人教版初中八年级数学上册同步讲义-乘法公式（原卷版）

第03讲乘法公式

学习目标

课程标准学习目标

1,能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，掌

握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应用。

①平方差公式

2,能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意

②完全平方公式

义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公式

进行应用。

思维导图

知识清单

知识点01平方差公式

1.平方差公式的内容：

两个数的和乘以两个数的差等于这两个数的差。即(a+b1a-b)=0

注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。

2.式子特点分析：

(a+b^-b)=a2-b2：两个二项式相乘，若其中一项，另一项,则等于

他们项的平方减去项的平方。

3.平方差公式的几何背景:

图②

22

如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。图①的面积为：(a+bla-b)；图②的面积为：a-b.

图①与图②的面积相等。所以(a+b)(a—乃=。2—匕2

题型考点：①平方差公式的计算。②利用平方差公式求值。③平方差公式的几何背景应用。④利用平

方差公式简便计算。

【即学即练1】

1.下列各式中不能用平方差公式计算的是()

A.(-^-a+2b)(,ya-2b)B.(-2x+3y)(-3y-2无)

C.(-2x+y)(-2x-y)D.(x-l)(-x+l)

【即学即练2】

2.计算：

⑴(a+b)(a-2)；(2)6蒋)(*蒋)；

(3)(m+n)(m-〃)；(4)(0.1-x)(0.1+x)；(5)(%+y)(-y+x).

【即学即练3】

3.若x-y=2,f_y2=6,贝|jX+y=.

【即学即练4】

4.已知m-n—1,贝ljm2-n2-2n的值为()

A.1B.-1C.0D.2

【即学即练5】

5.如图(1),在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(”>b),把余下的部分拼成一个长方

形，如图(2),此过程可以验证()

A.(a+b)2=a2+2ab+b2

B.(〃-/?)2=a2-lab+b1

C.di2-b2=(〃+Z?)(a-b)

D.(Q+Z?)2=(〃-/?)2+4^Z?

【即学即练6】

6.20142-2013X2015的计算结果是

知识点02完全平方公式

1.完全平方公式的内容：

①完全平方和公式：

两个数的和的平方，等于这两个数的的和这两个数乘积的两倍。

即：(。+为2=。可以是两个数，也可以是两个式子。

②完全平方差公式：

两个数的差的平方，等于这两个数的的和这两个数的乘积的两倍。

即：(a-bf=o可以是两个数，也可以是两个式子。

2.式子特点分析：

(a+bf=a2±2ab+b2：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的加上这两项

的。注意每一项都包含前面的符号。

巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。

3.完全平方公式的几何背景：

图1中面积的整体表示为：年+。2丁|

用各部分面积之和表示为：a2+2ab+b2〃

所以(a+bf=/+2ab+b2——「

用同样的方法表示图2的面积即可得到：」“■

(a—为2=/一2"+修。图1图2

4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化：

(a+Z?)2=a2+2ab+b2,(a-Z?)2=a2-2ab+b2

+2ab+b1—4-cib=a2-2ab+b?

(a+Z?)2-4ab=(a-Z?)2

题型考点：①完全平方公式的计算。②利用完全平方公式求值。③完全平方公式的几何背景。

【即学即练1】

7.运用完全平方公式计算：

2222

(1)(4m+n)；(2)(y-i-)；(3)(-«-/?)；(4)(-a+b').

【即学即练2】

8.计算：

(1)(x-6)2(2)(-2x-y)2

(3)(-p+3q)2(4)[(2m+n)(2m-n)J2.

【即学即练3】

9.已知孙=9,x-y—-3,则f+3xy+y2的值为（）

A.27B.9C.54D.18

【即学即练4】

10.己知：a+b—5,ab—3,求：

⑴/+庐；⑵（a-b）2.

【即学即练5】

11.如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（）

B.(y+x)2=y2+2xy+x2

D.(y+x)2-(y-x)2=4xy

【即学即练6】

12.如图1,将一个长为4”，宽为26的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成

一个正方形.

（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）

（2）若2a+b=I,且必=3,求图2中的空白正方形的面积.

（3）观察图2,用等式表示出（2a-b）2,湖和（2a+b）?的数量关系.

知识点03完全平万式

1.完全平方式的定义：

若一个整式A,可以写成另一个整式B的平方的形式，即A=台2,则我们称整式A是一个完全平方式。

2.式子特点分析：

a2+2ab+b2=（a+bf：一个三项式，其中两项可以写成的形式，第三项是平方两项底数

乘积的,则可以写成或的平方。若第三项与平方两项的符号相同，则

是底数的平方，若第三项与平方两项的符号相反，则是底数的平方。

题型考点：①平方式写成平方的运算。②根据完全平方式的特点求值。

【即学即练1】

13.下列各式中，运算结果为1-2移2+fy4的是（）

A.（-1+xy2）2B.（-1-孙2）2

C.（-l+x2y2）2D.（-1-x2/）2

【即学即练2】

14.己知^+5+64y2是一个完全平方式，则上的值是（）

A.8B.±8C.16D.±16

【即学即练3】

15.已知多项式d+6x+机是一个关于x的完全平方式，则机的值是（）

A.9B.-9C.36D.-36

知识点04乘法公式的拓展应用

1.平方差公式的拓展：

两个三项式相乘，若他们的项中只存在的项和的项，则可以用平方差公式计

算。它等于的平方减去的平方。把相等项或相反数项存在两项的看成一个整体。

即：[a+b+c^a+b-c)=[a+b^'-c2o

2.完全平方公式的拓展：

一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式的计算方法计

算。把其中两项看成一个整体。

即：(a+b+cf=(a+/?)2+2c(a+b)+c2=a2+2a(b+c)+(Z?+c)2

题型考点：①拓展应用。

【即学即练1】

16.在下列等式中，A和8应表示什么式子？

(1)(〃+Z?+c)(a-C+c)—(A+B)(A_B)；

(2)(x+y-z)(x-y+z)=(A+B)(A-B).

【即学即练2】

17.(a+b-c)(a-b+c)=

【即学即练3】

18.计算：(m+2n-p)2.

【即学即练4】

19.计算题：

(1)(a-2b-3c)2(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2

题型精讲

题型01平方差公式与完全平方公式的计算

【典例1】

利用乘法公式计算:

(1)(2x-3y)2-(y+3x)(3x-y)(2)(a-2b+3)(a+2b-3).

【典例2】

计算下列各题：

(1)(a-26)2-(2a+Z?)(b-2a)-4a(a-b)

(2)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(3x-2y)2

【典例3】

计算：

(1)(-^-x+2y)2+•尤-2y)2；(2)(a-b+c)2

【典例4】

求(2-1)(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)…(232+l)+1的个位数字.

题型02利用乘法公式简便运算

【典例1】

利用乘法公式简便计算.

(1)2020X2022-20212.(2)3.6722+6.3282+6.328X7.344.

【典例2】

计算：

(1)20232-2022X2024；(2)ll2+13X66+392.

【典例3】

利用乘法公式计算：

(1)3252-2752；(2)295X305-2982.

【典例4】

用因式分解的相关方法，进行简便计算：

(1)20232-20222.(2)9992+2X999+l2.

题型03利用乘法公式求值

【典例1】

已知X2-y=-1,x+y=A.,贝U%-y=.

2

【典例2】

若/-庐=2,°+6=工，则a-b的值为（）

32

A.」B.4C.—D.2

232

【典例3】

已知x+y=8,盯=12,则/-孙+/的值为（）

A.42B.28C.54D.66

【典例4】

若有理数。、6满足/+庐=5,（。+匕）2=%则-4"的值为（)

A.2B.-2C.8D.-8

【典例5】

已知〃+Z?=3,ab=-10.求：

（1）/+房的值；(2)(a-b)2的值.

【典例6】

已知：x+y=5,孙=3.

求：@x1+5xy+y2；②/+,4.

题型04乘法公式与几何

【典例1】

图①是一个长为2m,宽为In的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一

个正方形.

（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.

方法1：;方法2：；

（2）观察图②请你写出下列三个代数式；（〃?+”）2,（优-〃）2,之间的等量关系;

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题:

①已知：a-b=3,ab=-2,求：（。+6）2的值；

②已知：。上=1,求：（aj）2的值.

aa

图1图2

【典例2】

如图1是一个长为4a、宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形

拼成的一个“回形”正方形（如图2）.

①图2中的阴影部分的边长为；

②观察图2请你写出3b）2、（a-b）2、油之间的等量关系是；

③根据（2）中的结论，若x+y=5,尤・y=4,贝！I（x-y）?=；

④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,你发现的等式是.

【典例3】

如图，大小两个正方形边长分别为a、b.

(1)用含4、人的代数式表示阴影部分的面积S；

(2)如果〃+/?=8,ab=14,求阴影部分的面积.

强化训练

1.下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是()

A.(。-2b)(2〃-b)B.(-a+2b)(-a-2b)

C.(a+2b)(-2a+b)D.(2a-b)(-2a+b)

2.已知"z+〃=3,m-n=4,则%？-层的值为()

A.12B.-12C.25D.-25

3.若多项式x?+(k-3)孙+4廿是完全平方式，则上的值为()

A.±7B.7或-1C.7D.-1

4.王大爷家有一块边长为用米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2米，东西向

减少2米.则改造后的菜地与原来的菜地相比()

A.面积相等B.面积增加了4平方米

C.面积减少了4平方米D.无法确定

5.如图，两个正方形边长分别为a,b,已知a+6=7,ab=9,则阴影部分的面积为()

A.10B.11C.12D.13

6.有两个正方形A、B,将A,8并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙.若图甲、

图乙中阴影的面积分别为14与36,则正方形B的面积为()

图甲图乙

A.3B.4C.5D.6

7.当x=l时，ax+b+1的值为-2,则Qa+b-1)(\-a-b)的值为()

A.16B.8C.-8D.-16

8.计算(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)...(264+l),结果是()

9.已知(a2+/J2+3)(icr+b2-3)=7,ab=3,贝！ICa+b)2=.

10.如图，C是线段AB上的一点，以AC,BC为边在AB的两侧作正方形，设AB=8,两个正方形的面积

和为40,即SI+S2=40,则图中阴影部分的面积为

2r4y17「5产18

11.若a=2018,^=2017x2019—2018?,