2025高考数学一轮复习 双曲线 专项训练

2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练

A级•基础达标

22

1•方程最一言=1表示双曲线,则”的取值范围是（）

A.-2<m<lB.m>l

C.m<—2D.-l<m<2

22

2.已知双曲线C：冷冷1（心。，6>。），离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=42xB.y=V^x

C.y=±y/2xD.y=±V3x

3.若双曲线C：［一［=1（«>0,6>0）满足:争且与椭圆5+9=1有公共焦点，则双曲线C

a2b2

的方程为（）

AU=1B一=1

45810

77

D.上一匕=1

5443

4.已知点A(0,2),BC0,-2),C(3,2),若动点y)满足IMAI+IACI=IMBI+I8CI,

则点M的轨迹方程为（)

v2v2

A/一LB.j/2—可=1(yWT)

c.7=iD.X2—匕=1(xW—1)

33

22

5.已知双曲线C：今一3=1（。>°，b>0）的左、右焦点分别为Fi，尸2，点A是圆。：

a2b2,

上一点，线段尸2A交双曲线c的右支于点8,I尸24I=。，可=3顺，则双曲线C的离心率为（）

A.在B.迪

22

c.迪D.V6

2

22

6.（多选）已知双曲线C的方程为二一匕=1,则下列说法正确的是（）

169

A.双曲线C的实轴长为8B.双曲线C的渐近线方程为>=±%

C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为:

7.双曲线日=1(m>0,«>0)的渐近线方程为丫=±刍，实轴长为2,Mm-n=.

mn‘2------------

8.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程

为.

222

9.设双曲线台一2=1(a>0,b>0)的右焦点为E如图所示，直线/：x=土与两条渐近线交于P,

a2b2c

Q两点，N为尸。的中点，如果△尸。尸是直角三角形，则双曲线的离心率e=.

10.中心在原点，焦点在无轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点E,且IFIF2I=2①，椭圆

的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3：7.

(1)求这两个曲线的方程；

(2)若尸为这两个曲线的一个交点，求cos/2的值.

B级•综合应用

11.如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐・金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工,

是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C1一2=1(。>0,6>0)的

右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形A8MN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该

金杯主体部分的上口外直径为竽，下底座外直径为等，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底

座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为()

A.2鱼兀B.3TI

C.2V3TID.4K

12.（多选）双曲线C9=1的右焦点为R点尸在双曲线。的一条渐近线上，0为坐标原点,

则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的离心率为粤B.双曲线1一二=1与双曲线C的渐近线相同

248

C.若POYPF,贝必PFO的面积为/D.IP尸I的最小值为2

22

13.已知双曲线孑一一=1的左、右焦点分别为品，F.

1642

（1）若点M在双曲线上，且丽•前瓦=0,求点M到X轴的距离；

（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（3V2,2）,求双曲线C的方程.

C级♦能力提升

14.已知B，B分别是双曲线C：弓一4=1（«>0,b>0）的左、右焦点，点尸在双曲线右支上且不

a2-bz

与顶点重合，过尾作NBPF2的平分线的垂线，垂足为A,。为坐标原点，若IOAI=g,则该

双曲线的离心率为.

15.已知双曲线马一［=1（a>0,b>0）的右焦点为尸（c,0）.

a2b2

（1）若双曲线的一条渐近线方程为>=尤且c=2,求双曲线的方程；

（2）以原点。为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线，斜

率为一百，求双曲线的离心率.

参考答案与解析

22

1.A因为方程‘————=1表不双曲线，所以(2+根)-(1—m)>0,即(m+2)(m-1)<0,

2+m1—m

解得一2＜根＜1.故选A.

2.D:尸=干=后故双曲线C的渐近线方程为：y=±V3x

Ia2

3.A由题意可得椭圆的焦点坐标为(-3,0),(3,0),则在双曲线C中，有《©=3,解得

[c2—a2+b2,

(a2=4,

卜I2=5,所以双曲线c的方程为2号-25=1.

145

1c2=9,

4.B设M(x,y),因为IMAI+IACI=IMBI+II,

故IMAI+3=\MB\+心+[2—(-2)产,即|M4|一|"8]=2<4.故点M(x,y)的轨迹

是以A(0,2),B(0,-2)为焦点的双曲线的下支，且a=l,c=2.故加=。2—/=3.故方程为产

比2

—=1(yW—1).

5.A如图，由题意可知IF.BI=%IABI=容由双曲线的定义可知IBFtI=抖2"=,易得

ZFIAF2=90°,则在△48R中，由勾股定理可得IAFiI=痘明在RtA4为&中，（而〃）2+层=仁。）

2,所以e=当故选A.

6.ABC因为.2=16,所以a=4,2a=8,故A正确；因为。=4,6=3,所以双曲线C的渐近线方

程为尸±夕=±|尤，故B正确；因为c=142+62=，16+9=5,所以焦点坐标为（-5,0）,（5,0）,

焦点（5,0）到渐近线3x—4y=0的距离为、'I?=3,故C正确；双曲线C上的点到焦点距离

12+（-4）2

的最小值为C—。=1,故D错误.

7.-1解析：因为双曲线的实轴长为2标，所以2标=2,所以加=1,又渐近线方程为＞=土涂,

所以需=乎，解得w=2,所以加一〃=—1.

8./—9=1（答案不唯一）解析：因为渐近线方程为2x±y=0,设双曲线方程为4f—9=人%NO,

所以双曲线的方程可以为x2—t=l.

4

（_a2

9.V2解析：由题意知右焦点尸（c,0）,直线/：尤=匕，渐近线y=±4.联立《c,可得尸（匕,

c'a.b

（尸土c

?），Q（9,-y）,：.\FP\=\FQ\,即AP。尸是等腰三角形尸是直角三角形，

；.NPFQ=90°,N为尸。的中点，IPNI=IFNI,即?=0一9，，a=b,e=V2.

10.解：（1）由已知c=g,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b,双曲线的实半轴长、虚半

（a一m=4,

轴长分别为相，〃.则近百j瓦解得〃=7,m=3,所以6=6,n=2.

7-----3---,

vam

2222

所以椭圆的方程为M+\=l，双曲线的方程为2一一=L

493694

（2）不妨设Fi,出分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，

贝WPQI+IPF2I=14,IPFiI-IPF2I=6,

所以IPF\I=10,IPF2I=4,

2222

又IF^\=2V13,所以coszWP&I+IPF-Ml一5=上

2\PFr\­\PF2\2X10X45

ll.C该金杯主体部分的上口外直径为竽，下底座外直径为等，且杯身最细之处到上杯口的距离

是到下底座距离的2倍，可设M（2，2m）,N（鹿，-777）,代入双曲线方程可得耳一萼=1,

33az

13在2£2—

三一22=1，即日一既=；，三一羽=1，作差可得冬=：，解得层=3,a=G所以杯身最细处的周

a2b2a2b24a2b2a24

长为2百兀.故选C.

22

12.ABC因为a=2,b=y[2,所以c=a+b=V6f所以e=£=渔，故A正确；双曲线匕一二=1

\a248

的渐近线方程为＞=士圣，双曲线C的渐近线方程为y=±/x,故B正确；因为POLPP,点F（逐,

0）到渐近线鱼x—2y=0的距离d=,第答=V2,所以IPFI=V2,所

V6

/__2t-21____

以IP。I=J（遥）-（V2）=2,所以△PEO的面积为1企X2=&，故C正确；的最

小值即为点尸到渐近线的距离，即|PCmin=V^,故D不正确.

13.解：（1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为

VMFrMF2=0,：.MFI±MF2.

设IMFiI=m,IMF2I=〃，

由双曲线的定义知m—n=2a=8.①

在RSBMB中，由勾股定理得疗+层=(2c)2=80,②

由①②得m-n=8.

•••5频死=如=4=92M，.•.仁等.

即点M到x轴的距离为手.

22

（2）设双曲线C的方程为J—三=1（―4<%<16）.

16—24+A

•.•双曲线C过点（3V2,2）,—2=1,

16—A4+Z

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解得力=4或%=—14（舍去），双曲线C的方程为三一j=l.

128

14.y解析：如图，记直线F2A交PR于点Q,因为B4是ZF1PF2的平分线，所

以IA。I=II,I尸。I=IP&I.又。是RF2的中点，所以QF^/AO,

且I。西1=2IOAI=2/b.由双曲