辽宁省抚顺市2025届高三数学第一次模拟考试试题文（含解析）

辽宁省抚顺市2025届高三第一次模拟考试

数学(文)试题

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)

3

1.已知复数2=;―不(i是虚数单位)，贝！]，=()

1—2.1

36.36.

A—H—iB—i

・5555

【答案】B

【解析】

分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z,再由共轨复数的概念得答案.

33(1+2i)36,

详解:Z=--------------------------=-4-—i

l-2i(l-2i)(l+2i)55

36,

———i.

55

故选：B.

点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

2.已知集合4={久eZ[0<x<4},B=[x\(x+l)(x-2)<0},则4cB=()

A.(0,2)B.(-1,2)C.{0,1}D.{1}

【答案】D

【解析】

【分析】

先分别求出集合4B,在依据集合的交集的运算，即可得到ACB,得到答案.

[详解】由题意，集合4={xeZ|0<x<4}={1,2,3},

B={x|(x+l)(x-2)<0}={x|-1<x<2},

所以ACB={1}.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，以及集合的表示与运算，其中解答中正确求解

集合48,再依据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基

础题.

3.在等差数列{册}中，前“项和S”满意S9—§2=35,则。6的值是

A.5B.7C.9D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

依据等差数列性质求。6的值.

【详解】因为Sg-S2=35,所以+。6+。7+。8+。9=35,即7a6=35,。6=5,选

A.

【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解实力，属基础题.

4.军训时，甲、乙两名同学进行射击竞赛，共竞赛10场，每场竞赛各射击四次，且用每场击

中环数之和作为该场竞赛的成果.数学老师将甲、乙两名同学的10场竞赛成果绘成如图所示

的茎叶图，并给出下列4个结论：(1)甲的平均成果比乙的平均成果高；(2)甲的成果的极

差是29；(3)乙的成果的众数是21；(4)乙的成果的中位数是18.则这4个结论中，正确结

论的个数为

甲乙

809

32113489

76542020113

73

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

依据茎叶图估计平均数、极差、众数以及中位数，即可推断选项.

【详解】依据茎叶图知甲的平均成果大约二十几，乙的平均成果大约十几，因此(1)对；

甲的成果的极差是37-8=29,(2)对；乙的成果的众数是21,(3)对；乙的成果的中位数是

18j19=18.5.(4)错，选C.

点睛】本题考查茎叶图以及平均数、极差、众数、中位数等概念，考查基本分析推断与求解

实力，属基础题.

5.已知向量2=(1,2促)，曲=1,向量£与石的夹角为120。，则M+M的值为()

A.相B."C.7D.13

【答案】B

【解析】

分析】

依据向量的模与向量的数量积的运算，求得向+年，进而得到血+瓦的值，得到答案.

【详解】由题意，可知W=(1,2病，.•.向=也2+0沟2=3.

/.\a+b\2=(a+by=|a|z+\b\2+2a-b=9+1+2•|a|•|B|-cosl20°=10+2x3xlxI--j=7

\a+b\=J7.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了两个向量和的模的值，其中解答中熟记向量的模的运算，以及向量

的数量积的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

(X+2y-240

6.实数久，y满意约束条件|无-y+120,则z=2x-y的最小值是()

(%—2y—2<0

A.5B.4C.-5D.-6

【答案】C

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解

的坐标代入目标函数，即可得到答案.

(X+2y-240

【详解】由题意，作出约束条件久-y+120,所表示的平面区域，如图所示，

(%—2y—2<0

由目标函数z=2x-y,可得直线y=2%-z,由图可知，当直线y=2%-z过/时，直线在y轴上的

截距最大，Z有最小值，

联立能聚之/解得4(+3),

所以目标函数的最小值为Zmin=2X(一4)一(-3)=-5,

故选：C.

【点睛】本题主要考查简洁线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式

组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重

考查了数形结合思想，及推理与计算实力，属于基础题.

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积.

【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示,

故几何体的体积为|x2^=4.

故选：B.

2

【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，依据三视图推断几何体的形态是解题的关

键，属于中档题.

8.执行如图的程序框图，则输出的S的值是（）

A.30B.126C.62D.-126

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的

运行过程，分析循环中各变量值的改变状况，即可得到答案.

【详解】由题意，模拟程序的运行，可得S=0,i=l

满意条件iW5,执行循环体，S=2,i=2

满意条件iW5,执行循环体，S=6,i=3

满意条件i<5,执行循环体，S=14,i=4

满意条件i<5,执行循环体，S=30,i=5

满意条件iW5,执行循环体，S=62,i=6

此时，不满意条件iW5,退出循环，输出S的值为62.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，其中解答中应模拟程序框图的运行过程，逐

次循环计算，依据推断框的条件，终止循环得出输出的结果是解答的关键，着重考查了运算

与求解实力，属于基础题.

9.学校依据课程安排拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在

小芳和小敏都已经报名参与此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率

为

1113

A.—B.—C.-D.—

4234

【答案】B

【解析】

【分析】

依据古典概型概率公式求结果.

【详解】小芳和小敏报名方法共有2x2=4种，其中两人选择的恰好是同一研学旅行主题的有

21

2种，因此所求概率为了=三，选B.

【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解实力，属基础题.

10.在三棱锥P-4BC中，已知PA=4B=4C,NBZC=NP4C,点D,E分别为棱BC,PC的中点,

则下列结论正确的是（）

A.直线DEJ.直线ADB.直线DEJ.直线24

C,直线DEJ.直线4BD.直线DEJ.直线AC

【答案】D

【解析】

【分析】

画出图形，取PB中点G,连接4G,CG,证明PB_L平面C4G,则PBJ.4C,再由D,E分别为棱BC,

PC的中点，可得DE//PB,从而得到DE_LAC.

【详解】由题意，如图所示，因为P4=AB=4C,ABAC=Z.PAC,

APAC三ABAC,得PC=BC,取PB中点G,连接4G,CG,

贝UPB1CG,PBLAG,

又：AGcCG=G,；.PBJ.平面C4G,贝（JPB1AC,

；D,E分别为棱BC,PC的中点，

：.DE//PB,贝!|DE1AC.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的

判定与应用，其中解答中正确驾驭空间几何体的结构特征，以及熟记线面位置关系的判定定

理与性质定理是解答额关键，着重考查空间想象实力与思维实力，属于中档题.

11.已知斜率为-1的直线过抛物线丫2=2「久伊＞0）的焦点，且与该抛物线交于4B两点，若线

段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为（）

A.x-2B.x—1C.x——2D.x——1

【答案】D

【解析】

【分析】

由直线AB的方程和抛物线方程联立，利用韦达定理，列出方程，求得p=2,进而得到其准线

方程，得到答案.

【详解】由题意，直线4B:y=-久+（并代入y2=2px并整理得：y2+2py_p2=（）,

设贻”力）,B（尤2，%），

y+y

贝01+力=-2p,/d_?=_2=_2,解得p=2.

所以该抛物线的准线方程为X=-(=-1,故选D。

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线方程和抛物线

方程联立，合理利用根与系数的关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解

实力，属于基础题.

12.若函数/■(无)=他说—必有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()

A.(0,+8)B.(0,1]C.[-1,0)D.(-oo,0)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用参数分别法，然后构造函数九(乃，求函数的导数，探讨函数的单调性和极值，利用数形结

合进行求解即可.

【详解】由题意，函数的定义域为{%|久>0},

322

又由/⑶=xlnx—x+x—ax=0，得Q=lnx—x+x，

则等价为方程a=lnx-x2+x,在(0,+8)上有两个不同的根，

设九(乃=lwc—x24-x,

I1—2无2+无+1

h(x)=—2x+1=-----------，

xx

,1

由>0得一2/4-x+1>0得2%2—工—1<0，得一万〈冗<1,

此时OV%V1,函数。%)为增函数,

h(x)<0得一27+第+1<0得2——工―1>0，得九<一]或%>1,

此时刀>1,函数九(乃为减函数，

即当％=1时，函数九(久)取得极大值，极大值h(l)=lnl-1+1=0,

要使a=7工――+工，有两个根，贝!Ja<0即可，

故实数a的取值范围是(-8,0),

故选：D.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用参数分别法，构造新函数，利

用导数探讨函数的单调性和极值，以及利用数形结合是解决本题的关键，着重考查了数形结

合思想，以及运算与求解实力，属于中档试题.

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

1

13.已知函数/'(>)是奇函数，且当x<0时/'(%)=(2)。则63)的值是.

【答案】-8

【解析】

【分析】

先求f(-3),再依据奇函数性质得八3).

【详解】因为/(-3)=(}-3=8,又函数/'(>)是奇函数，所以★3)=-/(-3)=-8.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数值，考查基本分析求解实力，属基础题.

33

14.^sm(a--TT)=则cos2a的值是.

7

【答案】三

【解析】

【分析】

先依据诱导公式化简sin(a-|允)，再依据二倍角余弦公式求结果.

【详解】因为sin(a-：兀)=cosa,所以cosa=:，

因此cos2a=2cos2a-1=2x3j2-1=--7.

【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解实力，属基础题.

Xv

15.在平面直角坐标系％Oy中，过%轴上的点P作双曲线1（。＞0力＞0）的一条渐近线的

ao

垂线，垂足为M,若。"=#,PM=#,则双曲线C的离心率的值是.

【答案】赵

2

【解析】

【分析】

由题意可得"倒=生再依据e=£=广誓=1+C即可求出，得到答案.

a0M2.aiaJa

y2b

【详解】由题意，双曲线c：二一-^=1（。＞08＞0）的一条渐近线丫=一支，

a2b2a

,：0M=业,PM=V3,且PM_L渐近线y=纥，

a

.b_PM_商_®,p+b2_ry_rj_^

a0M很2aJa?Ja2」22

故答案为：色

2

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质一一离心率的求解，其中依据条件转化为圆锥曲线的

离心率的方程是解答的关键.求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a,c,代入公式e=9；②只须要依据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次

a

式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e（e的取值范围）.

16.各项为正数的等比数列｛%｝中，。2与%0的等比中项为g,则I。93a4+I。93a8=.

【答案】-1

【解析】

由题设。2%0=:，又因为a2a10=。4a8，所以2093a4+，。93a8=4a8）=1。%）=应填

答案-1。

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知a,b,c分别是AABC的三个内角4B,C的对边，若a=10,角B是最小的内角，且

3c=4asinB+3bcosA.

(I)求sinB的值；

(II)若c=14,求b的值.

3

【答案】(I)-(II)b=6^/2

【解析】

【分析】

(I)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin4>0,整理可得

3cosB=4sinB,依据sinB>0,利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值.

71

(II)由角B是最小的内角，可求利用同角三角函数基本关系式可求cos9的值，依

据余弦定理即可计算得解b的值.

【详解】(I)由3c=+3bcos4且4+3+C=冗，

由正弦定理得：3sEC=AsinAsinB+3sinBcosA,

即3s出(4+B)=4sinAsinB+3sinBcosA,

由于>0,整理可得3cosB=4sinB,

3

又sEB>0,所以5出8=1

71

(ID因为角B是最小的内角，所以

34

又由(I)知5讥8所以cosB=g,

4

由余弦定理得/=142+102-2x14x10x耳=72,即6=6点.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，

余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正

弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解实力，属于基础题.

18.“微信运动”是手机4PP推出的多款健康运动软件中的一款，高校生M的微信好友中有400

位好友参与了“微信运动”.他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友(女20人，

男20人)在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数状况可分为五个类别：4、

0~2000步，(说明：“0~2000”表示大于或等于0,小于2000,以下同理)，B、2000~5000

步，C、5000~8000步，D、8000〜10000步，E、10000~12000步，且4、B、C三种类别的

人数比例为1:4:3,将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所

示的频率分布直方图.

（I）若以高校生M抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的全

部微信好友每天走路步数的概率分布，试估计高校生M的参与“微信运动”的400位微信好友

中，每天走路步数在2000~8000的人数；

（II）若在高校生”该天抽取的步数在8000〜10000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人

进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位

女性微信好友被采访的概率.

3

【答案】（I）见解析（II）-.

【解析】

【分析】

（I）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人，女14人，由此能求出

400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数.

（II）该天抽取的步数在8000〜10000的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层

抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率.

【详解】（I）由题意，所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人，女14

人，

所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数约为

26,

400x—=260人；

40

（II）该天抽取的步数在8000〜10000的人数中，依据频率分布直方图可知，男生人数所占的

频率为0.15x2=0.3,所以男生的人数为为20X0.3=6人，依据柱状图可得，女生人数为3人,

再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人.再从这6位微信好友中随机抽取2人

进行采访，基本领件总数"=Cj=15种，

至少1个女性的对立事务是选取中的两人都是男性,

...其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：p=1-

cl5

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层

抽样等学问的综合应用，其中解答中仔细审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问

题的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

19如图,在正三棱柱48C-4道也1中，AB=AA1=2,E,F分别为4B,的中点.

(I)求证：B用/平面4CF；

(II)求三棱锥B1-4CF的体积.

【答案】(I)见解析(II)

3

【解析】

【分析】

1

(I)取AC的中点M,连结EM,FM,由三角形性质得EM//BC且=结合已知得到

且EM=B/,则四边形EMF名为平行四边形，可得〃/M,再由线面平行的判定

可得/E〃平面ACF；

(II)设。为BC的中点，由已知得到AOJ.平面BCG%,然后利用等积法求三棱锥与-4CF的

体积.

【详解】(I)证明：取4C的中点“，连结EM,FM,

1

在A4BC中，M分别为AB,AC的中点，EM//BC且EM=,BC,

1

又产为8也1的中点，%G//BC,J.B^//BC^B1F=-BC,

即EM//BiFaEM=B/,

故四边形EMFBi为平行四边形，,BiE//FM,

又MFu平面ACF,8述《平面ACF,

：.BXE//平面46；

(II)解：设。为BC的中点，

•••棱柱底面是正三角形，4B=2,.•.有4。=布，

又因为A4BC为正三角形，且。为BC的中点，所以40J.BC,

又由正三棱柱，所以平面BCGBIJL平面ABC,

由面面垂直的性质定理可得4。_L平面BCq%,即三棱锥A-%CF的高为小，

始2111厂书

所以，81-ACF=VA-B、CF=5'S%CFX=X2X=

【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明，以及利用等体积法七届多面体的体

积问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及合理利用等体积法求解体积是解

答的关键，着重考查了空间想象实力，以及推理与运算实力，属于基础题.

xv

20.己知点M(2,l)在椭圆C："+、=l(a>b>0)上，A,B是长轴的两个端点，且血•加8=-3.

ao

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)已知点E(l,0),过点M(2,l)的直线/与椭圆的另一个交点为M若点E总在以MN为直径的

圆内，求直线，的斜率的取值范围.

【答案】(I)-+^=1;(II)(-p+ool

82I6)

【解析】

【分析】

22I2

(I)由题意可得，=8,又点M(2,l)在椭圆。上，即工+厂=1,即可求出椭圆方程,

8b2

(II)联立方程组，利用根的判别式、向量的数量积，即可直线/斜率的取值范围.

【详解】(I)由已知可得(―a-2,—l)・(a-2,-1)=-3,解得a?=8，

22I2

又点在椭圆。上，即不+下=1,解得y=2，

8b2

22

所以椭圆C的标准方程为上+匕=1;

82

(II)设N(xi，%),当直线2垂直于x轴时，点E在以MN为直径的圆上，不合题意,

因此设直线1的方程为y=fc(x-2)+1,

代入椭圆方程消去y得(4d+l)x2+8(fc-2fc2)x+4(4fc2-4fc-l)=0,

222

4(4fc-4fc-l)on2(4fc-4Ar-l)-4k-4k+1

则有2k1-----------,即％i=------------------，ya.=

4k2+14k2+14k2+1

且判别式A=16(2k+l)2>0，即壮一；，又点E总在以MN为直径的圆内,

所以必有而-EN<0,即有(乙一1%>(1,1)=x1+yt-l<0,

4k2—8k—3-4k2-4k+11

将久i，代入得--------------+------------------<0,解得k>—z，

4k2+14k2+16

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解

答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，合理利用判别式，以及向量的数量积

进行求解，此类问题易错点是困难式子的变形实力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻

辑思维实力、运算求解实力、分析问题解决问题的实力等.

21.已知函数：f(x)=lnx—ax—3(a0).

(I)探讨函数八乃的单调性；

(II)若函数外幻有最大值“，且M>a-5,求实数a的取值范围.

【答案】(I)见解析(II)(0,1)

【解析】

【分析】

(I)求出函数f(x)的定义域与通过当a<0时，当a>0时，推断导函数的符号，推出

单调性，

(II)依据(I)可得此有-"a-4>a-5,得bia+a-l<0,设g(a)=Zna+a-1,利用导

数求出函数的最值即可.

【详解】(I)/(%)的定义域为。+8),

由已知得f(町=；-Q，

当Q<0时，f\x)>0,所以，/(%)在。+8)内单调递增，无减区间；

当Q>0时，令八町=0，得%=:,

所以当久6(0。)时f'⑸>0,f(x)单调递增；

当久eg,+8)时f(无)<o，f(x)单调递减，

(II)由(I)知，当Q<0时，在。+8)内单调递增，无最大值，

,1

当Q>0时，函数乃在第=-取得最大值，

a

11

即/1(gmax=n-j=^--4=-Ina-4,

因此有-伍a-4>a-5,得bia+a-l<0,

设g(a)=bia+a-l,则g'(a)=：+1>0,所以g(a)在(0,+8)内单调递增，

又g(l)=0,所以g(a)<g(l),得0<a<l,

故实数a的取值范围是(0,1).

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化

与化归思想、逻辑推理实力与计算实力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数探

讨函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可

分别变量，构造新函数，干脆把问题转化为函数的最值问