人教版初中数学同步讲义练习-9下第02讲 反比例函数的图像与性质的综合应用（原卷版）

第02讲反比例函数图像与性质的综合应用课程标准学习目标①二待定系数法求反比例函数解析式②反比例函数k的几何意义与代数意义③反比例函数与其他函数交点问题掌握求待定系数法求反比例函数解析式的基本步骤，并能够熟练的求出反比例函数解析式。掌握反比例函数中k的几何意义与代数意义，并能对其熟练应用。能够熟练解决函数之间的交点问题，以及由交点引出的其他问题。知识点01待定系数法求反比例函数解析式待定系数法求反比例函数的具体步骤：具体步骤如下：①设解析式；②带函数图像上的点；③解方程求比例系数；④写函数解析式。题型考点：①利用待定系数法求反比例函数解析式。【即学即练1】1．已知函数，当x＝1时，y＝﹣3，那么这个函数的解析式是（）A． B． C． D．【即学即练2】2．已知反比例函数的图象经过点A（﹣2，﹣8）．（1）求这个函数的表达式；（2）点B（8，2），C（4，﹣6）是否在这个函数的图象上？【即学即练3】3．已知反比例函数图象经过A（1，1）．（1）求反比例函数解析式；（2）若点（2，y），（4，y2）是反比例函数图象上两点，试比较y1，y2大小．知识点02反比例函数k的几何意义k的几何意义：图①图②①如图①，在反比例函数图像上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到的三角形的面积等于。推广：在反比例函数图像上任找一点作其中一条坐标轴的垂线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例函数图像上的点与垂足点得到的三角形的面积都是。②如图②，在反比例函数图像上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面积为。题型考点：①反比例函数k的几何意义的应用。【即学即练1】4．下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练2】5．如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．4 B．2 C．1 D．6【即学即练3】6．如图所示，过反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象上任意两点A，B，分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC与△BOD的面积为S1，S2，那么它们的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定【即学即练4】7．两个反比例函数C1：和C2：在第一象限内的图象如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4知识点03反比例函数与其他函数的交点问题函数与函数的交点问题：解决函数与函数的交点问题，需要把两个函数相等起来建立方程去求解。建立得到的方程的解释函数交点的，将横坐标带入函数中可求得交点的。从而得到两个函数的交点。反比例函数与正比例函数的交点：反比例函数是一个中心对称图形，对称中心是原点，正比例函数经过原点，若反比例函数与正比例函数有交点，则一定是个交点。且这两个交点一定关于对称。反比例函数与正比例函数的系数若，则两个函数有交点。若，则两个函数无交点。反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数建立方程，得到的方程是一个，若方程有两个不相等的实数根，这这两个函数有个交点；若方程有两个相等的实数根，则两个函数只有个交点；若方程没有实数根，则两个函数交点。题型考点：①利用函数交点求取值范围。【即学即练1】8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（4，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜4 C．x＞3 D．x＞4【即学即练2】 9．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数的图象有交点，则下列结论一定正确的是（）A．k1k2＜0 B．k1k2＞0 C．k1+k2＜0 D．k1+k2＞0【即学即练3】10．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3 C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3【即学即练4】11．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2题型01待定系数法求函数解析式【典例1】已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝7．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x＝5时，求y的值．【典例2】已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，y＝4．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝﹣2时，求y的值．【典例3】已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y的表达式；（2）求当x＝﹣2时y的值．【典例4】如图，反比例函数的图象与直线x＝﹣3交于点P，△AOP的面积等于3．（1）求反比例函数的表达式；（2）利用图象，求当﹣3＜x＜0时，y的取值范围．题型02反比例函数k的几何意义：一个象限内【典例1】如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为（）A．1.5 B．3 C． D．6【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【典例3】在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小【典例4】如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（）A．8 B．3 C．2 D．4题型03反比例函数k的几何意义：多个象限内【典例1】如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为（）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣36【典例2】如图，A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC面积为S，则（）A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2【典例3】如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则S＝．【典例4】如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y＝图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为．题型04反比例函数k的几何意义：双反比例函数【典例1】如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值是（）A．1 B．2 C．4 D．8【典例2】如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【典例3】双曲线C₁：和C₂：的图象如图所示，点A是C₁上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与C₂交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（）A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5【典例4】如图，函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，则△PAB的面积为（）A．1 B．4 C． D．题型05函数的交点【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象上与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（6，2），点B的横坐标为﹣4．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D是y轴上一点，且S△ABD＝15，求点D坐标．【典例2】如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝的图象交于点C（1，2），D（2，n）．（1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OC，OD，求△COD的面积；（3）点P是反比例函数上一点，PQ∥x轴交直线AB于Q，且PQ＝3，求点P的坐标．【典例3】如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠θ）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围；（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．【典例4】如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式．（2）求△AOB的面积．（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．1．反比例函数y＝经过点（﹣1，﹣4），则反比例函数的解析式为（）A．y＝﹣4x B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝4x2．对于反比例函数y＝，下列结论正确的是（）A．图象分布在第二、四象限 B．当x＜0时，y随x增大而增大 C．从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是k2+2 D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，若x1＜x2，y1＜y23．平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（）A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜04．在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为（）A． B． C． D．5．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，已知△POB的面积为4，则k的值为（）A．16 B．14 C．12 D．106．如图已知反比例函数C1：的图象如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45°得到曲线C2，点N是由曲线C2上一点，点M在直线y＝﹣x上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为，则k的值为（）A． B． C．﹣2 D．﹣17．如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（2，0），与函数y＝的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是﹣6，则不等式组0＜ax+b＜的解集是（）A．﹣6＜x＜2 B．﹣6＜x＜0 C．﹣6＜x＜8 D．0＜x＜28．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数（k＞0，x＞0），（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD，若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是（）A．2 B． C．1 D．9．反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为．10．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于4，则这个反比例函数的解析式为．11．如图，直线AB与反比例函数交于点B，与x轴和y轴分别交于点A和点D，BC⊥AC于点C，若点D是线段AB的中点，∠DAO＝30°，OA＝1，则k的值为．12．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为．13．如图，Rt△ABC，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（0，﹣2），BC的长为4，反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数与直线AC的解析式；（2）点P是反比例函数图象上的点，若使△OAP的面积恰好等于△A