上海市闵行区2021届高三数学下学期教育质量调研-理

上海市闵行区2021届高三下学期教育质量调研（二模）数学试卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写．2．本试卷共有23道题，共4页．总分值150分，考试时刻120分钟．3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一.填空题（本大题总分值56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每一个空格填对得4分，不然一概得零分．1．．2．关于方程的解为．3．已知全集，集合，那么=．4．设，向量，，且，那么．5．在中，假设，，，那么．第7题图6．在极坐标系中，与的交点的极坐标为第7题图7．用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面的距离为1cm，那么该球的体积是cm3.8．复数(，且)，假设是实数，那么有序实数对能够是．（写出一个有序实数对即可）9．已知关于的不等式的解集为，那么实数的取值范围．10．设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上参观箱所在圆的方程为．已知时刻时，参观箱A的坐标为，那么当时（单位：分），动点A的纵坐标关于的函数的单调递减区间是．11．假设不等式对任意正实数恒成立,那么正实数的最小值为．12．运算机毕业考试分为理论与操作两部份，每部份考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部份考试都“合格”者，才颁发运算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，在操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是不是合格，彼此之间没有阻碍．那么甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人取得“合格证书”的概率．13．已知数列，对任意的，当时，；当时，，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．14．关于函数，有以下4个命题：①任取，都有恒成立；②，关于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立，那么实数的取值范围是．那么其中所有真命题的序号是．二.选择题（本大题总分值20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，不然一概得零分．15．以下命题中，错误的选项是（）．（A）过平面外一点能够作无数条直线与平面平行（B）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C）假设直线垂直平面内的两条相交直线，那么直线必垂直平面（D）垂直于同一个平面的两条直线平行16．已知集合，,假设“”是“”的充分非必要条件，那么的取值范围是（）．（A）（B）（C）（D）17．假设曲线上存在两个不同点处的切线重合，那么称这条切线为曲线的自公切线，以下方程的曲线有自公切线的是（）．（A）（B）（C）（D）18．已知等差数列的前项和为，向量，，，且，那么用表示（）．（A）

（B）

（C）

（D）三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答以下各题必需在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（此题总分值12分）此题共有2个小题，第(1)小题总分值7分，第(2)小题总分值5分．BACED第19题图如图，在体积为的正三棱锥中，长为，BACED第19题图（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）正三棱锥的表面积．20.（此题总分值14分）此题共有2个小题，第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值8分．xyABCO第20题图如图，点A、B是单位圆上的两点，点C是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转xyABCO第20题图（1）假设点A的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.21.（此题总分值14分）此题共有2个小题，第(1)小题总分值8分，第(2)小题总分值6分．东北ABCO第21题图···Z为了寻觅马航残骸,我国“雪龙号”科考船于2021年3月26日从口岸动身，沿北偏东角的射线方向航行，而在口岸北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛，海里，且.现指挥部需要紧急征调位于口岸正东海里的处的补给船，速往小岛装上补给物资供给科考船．该船沿方向全速追赶科考船，并在处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线围成的三角形的面积最小时，这种补给方案最优.东北ABCO第21题图···Z（1）求关于的函数关系式；（2）应征调位于口岸正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？22．（此题总分值16分）此题共有3个小题，第(1)小题总分值4分，第(2)、(3)小题总分值各6分．设椭圆的中心和抛物线的极点均为原点，、的核心均在轴上，过的核心F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求，的标准方程；xyABCDF0OF第22xyABCDF0OF第22题图（3）点是上的两点，且，求证：为定值；反之，当为此定值时，是不是成立？请说明理由.23.（此题总分值18分）此题共有3个小题，第(1)小题总分值4分，第(2)小题总分值6分，第(3)小题总分值8分．已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，……，如此下去，一样地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．（1）指出，并求与的关系式（）；（2）求（）的通项公式，并指出点列，，…，，…向哪一点无穷接近？说明理由；（3）令，数列的前项和为，设，求所有可能的乘积的和．数学试卷（理科）参考答案与评分标准一.填空题1．；2．2；3．；4．；5．；6．（理）、7．(理)8．或知足的任意一对非零实数对；9．（理）；10．（理）；11．4；12．（理）；13．39366（）14．（理）①③

、．二.选择题15．B；16．A；17．C；18．CBACED第19题图OF三.解答题19.解：（1）过点作平面BACED第19题图OF中心，由得（理1分文2分）又在正三角形中得，因此……………（理2分文4分）取中点，连结、，故∥，因此确实是异面直线与所成的角．（理4分文6分）在△中，，，…（理5分文8分）因此．…（理6分文10分）因此，异面直线与所成的角的大小为．……（理7分文12分）（2）由可得正三棱锥的侧面积为…（理10分）因此正三棱锥的表面积为．…………（理12分）20.解：（1）由已知，………（2分）………（4分）=.………………（6分）（2）……（8分）………（10分），，……（12分）……（14分）21.（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向成立直角坐标系，…（1分）那么直线OZ的方程为，设点A（x0，y0），那么，，即A（900，600），…（3分）又B（m，0），那么直线AB的方程为：，…………（4分）东北ABCO第21东北ABCO第21题图···yxZ…（8分）（2）由（1）知…（10分）………（12分）因此当，即时，最小，（或令，那么

，当且仅当时，最小）∴征调海里处的船只时，补给方案最优.…（14分）22．解：（1）在椭圆上，在抛物线上，：…（4分）（2）(理)=.是抛物线的核心，也是椭圆的右核心，=1\*GB3①当直线的斜率存在时，设：,，联立方程，得，时恒成立.（也可用焦半径公式得：）………………（5分）联立方程，得，恒成立.,……（6分）=.………………（8分）=2\*GB3②当直线的斜率不存在时，：，现在，，，=.……………（9分）因此，的最小值为.……………（10分）（3）（理）证明：=1\*GB3①若P、Q别离为长轴和短轴的端点，那么=.（11分）=2\*GB3②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，设联立方程，解得；……………（12分）同理，联立方程，解得；（13分）反之，关于上的任意两点，当时，设，，易患；，由得，即，亦即，…（15分）因此当为定值时，不成立……………（16分）“反之”的方式二：若是有，且不在座标轴上，作关于坐标轴对称的射线与交于，，显然，与不可能同时成立…………………（16分）23.解：（1）．…………（1分）设，，由题意得．…………（2分）…（4分）（2）别离用、代换上式中的n得()………………（6分）又，，…（8分）因，因此点列，，…，，…向点无穷接