高考数学一轮题型归纳与解题策略考点04一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类(原卷版+解析)

考点04一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类考点一解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式（二）解含参数的一元二次不等式考点二解其他不等式（一）指数不等式（二）对数不等式（三）分式不等式（四）根式不等式（五）绝对值不等式（六）高次不等式考点三由一元二次不等式的解确定参数考点四一元二次不等式的恒成立（有解）问题（一）一元二次不等式在R上的恒成立问题（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题（三）给定参数范围求范围的恒成立问题（四）一元二次不等式在某区间有解问题考点五一元二次方程根的分布问题考点六一元二次不等式的实际应用1.一元二次不等式的解法①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.2.解一元二次不等式的方法和步骤3.解含参数的一元二次不等式的步骤4.指对数不等式解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当时,;②当时,;(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.5．简单分式不等式（1）；（2）（3）；（4）求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.注：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．6.绝对值不等式绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)(4)；；(5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.7.高次不等式高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：（2）标根∶将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了n+1个区间。（3）画穿根线∶由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。（4）写出解集∶如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为的解集。8.无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．9.由一元二次不等式的解确定参数（1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．（2）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．（3）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．（4）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．10.一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.11.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.具体如下：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立注：①。②12.给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．13.一元二次方程的根的分布问题解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.考点一解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式1．（2023·全国·模拟预测）设集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．（3,4） C． D．2．（2023·安徽合肥·二模）若集合，则（

）．A． B． C． D．3．（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（

）A． B． C．8 D．6（二）解含参数的一元二次不等式4．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式5．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：．6．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．8．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．9．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.11．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，解关于x的不等式；12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．13．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.14．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________.考点二解其他不等式（一）指数不等式15．（2023·浙江宁波·统考二模）若集合，，则（

）A． B． C． D．16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．17．（2023·全国·高三专题练习）设全集为，集合，则（

）A． B．C．或 D．（二）对数不等式18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．19．（2023·全国·模拟预测）若集合，，则（

）A． B．C． D．20．（2023·江西鹰潭·二模）设集合，集合，则（

）A． B． C． D．21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则（

）A． B． C． D．（三）分式不等式23．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集是_____.24．（2023·安徽·校联考三模）已知集合，，则集合的非空真子集的个数为（

）A．14 B．15 C．30 D．6225．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.26．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则________．27．（2023·上海·统考模拟预测）不等式的解集是__________.（四）根式不等式28．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知集合，则（

）A． B．C． D．29．（2023·全国·高三对口高考）不等式的解集为________30．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．（五）绝对值不等式31．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．32．（2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．33．（2023·上海浦东新·统考二模）已知，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．34．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知．(1)若，求的取值范围；(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围．35．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数，．(1)若，求不等式的解集；(2)已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．（六）高次不等式36．（2023·全国·高三专题练习）解不等式：37．（2023·全国·高三专题练习）不等式的的解集是______38．（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式(1)(2)(3)(4)(5)39．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）不等式的解集为______.40．（2022秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）不等式的解集为____________．考点三由一元二次不等式的解确定参数41．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．42．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或43．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为44．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的的解集是，则（

）A．B．C．关于的不等式的解集是D．的最小值是45．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．46．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（

）A．B．C．若关于x的不等式的解集为，则D．若关于x的不等式的解集为，且，则47．（2023·全国·高三对口高考）关于的不等式的解集为，且，则________．48．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（

）A．9 B．8 C．6 D．450．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（

）A． B．C． D．考点四一元二次不等式的恒成立（有解）问题一元二次不等式在R上的恒成立问题51．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是（

）．A． B．C． D．52．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．53．（2023·山东潍坊·统考一模）“”是“，成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件54．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或55．【多选】（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．56．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．57．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．58．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(

)A． B．C． D．（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题60．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.61．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式；(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．62．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．63．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．（三）给定参数范围求范围的恒成立问题64．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.65．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．66．（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒成立，则实数x的取值范围是___________．67．（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．68．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．（四）一元二次不等式在某区间有解问题69．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．70．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．71．（2023·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．72．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（

）A． B．C．） D．73．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．考点五一元二次方程根的分布问题74．（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（

）A．B． C． D．75．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．76．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．77．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．78．（2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．79．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（

）A．-2 B． C． D．180．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}81．（2023·全国·高三专题练习）为何值时，关于的方程的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.82．（2023·高三课时练习）设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根．若与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．83．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是__________．考点六一元二次不等式的实际应用84．（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．85．（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．86．（2023·全国·高三专题练习）某地每年销售木材约20万，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．87．（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？考点04一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类考点一解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式（二）解含参数的一元二次不等式考点二解其他不等式（一）指数不等式（二）对数不等式（三）分式不等式（四）根式不等式（五）绝对值不等式（六）高次不等式考点三由一元二次不等式的解确定参数考点四一元二次不等式的恒成立（有解）问题（一）一元二次不等式在R上的恒成立问题（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题（三）给定参数范围求范围的恒成立问题（四）一元二次不等式在某区间有解问题考点五一元二次方程根的分布问题考点六一元二次不等式的实际应用1.一元二次不等式的解法①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.2.解一元二次不等式的方法和步骤3.解含参数的一元二次不等式的步骤4.指对数不等式解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当时,;②当时,;(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.5．简单分式不等式（1）；（2）（3）；（4）求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.注：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．6.绝对值不等式绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)(4)；；(5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.7.高次不等式高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：（2）标根∶将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了n+1个区间。（3）画穿根线∶由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。（4）写出解集∶如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为的解集。8.无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．9.由一元二次不等式的解确定参数（1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．（2）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．（3）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．（4）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．10.一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.11.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.具体如下：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立注：①。②12.给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．13.一元二次方程的根的分布问题解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.考点一解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式1．（2023·全国·模拟预测）设集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．（3,4） C． D．【答案】B【分析】根据集合的包含关系列出关于a的不等式组即可.【详解】由已知可得，集合，，因为，所以，（注意端点值是否能取到），解得，故选：B．2．（2023·安徽合肥·二模）若集合，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次不等式求解集合，再利用集合的并集运算知识即可求出的值.【详解】，.故选：C.3．（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（

）A． B． C．8 D．6【答案】C【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可.【详解】由，可得或，即或，而，∵，∴，可得.故选：C（二）解含参数的一元二次不等式4．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式【答案】答案见解析【分析】讨论大小关系求一元二次不等式的解集.【详解】由，可得或，则：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；5．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：．【答案】答案见解析.【分析】对分三种情况讨论得解.【详解】由得或.当，即时，不等式解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为．综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为．6．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．【答案】【分析】根据原不等式中参数的范围判断其对应一元二次方程根的大小，进而确定不等式的解集即可.【详解】依题意，且，所以，且，解得，所以原不等式的解集为．7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．【答案】答案见解析【分析】讨论参数a，结合一元二次不等式的解法求解集即可.【详解】当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，若，即时，解集为或；若，即时，解集为；若，即时，解集为或；综上，解集为；解集为；解集为或；解集为；解集为或.8．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．【答案】答案见解析【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论符号求解集即可.【详解】由对应函数开口向上，且，当，即时，恒成立，原不等式解集为；当，即或时，由，可得，所以原不等式解集为；综上，解集为；或解集为.9．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．【答案】见解析【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.【详解】方程：且解得方程两根：；当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：综上所述,当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.【答案】答案见解析【分析】（1）对分五种情况讨论得解；（2）对分五种情况讨论得解；（3）对分五种情况讨论得解；（4）对分三种情况讨论得解；（5）对分六种情况讨论得解；（6）对分五种情况讨论得解；（7）对分四种情况讨论得解.【详解】（1）当时，不等式为，解集为；时，不等式分解因式可得当时，故，此时解集为；当时，，故此时解集为；当时，可化为，又解集为；当时，可化为，又解集为.综上有，时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为（2）把化简得，①当时，不等式的解为②当，即，得，此时，不等式的解为或③当，即，得或，当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为，④当，得，此时，，解得且，综上所述，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为且，当时，不等式的解为或，（3），，①时，，可得；②时，可得若，解可得，或；若，则可得，当即时，解集为，；当即时，解集为，；当即时，解集为.（4）不等式可化为.①当时，，解集为，或；②当时，，解集为；③当时，，解集为，或.综上所述，当时，原不等式的解集为，或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，或.（5）当时，不等式即，解得.当时，对于方程，令，解得或；令，解得或；令，解得或，方程的两根为.综上可得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（6）原不等式可变形为.①当时，则有，即，解得；②当时，，解原不等式得或；③当时，.（i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解；（ii）当时，即当时，解原不等式得；（iii）当时，即当时，解原不等式可得.综上所述：①当时，原不等式的解集为；②当时，原不等式的解集为；③当时，原不等式的解集为；④当时，原不等式的解集为；⑤当时，原不等式的解集为.（7）（1）当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}.（2）当a>0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2.①当0<a<1时，>2，所以原不等式的解集为或；②当a=1时，=2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为或.（3）当a<0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2，则<2，所以原不等式的解集为.综上，a<0时，原不等式的解集为；a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；0<a≤1时，原不等式的解集为或；当a>1时，原不等式的解集为或.11．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，解关于x的不等式；【答案】答案见解析【分析】根据题意求出，用把表示出来，然后对分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得出答案.【详解】解：因为，所以，又因，所以，所以，则不等式即为，即，若，则不等式的解集为；若，则不等式的解集为；若，当时，则不等式的解集为；当时，则不等式的解集为；当时，则不等式的解集为；12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果.【详解】由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要条件，，当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，若，则需；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.13．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.【答案】【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出的取值范围【详解】不等式等价于.令，解得或.当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则；当时，不等式无解，所以不符合题意；当时，不等式的解集为，则.综上，的取值范围是.故答案为：14．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________.【答案】【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解.【详解】由题意，，①若，则不等式的解为：，因为不等式的解集中恰有3个整数，所以；②若，则不等式无解，不满足题意；③若，则不等式的解为：，因为不等式的解集中恰有3个整数，所以.综上所述，实数的取值范围为.故答案为：.考点二解其他不等式（一）指数不等式15．（2023·浙江宁波·统考二模）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解绝对值不等式求出集合、再解指数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由可得，解得，所以，由，可得，所以，即，所以.故选：B16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次不等式和指数不等式解法可得集合，，再根据交集、补集运算即可得出结果.【详解】由可得集合，根据指数函数单调性可得，即，所以；因此；根据交集运算可得故选：C17．（2023·全国·高三专题练习）设全集为，集合，则（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】根据指数函数的性质求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据并集、补集的定义计算可得.【详解】解：由，即，所以，解得，所以，由，即，解得，所以，所以，所以；故选：B（二）对数不等式18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求出集合，根据集合的交集运算可得答案.【详解】由题可得，故，解可得，则,故，故选：C19．（2023·全国·模拟预测）若集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由绝对值不等式及对数不等式求两个集合，在用交集运算即可.【详解】由题意得或，，所以．故选：C．20．（2023·江西鹰潭·二模）设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次不等式与对数不等式分别求解集合，再求交集即可.【详解】，，故.故选：B21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用对数不等式的解法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】由，得，即，于是有，解得，因为“”不能推出“”，故充分性不成立；因为“”能推出“”，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.22．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得集合，计算.【详解】由，解得且，故集合且，由，解得，所以，所以．故选：C（三）分式不等式23．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集是_____.【答案】（﹣1，2）【分析】根据分式的运算性质，结合一元二次不等式的解集性质进行求解即可.【详解】，故答案为：（﹣1，2）24．（2023·安徽·校联考三模）已知集合，，则集合的非空真子集的个数为（

）A．14 B．15 C．30 D．62【答案】D【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由集合B中元素的条件得到集合B，再求集合，由集合中元素的个数，判断非空真子集的个数.【详解】不等式解得，由，得集合，则集合，所以集合，集合中有6个元素，所以集合的非空真子集的个数为．故选：D．25．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.【答案】【分析】根据分式不等式的解法，即可得到结果.【详解】因为，即，解得，所以不等式的解集为故答案为:26．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则________．【答案】【分析】根据分式不等式的解法求解即可.【详解】解：原不等式等价于，化简得，所以，又等价于，解得：所以，故答案为：．27．（2023·上海·统考模拟预测）不等式的解集是__________.【答案】或【分析】分别在，，时去分母，化简不等式求其解.【详解】因为，所以当时，，解得，所以，当时，，解得，所以，当时，，解得，满足条件的不存在，所以不等式的解集是或，故答案为：或.（四）根式不等式28．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别解一元二次不等式与根式型不等式，两个集合取并集即可.【详解】由题意知，，，∴故选：A.29．（2023·全国·高三对口高考）不等式的解集为________【答案】【分析】通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可．【详解】由得，解得，所以解集是．【点睛】本题主要考查无理不等式的解法．30．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用无理不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由，得，解得或，所以或，所以或.故选：B.（五）绝对值不等式31．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出集合、、，再求交集可得答案.【详解】因为，所以，又因为，所以.故选：D.32．（2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由，得，所以，不等式的解集为，所以，所以或，所以；故选：A.33．（2023·上海浦东新·统考二模）已知，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．【答案】B【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案.【详解】解，当时，即，则，此时解集为，当时，即，则，此时解集为，当时，即，则，此时解集为，故“”成立时，等价于；当“”成立时，等价于，故成立时，不一定推出成立，反之成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B34．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知．(1)若，求的取值范围；(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）由可得，分类讨论，，三种情况，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解即可；（2）根据题意得到，从而得到关于的二次不等式，再由一元二次不等式解法，即可求出结果.【详解】（1）由可得，当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，显然不成立；当时，原不等式可化为，解得；所以的取值范围为或；（2）因为，当且仅当时等号成立，所以由不等式的解集为，可得，解得．故实数的取值范围是．35．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数，．(1)若，求不等式的解集；(2)已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分类讨论去绝对值，即可得到本题答案；（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，然后结合基本不等式，即可得到本题答案.【详解】（1）解：当时，，因为，当时，即，；当时，即，；当时，即，，综上可得不等式的解集为（2）解：，当且仅当时取等号，，又，且，，当且仅当，即，时等号成立，所以根据题意可得，解得或，的取值范围是．（六）高次不等式36．（2023·全国·高三专题练习）解不等式：【答案】或【分析】由“数轴穿根法”即可求得答案.【详解】不等式可化为，如图于是，该不等式的解集为：或.37．（2023·全国·高三专题练习）不等式的的解集是______【答案】：【详解】：则或【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法38．（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式(1)(2)(3)(4)(5)【答案】(1)或(2)(3)或或(4)或(5)或【分析】（1）（2）把分式不等式转化为一元二次不等式直接求解；（3）（4）（5）利用“穿针引线法”解高次不等式.【详解】（1）可化为，解得：或，所以原不等式的解集为：或.（2）可化为，解得：，所以原不等式的解集为：.（3）对于不等式，用“穿针引线法”如图示：所以原不等式的解集为：或或.（4）对于不等式，可化为用“穿针引线法”如图示：所以原不等式的解集为：或.（5）可化为：，用“穿针引线法”如图示：所以原不等式的解集为：或.39．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）不等式的解集为______.【答案】【分析】将不等式变形为，利用数轴标根法得到不等式的解集.【详解】解：不等式，即，方程的根有（2重根），，，，（2重根），按照数轴标根法可得不等式的解集为.故答案为：40．（2022秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）不等式的解集为____________．【答案】【分析】由高次不等式奇穿偶回的性质即可求解.【详解】因为，所以，即，由高次不等式的性质可知：不等式解集为：故答案为：考点三由一元二次不等式的解确定参数41．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系，得到的关系，代入不等式化简求解.【详解】的解集是，，得，则不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.故选：D42．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】由题意知1和3为方程的两个根，由韦达定理可得，，且，则不等式等价于，即，由此即可写出答案.【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，所以1和3为方程的两个根，由韦达定理有：，所以，，且，则，等价于，即，故不等式的解集为.故选：C.43．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为【答案】B【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为.所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；不等式为，所以选项D错误.故选：B44．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的的解集是，则（

）A．B．C．关于的不等式的解集是D．的最小值是【答案】AB【分析】由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系，结合韦达定理可求得，，，由此可确定AB正确；结合一元二次不等式的解法可知C错误；将化为，根据对勾函数单调性可确定，知D错误.【详解】对于A，的解集为，，且和是方程的两根，A正确；对于B，由A得：，，，，B正确；对于C，由得：，即，解得：，即不等式的解集为，C错误；对于D，，，在上单调递增，，D错误.故选：AB.45．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.46．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（

）A．B．C．若关于x的不等式的解集为，则D．若关于x的不等式的解集为，且，则【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.【详解】由题意，所以正确;对于:，当且仅当，即时成立,所以正确;对于,由韦达定理，可知，所以错误;对于,由韦达定理，可知，则，解得，所以正确,故选：.47．（2023·全国·高三对口高考）关于的不等式的解集为，且，则________．【答案】/【分析】先解二次不等式得到关于的表达式，再代入即可求得值.【详解】因为由，得，解得，所以，，所以，所以．故答案为：.48．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】根据题意结合指数函数性质判断出，，且的解集为，根据一元二次不等式和相应方程的关系可得，结合b的范围，即可求得答案.【详解】由题意知若，即，∴，∴当时，；当时，，∵的解集为，∴，，且的解集为，∴与是的两根，故，∴，又，∴，又，∴，故答案为：49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（

）A．9 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】利用一元二次函数、一元二次不等式以及韦达定理进行求解.【详解】∵函数（）的最小值为0，∴，∴，∴函数，其图像的对称轴为．∵不等式的解集为，∴方程的根为m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C错误.故选：D．50．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.【详解】由题可得和是方程的两个根，且，，解得，则，则函数图象开口向下，与轴交于.故选：C.考点四一元二次不等式的恒成立（有解）问题一元二次不等式在R上的恒成立问题51．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可得，解一元二次不等式可得答案.【详解】由题意关于x的不等式的解集为，则，解得，即实数a的取值范围是，故选：A52．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可.【详解】解：原不等式可化为对恒成立．（1）当时，若不等式对恒成立，只需，解得；（2）当时，若该二次不等式恒成立，只需，解得，所以；综上：.故答案为：53．（2023·山东潍坊·统考一模）“”是“，成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由不等式恒成立，可求得，即可得出答案.【详解】因为，成立，则，即.所以，“”是“，成立”的充分不必要条件.故选：A.54．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】对进行分类讨论，当时不等式恒成立，时不等式恒成立，需要时且，可求得的范围．【详解】当时，不等式化为恒成立，当时，要使不等式恒成立，需，解得，综上可得，不等式对任意恒成立，则的取值范围是．故选：A．55．【多选】（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先求得命题“”为真命题时的取值范围，然后根据充分不必要条件的知识确定正确答案.【详解】因为为真命题，所以或，所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，所以是命题“”为真命题充要条件，B错，所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，故选：AC56．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，若，即或，当时，不等式为，恒成立，满足题意；当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；当时，则需要满足，即，解得，综上所述，的范围是，故选：B.57．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．【答案】【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得，再利用基本不等式，即可求解.【详解】当时，不等式对不恒成立，不符合题意（舍去）；当时，要使得对恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围为.因为，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故答案为：；.58．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或【答案】A【分析】根据题意可得，从而即可求出的取值范围.【详解】∵不等式的解集为空集，∴，∴.故选：A.59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图像性质即可求出k的取值范围.【详解】的图象都在轴上方，①时，k＝－5或k＝1，k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；k＝1时，y＝3满足条件；故k＝1；②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数，则，解得；综上，.故选：A.一元二次不等式在某区间上的恒成立问题60．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.【答案】【分析】假命题的否定为真命题，转化为恒成立问题，再利用分离参数法处理.【详解】由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则.故答案为：.61．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式；(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；（2），对，与分类讨论，可分别求得其解集（3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．【详解】（1）根据题意，当，即时，，不合题意；当，即时，的解集为R，即的解集为R，即，故时，或.故．（2），即，即，当，即时，解集为；当，即时，，，解集为或；当，即时，，，解集为．综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或.（3），即，恒成立，，设则，，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，当时，，．【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.62．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【详解】，而当时，，当且仅当，即时取等号，则，所以m的取值范围是.故选：C63．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数为开口向上的二次函数，要使任意，都有恒成立,只需.即可求出答案.【详解】由题可得对于恒成立，即解得:.故选：B.（三）给定参数范围求范围的恒成立问题64．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.【答案】【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解.【详解】可转化为.设，则是关于m的一次型函数.要使恒成立，只需，解得.故答案为：65．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将化为，将看成主元，令，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】解：恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.66．（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒成立，则实数x的取值范围是___________．【答案】【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可.【详解】令，当时，恒成立，只需即解得或．所以实数x的取值范围是．故答案为：67．（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．【答案】【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围.【详解】由题意，因为当，不等式恒成立，可转化为关于a的函数，则对任意恒成立，则满足，解得，即x的取值范围为．故答案为：68．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C（四）一元二次不等式在某区间有解问题69．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；②当时，为开口方向向上的二次函数，只需，即；③当时，为开口方向向下的二次函数，则必存在实数，使得成立；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.70．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围．【详解】因为关于的不等式在区间上有解，所以在区间上有解，设，，其中在区间上单调递减，所以有最小值为，所以实数的取值范围是．故选：C．71．（2023·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据题意，，使关于的不等式成立，则，即，，再结合对勾函数找到最大值即可求出实数的取值范围．【详解】解：，使关于的不等式成立，则，即，，令，，则对勾函数在上单调递增，所以，故故答案为：72．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（

）A． B．C．） D．【答案】D【分析】利用一元二次函数、方程、不等式的关系，利用判别式控制条件，即得解【详解】由题意，命题“，”是真命题故，解得或.则实数的取值范围是故选：D.73．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①当时，即，若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；若时，原不等式为，无解，不符合题意；②当时，即，若的解集是空集，则有，解得，则当不等式的解集不为空集时，有或且，综合可得：实数的取值范围为；故选：C．考点五一元二次方程根的分布问题74．（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解.【详解】方程对应的二次函数设为：因为方程恰有一根属于，则需要满足：①，，解得：；②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，，解得，经检验，当时满足方程恰有一根在区间(0,1)内;综上：实数m的取值范围为故选：D75．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．【答案】【分析】令，即可得到，依题意可得，解得即可；【详解】解：令，图象恒过点，方程0在区间内有两个不同的根，，解得.故答案为：76．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】讨论a，确定，则可将化为，令，结合二次函数知识可得，即可求得答案.【详解】当时，即为，不符合题意；故，即为，令，由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，故时，，