B发生的概率为

0.4,2发生且B不发生的概率为0.3,贝！]()

A.事件A发生的概率为0.6B.事件B发生且A不发生的概率为0.2

C.事件4或B发生的概率为0.9D.事件4与B同时发生的概率为0.2

6.[2023・上海财经大学附属高级中学模拟]袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从

袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外，再加进一个白球，直至取出黑球为止,

则取了N次都没有取到黑球的概率是________________.

7.[2023•辽宁鞍山模拟]有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都悬

丙能解决的概率是|,若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决

的概率为.

8.[2023・湖南岳阳模拟]某学校在甲、乙、丙三个地区进行新生录取，三个地区的录

取比例分别为?现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率

356

是_______•

9.[2023・山东临沂模拟]已知某中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投

3

-

篮训练，命中的概率分别居4/，设各次投篮都相互独立.

(1)若小许投篮三次，求恰有两次命中的概率；

(2)若小丽、小许、小静三人各投篮一次，求至少一人命中的概率.

[B级综合运用1

10.如图,已知电路中4个开关每个闭合的概率都是|,且是相互独立的，则灯亮的

概率为()

11.［2023•广东佛山模拟］(多选)抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝

上面的点数.用工表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(%,y)表示一

次试验的结果.定义：事件a="％+y=7"，事件B=为奇数”，事件C=

“％>3”，则下列结论正确的是()

A.事件a与B互斥B.事件a与B对立

c.p(B|c)=］D.事件a与c相互独立

12.［2023•河北衡水模拟］有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为

6%，第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知第1、

2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%，现从加工出来的零

件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率

为.

13.［2023•湖北宜昌模拟］某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试生产初期，

该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，

包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为

P=L，P=工，p=4.

110z9，J8

(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；

(2)如果在第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进

入流水线并由工人进行人工抽查检验.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件

下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率.

2级素养提升］

14.［2022•高考全国卷乙］某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果

相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为Pl,P2，P3，且P3〉P2>

Pi>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,贝！］()

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

15.甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣

味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题

者得3分，答错题者得0分.已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p,

在第二轮比赛中答对题的概率都为q,且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲、

乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”

总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为?,乙得5分的概率为：.

(1)求P,q的值；

(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.

2025高考数学一轮复习-10.6-条件概率与全概率公式-专项训练【解析版】

［A级基础达标!

1.若PQ4B)=",P(A)=|,P(B)=］，则事件4与B的关系是(C)

A.事件a与B互斥B.事件a与B对立

c.事件a与B相互独立D.事件a与B既互斥又相互独立

［解析］选c.因为P(a)=i—P⑷=1*=3,

所以PG4B)=P(4)P(B)=§H0,

所以事件4与B相互独立、事件a与B不互斥，故不对立.故选c.

2.［2023•山东青岛模拟］甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从可乐、乳制

品、矿泉水这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件4=

“甲选择可乐"，事件8="甲和乙选择的饮品不同”，则P(B|2)=(D)

A.-11B.-1C.i2D.-

4233

［解析］选D.事件a="甲选择可乐”，则p(a)=：，事件B="甲和乙选择的饮品

不同”，则事件ZB="甲选择可乐，乙选择的是乳制品或者矿泉水”，所以

PG4B)=；X泻，所以P(BH)=鬻号.故选D.

3.［2023•广东广州模拟］深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行

数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出

场率分别为0.2,0,5,0.3,当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率

依次为0.4,0,2,0.8.当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为(C)

A.0.32B.0.68C.0.58D.0.64

［解析］选C.设事件为表示“乙球员担当前锋”，事件&表示“乙球员担当中锋”，

事件4表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”.

则P(B)=P(Z1)P(BM1)+PQ42)P(B|4)+PQ43)P(BM3)=0.2x0.4+0.5X0.2+

0.3X0.8=0.42,

所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为1-0.42=0.58.故选C.

4.(多选)设a,B是两个事件，且B发生4必定发生若0<PQ4)<l,0<

P(B)<1,则给出的下列各式中正确的是(BC)

A.PQ4UB)=P(B)B.P(B|2)=^

C.P⑷B)=1D.P(AB)=P(A)

［解析］选BC.因为B发生A必定发生，所以P(AUB)=P(A),P(AB)=P(B),故

A,D不正确；。0|4)=霁=舞，故B正确；「缶㈤)=需=1，故C正确.故

选BC.

5.［2023•河北邢台模拟］(多选)随机事件2与B相互独立，且B发生的概率为

0.4,4发生且B不发生的概率为0.3,贝［］(BD)

A.事件4发生的概率为0.6B.事件B发生且2不发生的概率为0.2

C.事件2或B发生的概率为0.9D.事件2与B同时发生的概率为0.2

［解析］选BD.依题意事件4与B相互独立，P(B)=0.4,P(B)=0.6,P(4瓦)=

P⑷•P®=P(A)-0.6=0.3,

所以PQ4)=0.5,A选项错误；

P(A)=0.5,所以P(AB)=P(A)-P(B)=0.5x0.4=0.2,B选项正确；

事件4或B发生的概率为1-P(而)=1一P(Z).P⑻=1—0.5x0.6=0.7,C选

项错误；

P(AB)=P⑷・P(B)=0.5x0,4=0.2,D选项正确.

故选BD.

6.［2023•上海财经大学附属高级中学模拟］袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从

袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外，再加进一个白球，直至取出黑球为止,

则取了N次都没有取到黑球的概率是六.

［解析］依题意，取了N次都没有取到黑球的概率P=?x,x：x…、备=念.

Z54/V+l/v+1

7.［2023•辽宁鞍山模拟］有一道数学难题,在半小时内,甲、乙能解决的概率都震

丙能解决的概率是|,若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决

的概率为1.

O

［解析］设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件a,B,c,“在

半小时内该难题得到解决”为事件。，贝(］PQ4)=P(B)=g,P(C)=］,D=au

BUC,D表示事件“在半小时内没有解决该难题"，万=砒，

1121S1P-5

--X-X-'--D--

所以PCD)=P(ABC)=PM)P(B)P(C)22p(6

--

8.［2023・湖南岳阳模拟］某学校在甲、乙、丙三3个地6区进行新生录取，三个地区的录

取比例分别为：现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是京.

［解析］记事件41,A2,A3表示此人选自甲、乙、丙三个地区,事件B表示此人被

1111

录取，则P(4)=PG42)=P(4)=§,P(B|4)=E,P(B|4)=Z,

所以

1111

+-X-+-X-

P(B)=P(Ai)P(B|&)+P(&)P(B|&)+P(4)P(BM3)3536

9.［2023•山东临沂模拟］已知某中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投

篮训练，命中的概率分别是|/，设各次投篮都相互独立.

1545

(1)若小许投篮三次，求恰有两次命中的概率；

［答案］解：设小许“第一次命中”为事件当，“第二次命中”为事件B2，“第三次

命中”为事件B3,

“小许投篮三次，恰有两次命中”为事件E,

则P(E)=P(瓦勾丛)+P(Bi瓦5)+P(B$2瓦)

133,313,33127

=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—.

44444444464

(2)若小丽、小许、小静三人各投篮一次，求至少一人命中的概率.

［答案］设“小丽命中”为事件2，“小许命中”为事件B，“小静命中”为事件c,

“三人投篮，至少一人命中”为事件。,

则“三人投篮，均未命中”为事件方,

mP（D）=（1_i）x（i-yx（i-1）=

所以P（D）=1-P（万）=1-卷若,

所以三人投篮，至少一人命中的概率为标.

OU

[B级综合运用1

10.如图,已知电路中4个开关每个闭合的概率都是|,且是相互独立的，则灯亮的

概率为（C）

[解析]选c.灯泡不亮包括四个开关都断开，或开关C,D都断开且开关a,B中有

一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，所以灯泡不亮

的概率为:++=.因为灯泡亮与不亮是对立事

件，所以灯亮的概率是1-2K.故选c.

11.[2023.广东佛山模拟]（多选）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝

上面的点数.用x表示红色骰子的点数,用y表示绿色骰子的点数,用（%,y）表示一

次试验的结果.定义：事件a="％+y=7"，事件B=为奇数”，事件C=

“x〉3”，则下列结论正确的是（AD）

A.事件a与B互斥B.事件a与B对立

c.p（B|c）=]D.事件a与c相互独立

［解析］选AD.对于A,因为x+y-7,所以久与y必是一奇一偶,又当xy为奇数

时，久与y都是奇数，所以事件4和B不能同时发生，即a与B互斥，故A正确；

对于B,因为事件2和B不能同时发生，但它们可以同时不发生，如％=1,y=2,

即2与B不对立，故B不正确；对于C,®y)的所有可能结果如表所示：

类别123456

1(1,1)(1.2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)。3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

P⑹4=，P(BC)=2号，所以「出|0=需=3，故C不正确;

36L3612r(Lj6

对于D,PG4)=9=3,P(C)=i1=|,PG4C)=.=*，则有PQ4C)=PQ4)・

Jo。DOZOU1Z

P⑹J与C相互独立,故D正确.综上所述,选AD.

12.［2023•河北衡水模拟］有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为

6%，第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知第1、

2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%，现从加工出来的零

件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为|.

［解析］记4为事件“零件为第汩=1,2,3)台车床加工”，B为事件“任取一个零件

为次品”，

则P(4)=0.25,P(4)=0.3,P(4)=0.45,

所以P(B)=PG4i)P(B|4)+P(&)P(BM2)+PQ43)P(B|4)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525,

PQ4i)P(BMi)0.25x0.06_2

所以P(4i|B)=

P(B)0.0525-7

13.［2023・湖北宜昌模拟］某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试生产初期，

该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序,

包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为

p=工，P=工，「3一.

110z9，J8

(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；

［答案］解：因为前三道工序的次品率分别为P1=5，「2=I,

所以该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率为

P=1-(1-FOCI-P2)(l-p3)=l-^x|x^=^.

(2)如果在第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进

入流水线并由工人进行人工抽查检验.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件

下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率.

［答案］设“该款芯片智能自动检测合格”为事件4，“人工抽检合格”为事件B,

由已知得「04)=/，PG4B)=l—P=l—5=5,

所以工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率为P(BM)=

P(AB)7107

P(A)109-9•

［C级素养提升］

14.［2022•高考全国卷乙］某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果

相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为Pl,P2，P3，且P3>P2>

Pi>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，贝U(D)

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

［解析］选D.方法一：设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙

比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，

P甲=2Pl历2(1-P3)+P3(l-P2)]=2Plp2+2Plp3-4Plp2P3，P乙=2P2[P1(1—

P3)+p3(l-Pi)]=2Plp2+2P2P3-4Plp2P3，P丙=2p3[pi(l-P2)+?2(1-Pl)]=

2Plp3+2P2P3—4Plp2P3.所以P丙一「甲=2P2(P3-Pi)>0，「丙一「乙二2Ple3-

P2)>0，所以P丙最大，故选D.

方法二(特殊值法)：不妨设P1=0.4,P2=0.5,P3=0.6,则该棋手在第二盘与甲

比赛连胜两盘的概率P甲—2Pl擀2(1-P3)+P3(l-P2)]=0.4；在第二盘与乙比赛连

胜两盘的概率P乙=2P2历1(1-P3)+P3(l-Pl)]=0.52;在第二盘与丙比赛连胜两盘

的概率P丙=2p3[Pi(l-P2)+P2(l-Pi)]=0.6.所以P丙最大,故选D.

15.甲、乙两人组成“