2024-2025学年八年级数学上册：一定是直角三角形吗 专项练习（培优练）

专题L6一定是直角三角形吗（专项练习）（培优练）

特别提醒：本专题涉及二次根式的运算，建议学习第2章《实数》后再巩固练

习

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

（23—24八年级下•河南信阳•期末）

1.中，。，b,c,表示其三边，以下条件不能构成直角三角形的选项是（）

A.NC=N4+/BB.a2-c2=b2

C.NN:NB:NC=3:4:5D.a:b:c-l:V2:V3

（23-24八年级下•山东淄博•期中）

2.如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，4丛。,。都在格点上，AB与CD

相交于点尸，则44电＞=（）

R

A.30°B.35°C.45°D.60°

（2024•江苏南京•二模）

3.如图，在正方形N3CZ）中，E是/。的中点，尸是靠近点。的。的四等分点.已知

EF=a,BE=b,BF=c.下列结论：@a2+b2=c2;②a:6:c=3:4:5；③NEBF=3Q0；

（J）SGEF：SAABE•S@BF•SACBF=1：4:5：6,其中正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.①④D.③④

（23-24八年级下•河南驻马店•期中）

试卷第1页，共8页

4.已知a,b,c是“8C的三边，且满足+〃）（。-6）-02（4-6）=0,则“BC的形状是

（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角

三角形

（23-24八年级下•陕西西安•阶段练习）

5.如图，在。8C中，的垂直平分线交3C于点。，交4B于点、M,/C的垂直平分线

O10

交BC于点、E,交AC于点、N,若BD=a，EC=—,DE=2,则/C的长为（）.

（2024・四川广元•二模）

6.如图，在等边三角形N8C中，。是边3C上的中点，DE//AB.将ACDE绕点C顺时针

旋转夕（0。＜。＜360。），得到ACDE,连接AE',当=时，1的大小是

()

A.60°或90°B.90°或120°C.60°或300°D.120°或150°

（2024•山西阳泉•一模）

7.某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造

为儿童游乐场.图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB=25m,

8c=9m,CD=12m,DA=20m,ZC=90°,按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺

设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（）

试卷第2页，共8页

A.40800元B.91600元C.60800元D.48000元

（2021九年级•全国•专题练习）

8.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广

各几何大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和

宽各是多少（1丈=10尺，1尺=10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的

是（）

A.x2+l2—（x+0.68）2B.x2+（x+0.68）2—I2

C.尤2+1002=（x+68）2D.N+（x+68）2=1002

（23-24九年级上•浙江绍兴•期末）

9.已知“BC的三边a,b,c（a>b>c）均为整数且周长为24,其中最长边。满

2a<a+b+c,若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（）

A.—B.—C.—D.一

1211109

（22-23九年级下•河北衡水•期中）

10.如图，点尸在内部，点月与点P关于。/对称，点Q与点P关于08对称.甲、

乙两位同学各给出了自己的说法：甲：若乙403=30。，则△斗。鸟是等边三角形；乙：若

PR=®OP,则与理=135。.对于两位同学的说法，下列判定正确的是（）

A.甲正确B.乙正确C.甲、乙都正确D.甲、乙都错误

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（23-24八年级下•河北廊坊•阶段练习）

试卷第3页，共8页

11.如图，ZBAC=90°,AB=2y/2,AC=242,BD=12,DC=4厢,则

ZDBA=

12.如图，尸是直线/外一点，A、8、C三点在直线/上，且尸B_L/于点B,ZAPC=90°,

（23-24八年级下•广东湛江•阶段练习）

13.如图，在4x4的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1,点/、B、C都在格点

上，ADJ.BC于点、D,则工。的长为

（2024八年级下•全国•专题练习）

14.如图，尸是正三角形/8C内的一点，且尸/=6,PB=8,PC=10.若将△尸/C绕点/

逆时针旋转60。后，得到则点P与P之间的距离为,

ZAPB=.

试卷第4页，共8页

B

（23-24八年级下•江苏泰州•阶段练习）

15.如图，若点尸是正方形/8C。外一点，且尸/=26,%=5后，PC=24,则N3PC=

（23-24八年级下•天津南开•期末）

16.如图，正方形48CD的边长为4,点E在边N8上，点尸在边的延长线上，且

BE=DF=C.点、M,N分别在边4D,8C上，MN与EF交于点、P,且NMP尸=45。,

则ACV的长为.

（18-19八年级下•安徽合肥•期中）

17.如图，点C为直线/上的一个动点，于。点，BE□于E点,AD=DE=4,

BE=1,当。。长为"BC为直角三角形.

CDE

（2019•江苏无锡•二模）

试卷第5页，共8页

18.如图，在四边形4BCD中，乙8=90。，乙D=45。，48=BC=2,点£为四边形48CD内部一

点，且满足CE2-AE2=2BE2,则点E在运动过程中所形成的图形的长为.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（23-24八年级下•河南周口•阶段练习）

19.如图，已知等腰。BC的底边BC=5,。是腰42上一点，且CD=4,瓦）=3.

（1）求证：CD

⑵求4D的长.

（23—24八年级下•福建福州•期中）

20.如图，“8C中，//为钝角.

A

（1）尺规作图：作边48,ZC的垂直平分线分别交3C于点。，E；

（2）若BD^+CE?=DE"求/民4c的度数.

（23—24八年级下•云南昭通•阶段练习）

21.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米的范围内形成极端气候,

有极强的破坏力.如图，有一台风中心由西向东，从A移动到3,已知点C是一个海港，且

点C与48两点的距离分别为=300kmic=400km,4,3两点的距离为：AB=500km.

（1）求/4C3的度数;

试卷第6页，共8页

(2)海港C会受到这次台风的影响吗？请说明理由.

(23-24八年级下•安徽亳州•期中)

22.如图，点E在四边形/BCD内部，且AE=BE=DE=26,CE=6,ZBAD=120°,

AB=AD,CD=4拒,

(1)求证：是等边三角形；

(2)求//EC的度数；

(3)求8c的长.

(20-21八年级上•山东济南•期末)

23.(1)如图1,。是等边内一点，连接OB、OC,且CM=3,02=4,OC=5,

△BAO=ABCD,连接OD.

①N0BD二—度;(答案直接填写在横线上)

@OD=―；(答案直接填写在横线上)

③求N2DC的度数.

(2)如图2所示，。是等腰直角△/8C(//8C=90。)内一点，连接04OB、0C,

△BAOMBCD,连接0。.当04OB、0c满足什么条件时，ZOZ>C=900.请给出证

明.

(23—24八年级上•江苏镇江•期中)

24.【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证

法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板NBC和直角三角板

试卷第7页，共8页

DEF,顶点厂在BC边上，顶点C、。重合，连接/E、EB.设AB、DE交于点、

G.ZACB=ZDFE=90°,BC=EF=a,4C=DF=b(a>b),AB=DE=c.请你回答以

下问题:

（1）48与DE的位置关系为.

（2）填空：S四边形皿（用含c的代数式表示）.

（3）请尝试利用此图形证明勾股定理.

【问题再探】平移直角三角板DE尸，使得顶点8、。重合，这就是大家熟悉的“K型图”,

如图②，此时三角形N3E是一个等腰直角三角形.

请你利用以上信息解决以下问题：

已知直线。〃b及点尸，作等腰直角使得点/、3分别在直线a、b上且

ZAP3=90。.（尺规作图，保留作图痕迹）

a

P

【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：

已知A48c中，44=45。，Z5=22.5°,BC=6,则“8C的面积=

试卷第8页，共8页

1.c

【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题

的关键.根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A、当=+由/C+//+/B=180。，可得NC=90。，故能判定。8c

是直角三角形，

B、当。2一。2=*可得〃+c2=/,故能判定“8C是直角三角形，

C、当N/:N3:NC=3:4:5,可得最大角："=:xl80°=75°,故不能判定“8C是直

角三角形，

D、设a=k,贝!Jb=及k,c=y/ik,可得/+6°=/+2k2=3k1>c2=3k。，即/+6,=c?,

故能判定^ABC是直角三角形，

故选：C.

2.C

【分析】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形

△BEF,根据勾股定理8尸+所2=既2,求出N8=45。.

【详解】解：如图，过点B作8尸〃CD,

过格点E,

连接EF,

■：BE=EF=+12=V5，

：.BE2+EF2=BF2，

NBEF=90°,

ZB=45°,

ZAPD=45°,

故选：C.

3.C

【分析】设正方形的边长为4加，则4E=£>E=2m,DF-m,FC=3m,由勾股定理以及逆

答案第1页，共21页

定理可判断aBE尸是直角三角形，由勾股定理的逆定理得到①正确；求出。、b、c的值,

从而对②作出判断；由锐角三角函数的定义求出sinNEB尸的值，对③作出判断，分别用含

有加的代数式表示4个三角形面积，对④作出判断即可.

【详解】解：设正方形的边长为4加，贝!]/E=Z)E=2w,DF=m,FC=3m,

■：BE1=AE2+AB2=4m2+16m2=20m2,

EF2=DE2+DF1=4m2+m2=5m2,

BF2=BC2+FC2=16m2+9m2=25m2,

:.BE2+EF2=BF2,

即a2+b2=c2,

因此①正确；

a==V5m>b=720m2=2#m，c=\l25m2=5m，

a:b:c=y/5m:2y/5m:5w=1:2:>/5,

因此②不正确；

在RtZ\8£尸中，

.EFa\\

'：sinZEBF==—=—j=w—.

BFc42'

ZEBFw30°,

因此③不正确；

11

?2

,/SqEF=QDF-DE=—mx2m=m,

117

S“BE：=34E•AB=于2mx4m=4m，

2

S.EBF=；EF-BE=—xx45m=5m,

2

SCRF=—BC-CF=—x4mx3m=6m,

KBF22

••SADEF'S"BE,SAEBF,SACBF=1.4.5.6,

因此④正确；

综上所述，正确的结论有①④，

故选：C.

【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质，锐角三角函数的定义，掌握

勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键.

4.D

答案第2页，共21页

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及

勾股定理的逆定理等知识是解题的关键.

根据非负数的性质可得关于。，b,c的等式，继而可得(/+/)=/,根据。，b,c均大于零,

42+/>0且C2>0,继而可得。=6,综合两种情况，可判断出的形状.

【详解】解…,b,c均大于零,

+/〉0且。2>。，

又•・•(/+b2)(Q_b)_c2=0,即-b)=_b)

故第一种情况〃一6=0，即

・•・力3C是等腰三角形，

第二种情况(/+〃)=片，

・•・△/8C是直角三角形

"3C等腰三角形或直角三角形

故选：D.

5.C

Q1Q

【分析】连接/2/E,根据垂直平分线的性质，得AE=EC=y,结合

AD2+DE1=~+A=—=[^\=AE1,确定N/Z)E=90。，根据勾股定理计算即可.本题

9913J

考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键.

【详解】连接

Q1Q

根据垂直平分线的性质，得4D=BD=g,AE=EC=—,

・...+M=8+4二图/雪—

99{3

・•・/ADE=90°,

2

如+W10+2|320

­.AC2=AD2+DC2=।~~9~

93

答案第3页，共21页

解得=负的舍去，

3

故选C

6.C

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识.利用勾股

定理的逆定理证明Z4EC=90。，分两种情形分别求解即可.

【详解】解：设CD=a,则CE=a,BC=AC=2a,AE'=^CD,

:.AC2=AE,2+EfC2,

ZAEfC=90°,

①如图中，当点。在/C的中点时，满足条件，此时夕=60。；

②如图中，当点£'落在3C的中点时，满足条件，此时a=300。.

综上所述，满足条件的〃的值为60。或300。.

故选：C.

7.A

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算.连接8。，先由勾股定理求出8。长，再由

勾股定理的逆定理判定△/题）是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形

/BCD面积，然后用面积乘以单价即可.

【详解】解：连接8。，如图2,

答案第4页，共21页

VZC=90°,BC=9m,CD=12m,

・•・BD=^BC2+CD2=792+122=15（m）

•・•AD2+BD2=202+152=252,AB2=252,

•••AD2+BD2=AB2,

・・.NADB=9。。

2

S四动形/OLD=SRGABD+Rte.BCD=—4D,BDH—BC,CD=—x20x15H—x9x12=204fm）,

四处形及〃。〃Kt△DI^U2222\/

铺满该区域需要的费用为：204x200=40800（元），

故选：A.

8.D

【分析】1丈=100寸，6尺8寸=68寸，设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利

用勾股定理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：1丈=100寸，6尺8寸=68寸.

设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，

依题意得：x2+（x+68）2=100'.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解

题的关键.

9.A

【分析】本题考查了概率公式，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，用到的知识点为：概

率=所求情况数与总情况数之比.先根据题意找到满足条件的三角形个数，再找到其中是直

角三角形的个数，然后根据概率公式即可求解.

【详解】解：的三边a,b,c均为整数且周长为24,

.•,。=8,6=8,c=8^a=9,6=9,c=6或。=9,b=8,c=7或。=\Q,b=10,c=4或。=10力=9,c=5或

a=10,b=8,c=6或a=10,6=7,c=7或a=ll,b=ll,c=2或a=ll,6=l,c=3或

a=11,6=9,c=4或。=11,6=8,c=5或。=11,6=7,c=6,一共12种情况，

••,是直角三角形的有。=10力=8,C=6,只有1种情况，

答案第5页，共21页

・•・从这样的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率是，.

故选：A.

10.C

【分析】连接。尸，根据对称的性质以及垂直平分线的判定和性质可得。尸=。4，

OP=OP2fAP.OA=ZPOA,/P?OB=/POB,推得。尸=0耳=。£,APXOP2=2ZAOB,根

据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得尸5=180。-乙4。8；若乙405=30。，求

得/月。£=60。，根据等边三角形的判定即可证明甲同学的说法正确；若3=叵OP,根

据勾股定理的逆定理可推得/单次=90。，即可证明乙同学的说法正确.

【详解】解：连接如图：

•••点4与点尸关于OA对称，点6与点尸关于05对称，

即。”是出的垂直平分线，05是理的垂直平分线，

OP=OPX,OP=OP2,APXOA=ZPOA,牛OB=NPOB,

OP=OP1=OP2,

又•・•ZAOB=ZPOA+ZPOB,

APOA+AAOB+ZPOB=2ZAOB,

APXOP2=X2

在等腰三角形耳。尸中，/qpo=180°_jPOR=90。_；NPOP\,

在等腰三角形pqp中，"FO=180°一：0例=90°-1ZPOP2,

贝乙P\PP]=4P\PO+=180°-gNROg=180°-N/OB；

若N/OB=30。，则=22405=60°,

又:OP\=OPi,

答案第6页，共21页

.•・△耳。巴为等边三角形，故甲同学的说法正确；

若PR=MOP,

.；OP=OP,=OP2,

即PR=y[2OPt=42OP2，

则OPX,。鸟满足耳8=0甲+og,

・•・△耳。鸟为直角三角形，

...zppp2=90°,

贝UNqPA=180°-；/4。£=180°-45°=135°,故乙同学的说法正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了对称的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内

角和定理，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关

键.

11.45°##45度

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算,

利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答.

【详解】解：・••/8/C=90。，AB=2亚,AC=2s/2,

NABC=45。，BC=>JAB2+AC2=4，

•••80=12,DC=4V10-

BD2+BC2=144+16=160=002,

:.^DBC是直角三角形，ZDBC=90°,

ZDBA=NDBC-NABC=45°,

故答案为：45°.

12.4

【分析】此题主要考查了点到直线的距离，勾股定理的逆定理，理解点到直线距离的定义,

熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键.先利用勾股定理的逆定理证明△/PC为直

角三角形，得/尸，尸C,然后再根据点到直线距离的定义可得出答案.

答案第7页，共21页

【详解】解：,・・P4=4,PC=3,AC=5f

PA2+PC2=AC2,

为直角三角形，即N4PC=90。，

APIPC,

点A到直线PC的距离是是线段/尸的长，

即点A到直线尸C的距离是是4.

故答案为：4.

13.2

【分析】本题考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜边高的求法，掌握勾股定理

及其逆定理是本题关键.根据勾股定理计算3C的长,再利用面积差可得三角形的面积,

由三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】由勾股定理得：AC2=22+12=5,AB2=22+42=20,5C2=42+32=25,

:.AC2+AB2=BC2,BC=5,AC=#,AB=2y/5,

.•.“BC是直角三角形，ABAC=90°,

■：ADIBC,

:.S,=-BC-AD=-AB-AC,

AAOnCc22

AB-AC275x75、

BC5

故答案为：2.

14.61500##15。度

【分析】连接PP,得出为等边三角形，进而可求出点尸与P'之间的距离；根据

PB=10,PB=8,PP'=6,判定ABPP为直角三角形，即可求解.

【详解】解：连接PP,如图，

△尸/C绕点A逆时针旋转60°后，得到,

答案第8页，共21页

ZPAP'=60°,PA=P'A=6,PB=PC=l。,

.•・△上4尸'为等边三角形，

PP'=PA=f>,NP'PA=60°,

在ABPP中，PB=10,PB=8,PP'=6,

•••62+82=102,

PP'-+PB~=P'B2,

.•.△APP为直角三角形，且48尸产'=90。，

AAPB=AP'PB+NBPP'=600+90°=150°.

故答案为：6；150°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，作辅助

线构造三角形是解题的关键.

15.45

【分析】将A/AP绕点8顺时针旋转90。，得到连接PP,利用旋转的性质得到

NPBP'=90。,BP=BP'=572»AP=CP'=26,由等腰直角三角形性质可得

ZBPP=NBP'P=45。，利用勾股定理得到尸尸。，进而得至1］夕。2+尸尸，2=仃，2,由勾股定理

逆定理可知，NCPP=90。,最后根据=即可求得N8尸C.

【详解】解：将绕点3顺时针旋转90。，得到AC5P’,连接尸P,

ZPBP'=90°,BP=BP'=5四,AP=CP'=26,

ZBPP'=ZBP'P=45°,

PP'2=BP2+BP'2=10,

PC=24,

PC2+PP'2=676,CP'2=262=676,

PC1+PP'2=CP'-,

.♦.△CPP是直角三角形，且/CPP=90。，

ABPC=NCPP'-ZBPP'=45°,

答案第9页，共21页

故答案为：45.

【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，等腰三角形性质，

解题的关键是作辅助线构造直角三角形解决问题.

16.3亚

【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理及其逆定理等；连

接CF、CE,由勾股定理得CE=」BC2+BE?=3亚，CF=3亚，EF2=AF2+AE2=^6,

由勾股定理逆定理得，△CEF是等腰直角三角形，由平行四边形的判定方法得四边形CWIW

是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解；掌握相关性质及判定方法，根据题意构建出

等腰直角三角形是解题的关键.

【详解】解：如图，连接CF、CE,

F

\*1

“I'P,I

'.••四边形ZBCQ是正方形，

\：

\•

彳1---------E~a

.・.AD=BC=CD=AB=4,/A=/B=ZADC=/BCD=90°,FM//CN,

/CDF=90°,

AE=AB-BE

=4-V2，

AF=AD+DF

=4+V2

：.CE=YIBC2+BE2

="+(⑸

=3a，

同理可求：CF=3也，

EF2=AF2+AE2

=（4+V2）2+（4-V2）2

答案第10页，共21页

=36,

/.CE=CF,

CF2+CE2=EF2,

「.△CEF是等腰直角三角形，

ZCFE=ZMPF=45°,

/.CF〃MN,

二.四边形CFW是平行四边形，

MN=CF=3桓,

故答案：3c.

13

17.3或2或一.

4

【分析】作BF1AD于F,根据矩形的性质得到BF=DE=4,DF=BE=1,根据勾股定理用CD

表示出AC、BC,根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案.

【详解】解：作BF1AD于F,

则四边形DEBF为矩形，

...BF=DE=4,DF=BE=1,

.•.AF=AD-DF=3,

由勾股定理得，AB2=AF2+BF2=25,

AC2=AD2+CD2=16+CD2,

BC2=CE2+BE2=(CZ)+4)2+l=CZ)2+8CZ>+16+l,

当aABC为直角三角形时，AB2+AC2=BC2,

BP25+16+CD2=CD2+8CZ)+16+1,

解得，CD=3,

如图2,作BH1AD于H,

答案第11页，共21页

仿照上述作法，当NACB=90。时，

由勾股定理得，AB2=AH2+BH2=25,

AC1=AD2+CD2=\6+CD2,

BC2=CE2+BE2=(4-CD)2+l=C£>2-8Cr»+16+l,

由/82=这+叱得：25=16+Cr>2+CZ)2-8CD+16+l,

解得：CD=2,

13

同理可得：当NABC=90。时，CD=—.

4

综上：CD的长为：3或2或三13.

4

故答案为：3或2或?13.

4

【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,

斜边长为c,那么/+62=02.

V2

2

【分析】如图，将绕点8顺时针旋转90。，得到△8CR首先证明

135°,推出点£的运动轨迹是弧圆心角-03=90。，利用弧长公式求出蕊的长即可

解决问题.

【详解】如图，将A42E绕点2顺时针旋转90。，得到△3CF.

答案第12页，共21页

则尸是等腰直角三角形，EF=CBE.

■：CE2-AE2=2BE2,AE=CF,

：.CE-=CF2+EF2,

.""=90°.

••/£尸3=45°,

；.UEB=£BFC=135°,

.•.点E的运动轨迹是弧圆心角乙408=90。.

■：OA=OB,AB=2,

：.OA=OB=y[i,

.••点E在运动过程中所形成的图形的长="工史=亚兀.

1802

故答案为：—71.

2

【点睛】本题考查轨迹，弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

19.(1)见解析

7

⑵37

6

【分析】此题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确理解题意正确应用定理是解题的关键：

(1)根据勾股定理逆定理判断即可；

(2)设40=尤，贝|/B=NC=x+3,在Rt^/CD中，根据勾股定理得40?+°2=/c?,

即可求出的长.

【详解】(1)证明：•••C〃=4,BD=3,BC=5,

■-BD2+CD2=BC2,

/BDC=90。,

即CD1AB.

(2)由题意得：AB=AC,

设=则Z8=NC=x+3,

在Rt^/CD中，AD2+CD2=AC2,

97

BPX2+42=(X+3),x=—,

答案第13页，共21页

7

即AD=~.

20.⑴见解析

(2)ZBAC=135°

【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理；

(1)根据线段垂直平分线的作图方法分别作图即可.

(2)连接AE.由线段垂直平分线的性质可得ND=3D,AE=CE

,则ZB=44D,NC=NEAC.结合勾股定理的逆定理可得/。4£=90。，根据三角形内

角和定理可得/BAD+NEAC=45°,即可根据ABAC=ABAD+NDAE+ZEAC求解.

【详解】(1)作两条垂直平分线即可

■:边48,/C的垂直平分线分别交3C于点。，E,

:.AD=BD,AE=CE,

AB=ABAD,NC=NEAC,

-：BD2+CE1=DE1,

AD2+AE2=DE2,

ZDAE=90°,

ZB+/BAD+ZDAE+NEAC+ZC=180°,

ZBAD+ZEAC=45°,

ABAC=ABAD+/DAE+ZEAC=135°.

21.(1)90°

(2)不受影响，见解析

【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理：

(1)利用勾股定理的逆定理可证。8C是直角三角形；

(2)过点C作于点。，求出。。长度即可判断.

【详解】(1)解：-：AC300km,BC=400km,AB=500km,

答案第14页，共21页

：.AC2+BC2=AB2.

:.“BC是直角三角形.

Z.ACB=90°；

(2)解：海港C不受台风的影响，理由如下:

如图，过点C作于点。.

：.S△^zi/nycr=-2AC-BC=-2AB-CD,

即300x400=5008.

解得：CD=240,

240km>200km.

•••海港c不受台风的影响.

22.⑴见解析

(2)//EC=150。

@BC=2后

【分析】⑴用SSS证明“BE纽NDE,根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定

证明即可；

(2)先根据勾股定理的逆定理证明ACDE是直角三角形，再利用等边三角形的性质求解即

可；

(3)延长CE交于点尸，根据SAS证明且ABEC,根据全等三角形的性质，结合

等腰三角形的性质和等边三角形的性质，利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：在•和△/£»£■中，

BE=DE

<AB=AD,

AE=AE

"BE义AADEISSS),

・•・/BAE=NDAE,

•・.ABAD=nO0,

・•.ZBAE=ZDAE=60°,

答案第15页，共21页

vAE=BE，

AABE是等边二角形；

(2)在ACDE中，DE=2如,CE=6,CD=4人,

2222

•••DE+CE=(2V3)+6=48=(4行了=CD\

.•.△COE是直角三角形，NCED=90°,

■：AABE知ADE,"BE是等边三角形，

•••ixADE是等边三角形，

AAED=60°,

:.NAEC=ZAED+ZCED=150。；

(3)延长CE交N8于点尸，如图所示，

•・•△/BE是等边三角形，

NAEB=NABE=60°,AB=BE=AE=2百，

NBEC=360°-NAEB-ZAEC=150°,

•••//EC=150°,

ZAEC=NBEC,

在△/EC和ABEC中,

AE=BE

-,­<NAEC=NBEC,

CE=CE

AAEC知BEC(SAS),

ZACE=ZBCE,AC=BC,

AF=BF=^>,NBFC=90°,

在RtZXAEF中，EF“BE?-BF?=3,

在Rt^BC尸中，CF=CE+EF=9,

BC=>JBF2+CF2=i4ii-

答案第16页，共21页

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理,

等腰三角形的性质，是综合型试题，熟练运用这些知识是解题的关键.

23.(1)①60°；②4；③150°；(2)OA2+2OB2=OC2,证明见解析.

【分析】(1)①由△"O=A5CD得至IJ8。=BD,ZABO=NCBD,继而证明ZABC=ZOBD

即可解题；

②由4BAO=ABCD得至IjBO=BD,结合①结论NOBD=60。，可证明AOBD是等边三角形，

即可解题；

③根据ABAO三△BCD得到AO=CD,在QC中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定

理，可证明AODC为直角三角形，继而得到NO£>C=90。，再结合是等边三角形即可

解得ZOBD=60。据此解题即可；

(2)由可得/O&D=//3C=9()o,BO=&D,CD=/O,可证明AOBO为等腰

直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得00=008,最后根据直角三角形三边满

足勾股定理解题即可.

【详解】解：(1)①；ABAO=ABCD

BO=BD,ZABO=ZCBD

ZABO+NOBC=ZCBD+ZOBC

即ZABC=ZOBD

NABC=ZOBD=60°

故答案为：60°；

②：ABAO*BCD

BO=BD,

由①得ZOBD=60°

.•.△08。是等边三角形，

/.OD=OB=BD=A

故答案为：4；

③•；ABAO.BCD

:.AO=CD

vOD=4,DC=3,OC=5

:.OD2+DC2=OC2

「.△ODC为直角三角形

答案第17页，共21页

ZODC=9Q°

为等边三角形

/BDO=60°

ZBDC=ZODC+ZBDO=90°+60°=150°;

(2)当0/2+2.2=002时，ZODC=90°.

理由如下：

•/ABAO*BCD,

ZOBD=/ABC=90°,BO=BD,CD=AO,

.•.△08。