人教A版2019必修第一册专题3.6函数的概念与性质全章八类必考压轴题(原卷版+解析)

专题3.6函数的概念与性质全章八类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1考点1函数的定义域问题1．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）函数fx=1A．−1,1 B．−1,1C．−1,0∪0,1 2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y=fx+1的定义域为1,2，则函数y=f2x−1的定义域为（A．12,1 B．32,2 C．3．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数fx的定义域为1,3，则函数gx=4．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数fx(1)若fx的定义域为[－2,1]，求实数a(2)若fx的定义域为R，求实数a5．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的定义域：(1)已知函数fx的定义域为−2,2，求函数y=f(2)已知函数y=f2x+4的定义域为0,1，求函数f(3)已知函数fx的定义域为−1,2，求函数y=f(x+1)−f(考点考点2函数的值域问题1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是(0,+∞)A．y=2x+1(x>0) B．y=x2C．y=1x2−3 2．（2023·全国·高三专题练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数．例如：π=3，−5,1=−6，已知函数fx=A．−1,1 B．−1,0 C．1,0 D．−1,0,13．（2023·高一单元测试）将函数fx=x中的自变量x用x=gt替换，替换后所得的函数Fx=g①gt=t；②gt=4．（2023·高一课时练习）已知f((1)若a=4时，求f(2)函数g(x)=x2+1f5．（2023·全国·高三专题练习）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数fx=ax2（Ⅰ）若a=−2，b=3，求fx（Ⅱ）当a=1时，若fx为“同域函数”，求实数b（Ⅲ）若存在实数a<0且a≠−1，使得fx为“同域函数”，求实数b考点考点3由函数的单调性求参数1．（2023·高一课时练习）已知函数fx=x2−2x+3在区间t,t+1A．1,+∞ B．0,1 C．−∞,02．（2023春·吉林长春·高一校考开学考试）已知函数f(x)=x2−ax+5,(x≤1)ax,(x>1)满足对任意实数x1A．0<a≤3 B．a≥2 C．a>0 D．2≤a≤33．（2023·全国·高三专题练习）函数fx=x−a+1在[2,+∞4．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=x(1)若函数f(x)的单减区间是(−∞,4]，求实数(2)若函数f(x)在区间(−∞,4]上是单减函数，求实数5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)=ax2+bx+1（a,b∈R），满足f(−1)=0，且对任意实数x(1)求fx(2)当x∈−12,1考点考点4由函数的性质求最值1．（2023春·湖南长沙·高二校考期中）关于“函数fx=x−13x−14，x∈−A．fx有最大、最小值，gB．fx有最大、最小值，gC．fx无最大、最小值，gD．fx无最大、最小值，g2．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)−2016，且x>0时，f(x)>2016A．2016 B．2017 C．4032 D．40343．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x2−ax+2+a，a∈R，若f(x)在区间[−1,1]上的最大值是3，则4．（2023秋·高一单元测试）已知函数f(x)=mx+11+x(1)求实数m的值，判断函数f(x)在[0,+∞(2)求函数f(x)在[−3,2]上的最大值和最小值．5．（2023·全国·高一假期作业）已知函数fx(1)求fx的最小值g(2)求ga考点考点5由函数的性质比较大小1．（2023·安徽亳州·蒙城校联考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gx在A．ff2>fC．gg2>g2．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在R上的函数fx满足：f−x+fx=0,f2−x=fA．fB．fC．fD．f3．（2022秋·青海·高三校考阶段练习）定义在R上的偶函数fx满足：fx+2=fx，且在−1,0上单调递减，设a=f−2.8，b=f−1.6，c=f0.5，则a4．（2023秋·江西南昌·高一校考阶段练习）已知f(x)是R上的奇函数，且对任意的实x，y，当x+y≠0时，都有f(x)+f(y)x+y（1）若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；（2）若存在x∈1,3，使f(x−c)+fx−c5．（2023秋·四川自贡·高一统考期末）已知定义在0,+∞上的函数fx，满足fmn=fm+f（1）求证：fx在0,+∞（2）判断fm+n2与考点考点6由函数的单调性、奇偶性解不等式1．（2023秋·江苏扬州·高一期末）已知定义域为R的函数fx在1,+∞单调递减，且f2−x+fx=0，则使得不等式A．−1,2 B．−C．−2,1 D．−2．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，若∀x1A．(−∞,−4C．(−∞,−43．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数fx在0,+∞上单调递增，且函数fx−1为奇函数，则4．（2023秋·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数fx=ax+bx2(1)求函数fx(2)判断fx(3)解不等式ft−15．（2023·高一课时练习）定义在−1,1上的函数fx满足对任意的x,y∈−1,1，都有fx(1)求证：函数fx(2)判断fx在−1,1(3)解不等式fx−1考点考点7利用函数的性质研究恒成立问题1．（2023·高一课时练习）设fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx=x2，若对任意的x∈t,t+2，不等式A．2,+∞ B．2,+∞ C．0,2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx+x2是奇函数，fx−x是偶函数，设函数gA．133 B．174 C．923．（2023秋·陕西西安·高一校考期末）已知函数y=fx是定义在[−1,1]上的奇函数，且f1=1，若m,n∈[−1,1],m+n≠0时，f(m)+f(n)m+n>0,不等式4．（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）已知函数fx=x+a(1)a>0时，求fa，f(2)若a=1，用定义证明函数fx在区间1,+(3)若不等式fx≥a在2,+∞5．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）已知fx=ax2+bx+c4+(1)求fx(2)判断函数fx在−2,2上的单调性（不用证明），并求使f2t+1+f(3)设函数g(x)=x2−2mx+4(m∈R)，若对任意x考点考点8利用函数的性质研究有解问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数fx在x>0时满足f(x)=(x−1)3+6x2+2，且fA．23 B．2 C．532．（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）定义域是R的函数fx满足fx=−f−x，当x∈0,2时，fx=x2A．−∞,−2−6∪−2+C．−∞,−2−6∪0,−2+3．（2023春·云南保山·高一统考期末）已知函数fx=a2−ax，gx=21−4．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)=a+1−|x−a|,g(x)=ax2−x+1(1)当x∈[2,4]时，f(x)的最小值为2，求实数a的值.(2)记max{a,b}=a,a≥bb,a<b，设F(x)=max{f(x),g(x)}5．（2022秋·山东青岛·高一校考期中）已知函数f(x)对任意m，n∈R，总有fm+n=f(1)求f0，并分析判断f(x)在R(2)若∀x∈(1,+∞)，不等式fa−3x+f专题3.6函数的概念与性质全章八类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1考点1函数的定义域问题1．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）函数fx=1A．−1,1 B．−1,1C．−1,0∪0,1 【解题思路】根据函数定义域相关知识直接求解.【解答过程】函数fx则1−x2＞0x≠0，即−1故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y=fx+1的定义域为1,2，则函数y=f2x−1的定义域为（A．12,1 B．32,2 C．【解题思路】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.【解答过程】∵函数y=fx+1的定义域为1,2，即1≤x≤2，可得2≤x+1≤3∴函数y=fx的定义域为2,3令2≤2x−1≤3，解得32故函数y=f2x−1的定义域为3故选：B.3．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数fx的定义域为1,3，则函数gx=fx+1【解题思路】根据给定条件，利用函数g(x)有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答.【解答过程】依题意，1<x+1<3x−1>0，解得1<x<2所以函数g(x)的定义域为1,2.故答案为：1,2.4．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数fx(1)若fx的定义域为[－2,1]，求实数a(2)若fx的定义域为R，求实数a【解题思路】（1）命题等价于不等式(1−a2)x2+3(1−a)x+6≥0的解集为[−2,1]，然后可得1−a（2）分1−a2=0【解答过程】（1）命题等价于不等式(1−a2)显然1−a

∴1−a2<0且x1=−2∴x解得：a=2.（2）①若1−a2=0当a=1时，f(x)=6，定义域为R当a=−1时，f(x)=6x+6，定义域不为R②若1−a2≠0∵f(x)定义域为R，∴g(x)≥0对x∈R恒成立，∴1−综合①、②得a的取值范围[−55．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的定义域：(1)已知函数fx的定义域为−2,2，求函数y=f(2)已知函数y=f2x+4的定义域为0,1，求函数f(3)已知函数fx的定义域为−1,2，求函数y=f(x+1)−f(【解题思路】抽象函数定义域求解，需注意两点：①定义域是函数解析式中自变量“x”的范围；②对于同一个对应关系“f”，“f”后括号里面式子整体范围相同.(1)y=fx2−1中x2－1的范围和fx中x范围相同，f(2)fx中x的范围和y=f2x+4中2x＋4范围相同，y=f2x+4中x(3)y=f(x+1)−f(x2−1)中x＋1与x2−1均与fx中x范围相同，【解答过程】（1）令－2≤x2－1≤2得－1≤x2≤3，即0≤x2≤3，从而－3≤x∴函数y=f(x2−1)（2）∵y=f(2x+4)的定义域为[0,1]，即在y=f(2x+4)中x∈[0,1]，令t＝2x＋4，x∈[0,1]，则t∈[4,6]，即在f(t)中，∴fx的定义域为[4,6]（3）由题得−1≤x＋1≤2−1≤∴函数y=f(x+1)−f(x2−1)考点考点2函数的值域问题1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是(0,+∞A．y=2x+1(x>0) B．y=x2C．y=1x2−3 【解题思路】根据给定条件逐一求出各选项中函数的值域，从而得结论.【解答过程】对于A，函数y=2x+1在(0,+∞)上的值域为对于B，二次函数y=x2的值域为对于C，函数y=1x2对于D，函数y=2x的值域为(−故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数．例如：π=3，−5,1=−6，已知函数fx=A．−1,1 B．−1,0 C．1,0 D．−1,0,1【解题思路】利用基本不等式可求得函数fx的值域，由此可求得函数y=【解答过程】当x>0时，0<fx=2x当x<0时，fx=2x此时−1≤fx又因为f0=0，所以，函数fx当−1≤fx<0时，fx=−1；当当fx=1时，综上所述，函数y=fx的值域为故选：D.3．（2023·高一单元测试）将函数fx=x中的自变量x用x=gt替换，替换后所得的函数Fx=gt与原函数①gt=t；②gt=【解题思路】根据题意求出fx=x的值域，依次将gt代入解析式【解答过程】函数fx=x的定义域为0,+∞根据幂函数的单调性可知，函数f因为Fx对于①：gt=t=t12fx对于②：gt=2t的值域为0,+∞，那么fx对于③：gt=3t−5的值域为若gt<0，则Fx=gt与fx对于④：gt=若gt<0，则Fx=gt与fx所以正确的有：①③④.故答案为：①③④.4．（2023·高一课时练习）已知f((1)若a=4时，求f(2)函数g(x)=x2+1f【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.【解答过程】（1）由a=4，则f由不等式性质，则x2≥0，1+x2≥1，0<故fx∈−2,4，即f（2）由题意，gx由函数ℎ(x)=g(x)当a=0当a≠0时，根据二次函数的性质，可得a其中a−42−2a≥0，a2−8a+16−2综上，故a∈5．（2023·全国·高三专题练习）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数fx=ax2（Ⅰ）若a=−2，b=3，求fx（Ⅱ）当a=1时，若fx为“同域函数”，求实数b（Ⅲ）若存在实数a<0且a≠−1，使得fx为“同域函数”，求实数b【解题思路】（Ⅰ）当a=−2，b=3时，解出不等式组−2x（Ⅱ）当a=1时，f(x)=x2+bx+2(x≥0)，分（Ⅲ）分−1<a<0、−1<a<0且b≤0、−1<a<0且b>0三种情况讨论即可.【解答过程】（Ⅰ）当a=−2，b=3时，由题意知：−2x2+3x−1≥0∴fx的定义域为1（Ⅱ）当a=1时，f(x)=x（1）当−b2≤0，即b≥0时，fx的定义域为∴b≥0时，fx（2）当−b2>0，即b<0时，当且仅当Δ=∴b=−22综上所述，b的值为−22（Ⅲ）设fx的定义域为A，值域为B（1）当a<−1时，a+1<0，此时，0∉A，0∈B，从而A≠B，∴fx（2）当−1<a<0，即a+1>0，设x0=−b−b2①当−b2a≤0，即b≤0时，f若fx为“同域函数”，则x从而，b=−a+1又∵−1<a<0，∴b的取值范围为−1,0.②当−b2a>0，即b>0时，f若fx为“同域函数”，则x从而，b=b2此时，由−a−1<0，b>0可知∗综上所述，b的取值范围为−1,0.考点考点3由函数的单调性求参数1．（2023·高一课时练习）已知函数fx=x2−2x+3在区间t,t+1A．1,+∞ B．0,1 C．−∞,0【解题思路】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于t，或大于等于t+1，从而可求出t的取值范围.【解答过程】fx=x因为函数fx=x所以1≤t或1≥t+1，得t≥1或t≤0，即t的取值范围是−∞故选：D.2．（2023春·吉林长春·高一校考开学考试）已知函数f(x)=x2−ax+5,(x≤1)ax,(x>1)满足对任意实数x1A．0<a≤3 B．a≥2 C．a>0 D．2≤a≤3【解题思路】易知函数f(x)在R上递减，由a2【解答过程】因为函数f(x)满足对任意实数x1≠x所以函数f(x)在R上递减，所以a2解得：2≤a≤3故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）函数fx=x−a+1在[2,+∞)上单调递增，则实数【解题思路】先求得fx的单调递增区间为[a,+∞)【解答过程】由函数fx=x−a+1，可得函数因为fx在[2,+∞)上单调递增，可得[2,+所以实数a的取值范围为(−∞故答案为：(−∞4．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=x(1)若函数f(x)的单减区间是(−∞,4]，求实数(2)若函数f(x)在区间(−∞,4]上是单减函数，求实数【解题思路】（1）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解；（2）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）依题意，f(x)=x由二次函数的性质知，f(x)的对称轴方程为x=−a，开口向上，所以f(x)的单减区间是(−∞因为函数f(x)的单减区间是(−∞所以a=−4.（2）依题意，f(x)=x由二次函数的性质知，f(x)的对称轴方程为x=−a，开口向上，所以f(x)的单减区间是(−∞因为函数f(x)在区间(−∞所以−a≥4，解得a≤−4，所以实数a的取值范围为−∞5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)=ax2+bx+1（a,b∈R），满足f(−1)=0，且对任意实数x(1)求fx(2)当x∈−12,1【解题思路】（1）根据Δ≤0，结合f(−1)=0（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得.【解答过程】（1）∵f(−1)=0，∴b=a+1.即f(x)=ax因为任意实数x，f(x)≥0恒成立，则a>0且Δ=b2−4a=(a+1)所以f(x)=x（2）因为g(x)=f(x)−kx设ℎ(x)=x2+(2−k)x+1，要使g(x)k−22≥12ℎ(12解得3≤k≤92或−12≤k≤1考点考点4由函数的性质求最值1．（2023春·湖南长沙·高二校考期中）关于“函数fx=x−13x−14，x∈−A．fx有最大、最小值，gB．fx有最大、最小值，gC．fx无最大、最小值，gD．fx无最大、最小值，g【解题思路】画出fx=x−13x−14=1+14−13x−【解答过程】fx=x−画出函数图象如下：函数fx=x−当x∈Z时，此时函数的图象为fx当x≤3且x∈Z时，gx=x−13x−14∈且函数在x≤3且x∈Z上单调递减，在当x≥4且x∈N上时单调递减，故x=3时，gx=x−13x−故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)−2016，且x>0时，f(x)>2016A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【解题思路】先计算得到f(0)=2016，再构造函数g(x)=f(x)−2016，判断g(x)的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x1=x2=0令x1=−x∴f(−x令g(x)=f(x)−2016，则gmax(x)=M−2016，∵g(−x)+g(x)=f(−x)+f(x)−4032=0，∴g(x)是奇函数，∴gmax(x)+∴M+N=4032．故选：C．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x2−ax+2+a，a∈R，若f(x)在区间[−1,1]上的最大值是3，则a的取值范围是【解题思路】先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分x∈(0,1]和x∈(−1,0]两个范围分别证明a≤0时符合题意.【解答过程】由题易知f(0)=2+a≤3，即a≤1，所以f(1)=|3−a|+a=3−a+a=3，又f(−1)=|3+a|+a≤3，所以a≤0.下证a≤0时，f(x)在[−1,1]上最大值为3.当x∈(0,1]时，f(x)=x2−ax+2当x∈[−1,0]，若a2≤−1，即则f(x)若−1<a2≤0此时fa而f(x)因此，a≤0符合题意.故答案为：(−∞,0].4．（2023秋·高一单元测试）已知函数f(x)=mx+11+x(1)求实数m的值，判断函数f(x)在[0,+∞(2)求函数f(x)在[−3,2]上的最大值和最小值．【解题思路】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得m=0，再根据函数单调性的定义可判断函数f(x)在[0,+∞（2）根据函数的奇偶性和单调性，判断f(x)在[−3,2]上的单调性，利用单调性可求得函数最值.【解答过程】（1）若函数f(x)=mx+11+x2是即m(−x)+11+(−x)2所以f(x)=1函数f(x)在0,+∞（2）由（1）知函数f(x)在0,+∞又函数f(x)是R上的偶函数，所以函数f(x)在(−∞,0]所以函数f(x)在[−3,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数．又f(−3)=1所以f(x)5．（2023·全国·高一假期作业）已知函数fx(1)求fx的最小值g(2)求ga【解题思路】（1）根据二次函数的对称性，分类讨论函数的单调性，进而求最小值ga（2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数ga在每段上的最大值从而得出g【解答过程】（1）由题意可得：fx当a≥1时，fx在区间−1,1上单调递减，最小值g当−1<a<1时，fx在区间−1,a上单调递减，在区间a,1上单调递增，最小值g当a≤−1时，fx在区间−1,1上单调递增，最小值g综上所述：ga（2）由（1）可知：当a≥1时，ga=3−2a在1,+∞单调递减，所以g当−1<a<1时，ga=2−a2在区间−1,0上单调递增，在区间0,1上单调递减，所以当a≤−1时，ga=3+2a在−∞,−1单调递增，所以综上所述：ga的最大值g考点考点5由函数的性质比较大小1．（2023·安徽亳州·蒙城校联考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gx在A．ff2>fC．gg2>g【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为fx，gx在0,+∞上单调递减，f所以gx在R上单调递减，fx在对于A，f2>f3对于B，g2>g3对于C，g2>g3，gx在对于D，f2>f3，gx在故选：D.2．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在R上的函数fx满足：f−x+fx=0,f2−x=fA．fB．fC．fD．f【解题思路】根据题意可得函数f(x)是周期为4的函数，且在−1,1内单调递增，在1,3内单调递减，然后利用周期和单调性即可求解.【解答过程】根据题意，函数fx满足f−x+f则有f2−x=−f−x则有fx+4=fx对称轴为x=1，fx在−1,1内单调递增，所以fx在1,3内单调递减，f1.5=f5.5∴f(1.5)>f(2)>f2.7，即f故选：B.3．（2022秋·青海·高三校考阶段练习）定义在R上的偶函数fx满足：fx+2=fx，且在−1,0上单调递减，设a=f−2.8，b=f−1.6，c=f0.5，则a、b【解题思路】利用函数y=fx的周期性和奇偶性得出a=f0.8，b=f0.4，再利用函数y=fx在区间0,1上的单调性可得出a、【解答过程】由于偶函数y=fx在区间−1,0上单调递减，则该函数在区间0,1又fx+2=fx，所以，函数y=f∵a=f−2.8=f−0.8=f0.8因此，b<c<a.故答案为：b<c<a.4．（2023秋·江西南昌·高一校考阶段练习）已知f(x)是R上的奇函数，且对任意的实x，y，当x+y≠0时，都有f(x)+f(y)x+y（1）若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；（2）若存在x∈1,3，使f(x−c)+fx−c【解题思路】（1）先判断f(x)单调性，即可求得答案.（2）由（1）可知：fx在R上单调递增，由f(x−c)+fx−c2>0，可得f(x−c)>f【解答过程】（1）设x1,xf∵x1∴fx∴fx在R∵a>b，∴fa（2）由（1）可知：fx在R∵f(x−c)+fx−f(x−c)>−fx−即f(x−c)>f−x+可得x−c>−x+c故c2∵x∈1,3∴(2x)max可得c2即c2c−2c+3∴−3<c<2.5．（2023秋·四川自贡·高一统考期末）已知定义在0,+∞上的函数fx，满足fmn=fm+f（1）求证：fx在0,+∞（2）判断fm+n2与【解题思路】（1）运用已给条件构造出x2（2）结合条件中的函数法则,对fm+n2与【解答过程】（1）任取x1,x2∈0,+∞且由已知得fx所以fx2−f故fx在0,+∞（2）fm+n2≥理由如下:fm+n2−12fm+fn=1所以f即f因此fm+n2≥考点考点6由函数的单调性、奇偶性解不等式1．（2023秋·江苏扬州·高一期末）已知定义域为R的函数fx在1,+∞单调递减，且f2−x+fx=0，则使得不等式A．−1,2 B．−C．−2,1 D．−【解题思路】利用函数关于点对称公式可得fx关于1,0对称，从而判断得fx在R上单调递减，再将不等式变形为fx【解答过程】因为f2−x+fx=0，所以因为fx在1,+∞单调递减，所以fx又fx=−f2−x所以由fx2−x+f2x所以x2−x>2−2x，即x2+x−2>0，解得所以x的取值范围为−∞故选：D.2．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，若∀x1A．(−∞,−4C．(−∞,−4【解题思路】根据题意可判断函数gx【解答过程】由∀x1,x2∈(0,+∞)记gx=fxx因此gx在−∞,0不等式f(x+3)>2x+6等价于故1>x+3>0或x+3<−1，解得−3<x<−2或x<−4，故不等式的解为−3,−2∪故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数fx在0,+∞上单调递增，且函数fx−1为奇函数，则f3x+4【解题思路】先判断出fx在−【解答过程】∵函数fx−1为奇函数，∴函数fx关于又fx在0,+∴fx在−∞,+∞单调递增，从而f3x+4∴3x+4<x−1，∴2x<−5,∴x<−52,∴故答案为：x∣x<−54．（2023秋·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数fx=ax+bx2(1)求函数fx(2)判断fx(3)解不等式ft−1【解题思路】（1）由条件结合奇函数的性质列方程求a,b即可；（2）利用作差法及单调性的定义证明fx（3）结合奇偶性和单调性的性质化简不等式，解之即可.【解答过程】（1）因为fx是在区间−1,1所以f0=0，即b=0，则因为f12=−25当a=−1时，fx=−x所以对任意的x∈−1,1，f−x=故fx=−x（2）fx=−x任取实数x1,x2∈因为−1<x1<x2<1，所以又x12所以fx2−f故函数fx=−x（3）因为fx所以不等式ft−1+ft又因为fx在−1,1所以−1<t−1<1−1<t<1t−1>−t，解得0<t<2−1<t<1所以原不等式的解集为t15．（2023·高一课时练习）定义在−1,1上的函数fx满足对任意的x,y∈−1,1，都有fx(1)求证：函数fx(2)判断fx在−1,1(3)解不等式fx−1【解题思路】（1）通过赋值，得f0（2）根据条件f0=0，以及条件x∈0,1（3）首先利用函数是奇函数，变形不等式fx−1【解答过程】（1）解：令x=y=0，得f0+f0任取x∈−1,1，则−x∈fx即f−x=−fx，所以f（2）判断函数fx在−1,1任取x1,x则fx因为−1<x1<x2所以1−x1x所以0<x2−即fx2−f所以函数fx在区间−1,1（3）解：fx−1+fx因为函数单调递减，所以需满足−1<x−1<1−1<x<1x−1>−x，解得：所以不等式的解集为x1考点考点7利用函数的性质研究恒成立问题1．（2023·高一课时练习）设fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx=x2，若对任意的x∈t,t+2，不等式A．2,+∞ B．2,+∞ C．0,【解题思路】根据函数的奇偶性易得当x<0时，fx=−x2，进而可得2fx=f2【解答过程】∵fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f∴当x<0时，fx所以2fx所以对任意的x∈t,t+2，有f因为fx在R∴x+t≥2x，即∴t≥2解得t≥2故选：A.2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx+x2是奇函数，fx−x是偶函数，设函数gA．133 B．174 C．92【解题思路】由fx+x2是奇函数，fx−x是偶函数，求出【解答过程】因为fx+x所以f−x+−x由gx当x∈1,2时，则x−1∈0,1，所以同理：当x∈2,3时，g以此类推，可以得到gx由此可得，当x∈4,5时，g由gx≤3，得16x−45−x≤3又因为对任意的x∈0,m，g所以0<m≤174，所以实数m的最大值为故选：B.3．（2023秋·陕西西安·高一校考期末）已知函数y=fx是定义在[−1,1]上的奇函数，且f1=1，若m,n∈[−1,1],m+n≠0时，f(m)+f(n)m+n>0,不等式fx【解题思路】可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得f(x)在[−1,1]上单调递增，所以f(x)在[-1，1]上最大值是f(1)=1，问题可转化为t2−2at−2≥1对于所有的a∈−1,1恒成立，令g(a)=−2ta+【解答过程】因为f(x)为奇函数且m，n∈[−1,1]，m+n≠0，所以f(m)+f(n)m+n所以f(x)在[−1,1]上单调递增，所以f(x)又因为f(x)≤t2−2at−2所以f(x)max≤即t2−2at−2≥1对于所有的即t2−2at−3≥0对于所有的令g(a)=−2ta+t所以只需满足g(−1)≥0g(1)≥0解得t≤−3或t≥3．故答案为：(−∞4．（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）已知函数fx=x+a(1)a>0时，求fa，f(2)若a=1，用定义证明函数fx在区间1,+(3)若不等式fx≥a在2,+∞【解题思路】（1）代入计算可得答案；（2）用定义直接证明即可；（3）a≤0时，利用fx在2,+∞上单调性可得a≤0；当a>0时结合fx【解答过程】（1）a>0时，faff（2）若a=1，fx=x+1所以fx因为x1>x2>1，所以x所以fx1>fx2（3）当a≤0时，fx=x+a若不等式fx≥a在2,+∞上恒成立，可得f当a>0时，由x>0可得fx=x+ax≥2所以fx在x∈0,afx在x>0当2∈0,a即a>4时，若不等式fx≥a在解得0<a≤4，与a>4矛盾，故不成立；当a≤2即0<a≤4时，若不等式fx≥a在2,+解得a≤4，可得0<a≤4时成立；综上所述，a≤4.

5．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）已知fx=ax2+bx+c4+(1)求fx(2)判断函数fx在−2,2上的单调性（不用证明），并求使f2t+1+f(3)设函数g(x)=x2−2mx+4(m∈R)，若对任意x【解题思路】（1）确定函数为奇函数，f0=0，f1（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到−2≤2t+1≤2−2≤（3）只要g(x2)max【解答过程】（1）x∈−2,2，且fx+f将x=0代入fx+f−x=0可得f0即fx=ax2+bx4+解得a=0b=1，故ffx=x4+x（2）设−2≤x1<∵−2≤x1<x2≤2，故函数fx=x4+x所以f2t+1+ft根据单调性及定义域可得：−2≤2t+1≤2−2≤t2−1≤22t+1<1−（3）只要g(x2)max<f(法一：g(x)=x2−2mx+4<15y=x+195x在1,95当x=1时，x+195x=245故当x=1时，x+195xmax法二：g(x)=x2−2mx+4=当m≤32时，g(x)max=g(2)<当m>32时，g(x)max=g(1)<15综上所述：m>12考点考点8利用函数的性质研究有解问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数