高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点26平面向量的数量积及平面向量的应用10种常见考法归类(原卷版+解析)

考点26平面向量的数量积及平面向量的应用10种常见考法归类考点一平面向量的数量积运算（一）定义法（二）基底法（三）坐标法（四）投影法（五）极化恒等式法考点二平面向量的数量积的最值问题考点三平面向量数量积的应用考点四平面向量的垂直问题考点五平面向量的模长问题（一）求向量的模（二）求模的最值（三）已知模求参数考点六平面向量的夹角问题考点七平面向量的投影、投影向量（一）求向量的投影（二）求向量的投影向量考点八平面向量与三角形“四心”考点九平面向量与其他知识的交汇考点十平面向量的应用1.向量的数量积(1)向量数量积的定义①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)向量的投影①定义：如图，设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，作如下的变换：过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，则称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．(3)平面向量数量积的几何意义的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．(4)向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a·e＝e·a＝|a|cosθ.注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量. ②a⊥b⇔a·b＝0.注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.④．注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.⑤．注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.(5)向量数量积运算的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(6)数量积的坐标表示已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)(7)数量积的有关结论(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.2.向量数量积的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且3.计算向量数量积的五种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．(4)投影法：在方向上的投影：在方向上的投影：所以使用条件：已知向量的一个模，未知的向量在已知向量上做投影（5）极化恒等式平面向量数量积的运算律：①②两式相加，有即，其几何表示为：在平行四边形中，，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。两式相减：即①-②得：，上式就是极化恒等式，转化为平行四边形模式如下：，表述了数量积可转化为可度量的平行四边形对角线的长度运算。它的几何意义是：向量的数量积可以表示为这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一倍。进一步思考，可将数量积直接转化为三角形的中线长来运算，可得极化恒等式的三角形模式。在中，为中点，则有极化恒等式——最显著的特征是两个向量必须能够转化为同起点的向量，它揭示了三角形的中线与边长的关系，搭起了向量与数量之间的桥梁，实现了向量与代数、几何的完美结合．使用极化恒等式求数量积最值的方法总结：①把两个向量转化为同起点向量；②构建三角形，取连接两向量终点的线段的中点，把数量积的最值转化为某个向量模的最值；③利用题目中的特殊条件找到动点的最佳位置，进而求最值.4.如何建立数量积问题与有效方法的对应关系？——“剪刀手”模型情况一：三个要素都缺失，一问三不知——转基底总结：将两个未知向量之间的数量积运算转化为两个确定模长和夹角的基底之间的四则运算情况二：知道一个向量，知道一个手指长——转投影总结：知道模长的那个向量就是地平线，学会做投影。情况三：知道指尖连线长——转极化总结：三角形模型：已知中线长或底边长情况四：啥都不定可建系——转坐标总结：建系只是选取了轴作为基底向量，用坐标运算而已坐标化通过计算可以弥补向量和几何的缺失，但是运算上损失的时间在在考试上也自然会体现出来。5.平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．6.平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．7.向量夹角问题的解答方法：（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．（4）求向量的夹角有两种方法：①定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．②公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．（5）已知向量夹角为锐角或钝角，求参数①向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线（同向）．②向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线．8.平面几何中的向量方法(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.(2)常用充要条件①G为△ABC重心的一个充要条件：eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②O为△ABC外心的一个充要条件：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))；③P为△ABC垂心的一个充要条件：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).9.平面向量与平面几何综合的有关结论(1)若eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))为非零向量，则给出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，等价于已知MA⊥MB；给出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＜0，等价于已知∠AMB是钝角或两向量反向共线；给出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＞0，等价于已知∠AMB是锐角或两向量同向共线.(2)给出λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(MA,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MA,\s\up6(→)))))＋\f(\o(MB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MB,\s\up6(→)))))))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，等价于已知MP是∠AMB的角平分线.(3)在▱ABCD中，给出(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，等价于已知▱ABCD是菱形；给出|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，等价于已知▱ABCD是矩形.10.向量与平面几何的综合问题往往要数形结合，借助平面几何的知识解题.根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：①基底法；②坐标法.11.平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.考点一平面向量的数量积运算（一）定义法1．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，，，则______．3．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（

）A． B． C．12 D．72（二）基底法4．（2023·上海·统考模拟预测）在中，，点是的中点，则___________.5．（2023·全国·高三专题练习）在边长为6的正中，若点满足，则__________.6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，边长为2的正三角形ABC中，，，则（

）A．-1 B．-2 C．1 D．27．（2023·安徽淮南·统考二模）在△ABC中，已知，，，D是边AB的中点，点E满足，则（

）A． B．－1 C． D．8．（2023·北京朝阳·高三专题练习）已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（

）A． B． C．0 D．29．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.（三）坐标法10．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量，则______．11．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（

）A．3 B． C． D．412．（2023·河南开封·统考三模）等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且O为坐标原点，若，，则（

）A． B． C． D．13．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则______；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为______.

14．【多选】（2023·山西临汾·统考二模）如图，矩形中，，若，点分别为边的中点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．15．（2023·四川达州·统考二模）如图，在等腰梯形中，，，，，，.则（

）A．62 B．38 C． D．（四）投影法16．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.17．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知为圆O的一条弦，且，则（

）A．4 B． C．2 D．18．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）在四边形ABCD中，，作于点H．若，则（

）A． B．10 C． D．1219．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，，则（

）A．1 B．2 C． D．（五）极化恒等式法20．【多选】（2023·安徽淮北·统考二模）已知点，点在上运动，边长为的正方形的顶点位于圆外，则的值可能是（

）A．0 B． C．8 D．1021．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点.(1)若，求的面积；(2)若，求的值.22．（2023·全国·高一专题练习）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（

）A． B． C． D．考点二平面向量的数量积的最值问题23．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值是_____________．24．（2023·河南安阳·统考三模）已知菱形的边长为，，为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．25．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（

）A．2 B．C． D．427．（2023·新疆·校联考二模）已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．6 D．828．（2023·全国·高三专题练习）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________.29．（2023·全国·高三专题练习）在中，，．设，且（），则当取最小值时，______．考点三平面向量数量积的应用30．（2023·云南·校联考二模）在梯形中，，,，为的中点，，则（

）A． B． C． D．31．（2023·全国·高三专题练习）已知中，分别是角的对边，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．32．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．33．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且，若AD与BE交于M，若，则正三角形ABC的边长为（

）A．6 B．12 C．18 D．2434．（2023·全国·高三专题练习）在中，已知，，在方向上的投影为，P为线段上的一点，且.则的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．考点四平面向量的垂直问题35．（2023·全国·高三专题练习）设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件36．（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量，，，满足，若，则（

）A． B． C．2 D．37．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知两个单位向量，满足与垂直，则（

）A． B．

C．

D．38．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知，若，则______.39．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量，若，则___________.40．（2023·山西运城·统考三模）已知向量满足，且，则实数（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或41．（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为__________．42．（2023·全国·高三专题练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若向量，，且，则______考点五平面向量的模长问题（一）求向量的模43．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）已知向量的夹角为，，则（

）A． B． C． D．744．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知向量，夹角为，且，，则（

）A．3 B． C．4 D．545．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若向量，满足，，，则（

）A．2 B． C．1 D．46．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知两个非零向量的夹角为，且，则（

）A． B． C． D．347．（2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）已知向量，的夹角为60°，且，则（

）A． B．C． D．48．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．49．（2023·河北衡水·模拟预测）已知平面向量满足，则（

）A． B． C． D．3350．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，，M为线段BC的中点，则（

）A．3 B． C． D．（二）求模的最值51．（2023·全国·模拟预测）已知向量，的夹角为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．52．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______．53．（2023·山东青岛·统考三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．154．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（

）.A． B． C． D．（三）已知模求参数55．（2023·青海西宁·统考一模）已知向量，，若，则________．56．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）非零向量满足且与夹角为，则“”是“”的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件57．（2023春·全国·高三竞赛）已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（

）A． B． C． D．58．（2023·全国·高三专题练习）在中，，且对于，的最小值为，则（

）A． B． C． D．考点六平面向量的夹角问题59．【多选】（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知单位向量的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（

）A． B．C． D．60．（2023·全国·高三专题练习）在中，“”是“是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件61．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．62．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．63．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．64．（2023·辽宁·校联考二模）已知单位向量，满足，若向量，则（

）．A． B． C． D．65．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，若，，则，的夹角为（

）A． B． C． D．66．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______．67．（2023·全国·高三专题练习）已知向量、满足，且，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．68．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，且与的夹角为，则______.69．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．70．（2023·全国·高三专题练习）已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______71．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，请写出一个符合题意的的值：_____________．72．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________.73．（2023·海南海口·校联考一模）已知向量，，定义，则______．考点七平面向量的投影、投影向量（一）求向量的投影74．（2023·上海·高三专题练习）已知向量，，则在方向上的投影是_______________.75．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知向量，，则向量在上的投影等于（）A． B． C． D．776．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（

）A．2 B．4 C．-2 D．-477．（2023·全国·高三专题练习）平面上有两个非零向量和，则“在方向上投影大于0”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件78．（2023·浙江温州·统考二模）若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是______.（二）求向量的投影向量79．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．80．（2023·全国·高三专题练习）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．81．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____.82．（2023春·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.83．（2023·广东广州·统考模拟预测）设两个单位向量，的夹角为，若在上的投影向量为，则（

）.A． B． C． D．84．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，.若在方向上投影向量模长为，则实数为（

）A．-2 B．-1 C．±1 D．±2考点八平面向量与三角形“四心”85．（2023·全国·高三专题练习）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（

）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心86．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心87．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（

）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心88．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心89．【多选】（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（

）A．若，则点的轨迹不可能经过的外心B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心C．若，则点的轨迹不可能经过的重心D．若，，则点的轨迹一定过的外心90．【多选】（2023春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心91．（2023·全国·高三专题练习）已知是的外心，且，则______．考点九平面向量与其他知识的交汇92．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________.93．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（

）A．面积的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为94．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则（

）A． B． C． D．2考点十平面向量的应用95．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，则（

）A．1 B． C．2 D．396．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（

）A． B． C．13 D．2697．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形98．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为_____．99．（2023·上海·高三专题练习）在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则DB的长度为__．100．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.考点26平面向量的数量积及平面向量的应用10种常见考法归类考点一平面向量的数量积运算（一）定义法（二）基底法（三）坐标法（四）投影法（五）极化恒等式法考点二平面向量的数量积的最值问题考点三平面向量数量积的应用考点四平面向量的垂直问题考点五平面向量的模长问题（一）求向量的模（二）求模的最值（三）已知模求参数考点六平面向量的夹角问题考点七平面向量的投影、投影向量（一）求向量的投影（二）求向量的投影向量考点八平面向量与三角形“四心”考点九平面向量与其他知识的交汇考点十平面向量的应用1.向量的数量积(1)向量数量积的定义①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)向量的投影①定义：如图，设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，作如下的变换：过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，则称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．(3)平面向量数量积的几何意义的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．(4)向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a·e＝e·a＝|a|cosθ.注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量. ②a⊥b⇔a·b＝0.注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.④．注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.⑤．注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.(5)向量数量积运算的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(6)数量积的坐标表示已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)(7)数量积的有关结论(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.2.向量数量积的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且3.计算向量数量积的五种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．(4)投影法：在方向上的投影：在方向上的投影：所以使用条件：已知向量的一个模，未知的向量在已知向量上做投影（5）极化恒等式平面向量数量积的运算律：①②两式相加，有即，其几何表示为：在平行四边形中，，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。两式相减：即①-②得：，上式就是极化恒等式，转化为平行四边形模式如下：，表述了数量积可转化为可度量的平行四边形对角线的长度运算。它的几何意义是：向量的数量积可以表示为这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一倍。进一步思考，可将数量积直接转化为三角形的中线长来运算，可得极化恒等式的三角形模式。在中，为中点，则有极化恒等式——最显著的特征是两个向量必须能够转化为同起点的向量，它揭示了三角形的中线与边长的关系，搭起了向量与数量之间的桥梁，实现了向量与代数、几何的完美结合．使用极化恒等式求数量积最值的方法总结：①把两个向量转化为同起点向量；②构建三角形，取连接两向量终点的线段的中点，把数量积的最值转化为某个向量模的最值；③利用题目中的特殊条件找到动点的最佳位置，进而求最值.4.如何建立数量积问题与有效方法的对应关系？——“剪刀手”模型情况一：三个要素都缺失，一问三不知——转基底总结：将两个未知向量之间的数量积运算转化为两个确定模长和夹角的基底之间的四则运算情况二：知道一个向量，知道一个手指长——转投影总结：知道模长的那个向量就是地平线，学会做投影。情况三：知道指尖连线长——转极化总结：三角形模型：已知中线长或底边长情况四：啥都不定可建系——转坐标总结：建系只是选取了轴作为基底向量，用坐标运算而已坐标化通过计算可以弥补向量和几何的缺失，但是运算上损失的时间在在考试上也自然会体现出来。5.平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．6.平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．7.向量夹角问题的解答方法：（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．（4）求向量的夹角有两种方法：①定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．②公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．（5）已知向量夹角为锐角或钝角，求参数①向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线（同向）．②向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线．8.平面几何中的向量方法(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.(2)常用充要条件①G为△ABC重心的一个充要条件：eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②O为△ABC外心的一个充要条件：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))；③P为△ABC垂心的一个充要条件：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).9.平面向量与平面几何综合的有关结论(1)若eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))为非零向量，则给出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，等价于已知MA⊥MB；给出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＜0，等价于已知∠AMB是钝角或两向量反向共线；给出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＞0，等价于已知∠AMB是锐角或两向量同向共线.(2)给出λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(MA,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MA,\s\up6(→)))))＋\f(\o(MB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MB,\s\up6(→)))))))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，等价于已知MP是∠AMB的角平分线.(3)在▱ABCD中，给出(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，等价于已知▱ABCD是菱形；给出|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，等价于已知▱ABCD是矩形.10.向量与平面几何的综合问题往往要数形结合，借助平面几何的知识解题.根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：①基底法；②坐标法.11.平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.考点一平面向量的数量积运算（一）定义法1．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.【详解】由条件可知，所以，在中，由余弦定理，可得，，菱形的对角线互相垂直，则向量与向量的夹角为，则.故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，，，则______．【答案】9【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.【详解】由及，夹角为可知，又，解得，则，故，故答案为：93．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（

）A． B． C．12 D．72【答案】A【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.【详解】因为，且与夹角的余弦值为，所以.故选：A.（二）基底法4．（2023·上海·统考模拟预测）在中，，点是的中点，则___________.【答案】【分析】利用向量的加法和减法法则，将，分别用，表示出来，然后代入结论计算即可.【详解】在中，点是的中点，所以，，所以.故答案为：.5．（2023·全国·高三专题练习）在边长为6的正中，若点满足，则__________.【答案】【分析】以、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为，所以，，所以.故答案为：6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，边长为2的正三角形ABC中，，，则（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】D【分析】由，，用表示，然后利用数量积的运算律和定义求解.【详解】解：因为，，所以，，，所以，，，故选：D7．（2023·安徽淮南·统考二模）在△ABC中，已知，，，D是边AB的中点，点E满足，则（

）A． B．－1 C． D．【答案】C【分析】运用平面向量基本定理用基底、表示、，结合向量数量积运算即可求得结果.【详解】∵D为AB的中点，∴，∵，∴，即：，∴，∴如图所示，∴，∴.故选：C.8．（2023·北京朝阳·高三专题练习）已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】由已知可得且，根据已知投影向量可得，进而有，再由即可得求结果.【详解】由，故为中点，又O是的外心，易知：，且，由在上的投影向量，即，所以，由图，.故选：A9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.【答案】-3【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可【详解】因为，所以，所以，即，故答案为：-3（三）坐标法10．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量，则______．【答案】【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得.【详解】因为，，所以．故答案为：．11．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（

）A．3 B． C． D．4【答案】A【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到，，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得，所以，，所以.故选：A.12．（2023·河南开封·统考三模）等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且O为坐标原点，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的坐标表示计算数量积即可.【详解】如图所示，由题意易得，故可得，所以，故选：B13．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则______；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为______.

【答案】/5.25【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，结合平面向量的数量积公式和二次函数的性质即可求出.【详解】因为，，所以为等边三角形，因为，，所以在和中，，，则，得，，因为在中，，则，得，又，所以，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，，，，，，则；设，，，则，因为，所以时，的最小值为.故答案为：；.

14．【多选】（2023·山西临汾·统考二模）如图，矩形中，，若，点分别为边的中点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】建立平面直角坐标系，运用平面向量加法、数量积、向量夹角的坐标公式求解即可.【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴以A为原点，分别以AB、AD为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，，∴，，，，，对于A项，设，则，∴，，∴，故A项正确；对于B项，因为，所以与不垂直，故B项不成立；对于C项，，故C项正确；对于D项，，故D项不成立.故选：AC.15．（2023·四川达州·统考二模）如图，在等腰梯形中，，，，，，.则（

）A．62 B．38 C． D．【答案】A【分析】根据已知条件求出，，过作，垂足为，过作，垂足为，求出、、、、，以为原点，为轴，过且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系：根据，求出和的坐标，从而得和，再根据平面向量数量积的坐标运算可求出结果.【详解】在等腰梯形中，，，，所以，，过作，垂足为，过作，垂足为，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，，又，所以，以为原点，为轴，过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：则，，，，因为，所以，因为，所以，所以，，所以.故选：A（四）投影法16．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.【答案】【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.【详解】设与交于，则且是线段的中点，，由平面向量数量积的几何意义知，.故答案为：17．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知为圆O的一条弦，且，则（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】运用数量积定义及几何意义计算即可.【详解】取AB的中点E，连接OE，则，如图所示，因为，所以，所以.故选：D.18．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）在四边形ABCD中，，作于点H．若，则（

）A． B．10 C． D．12【答案】D【分析】设AC与BD交于点O，由已知可得，则，且即可求结果.【详解】设AC与BD交于点O，因为，所以．又于点H，且，所以，所以．故选：D19．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】连结、，则有，，根据求解即可.【详解】解：连结、.则，.所以..因为，所以.故选：.（五）极化恒等式法20．【多选】（2023·安徽淮北·统考二模）已知点，点在上运动，边长为的正方形的顶点位于圆外，则的值可能是（

）A．0 B． C．8 D．10【答案】ABC【分析】利用极化恒等式结合图形求数量积最大值，再逐一判断选项即可.【详解】如图所示，取CE中点F，连接BF，则由题意可得：，由极化恒等式可得当三点共线且时，，即，故C正确，且排除D项；对于B项，当三点共线且比较接近时，此时存在，故B正确；当重合时，易得，此时，故A正确；故选：ABC21．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点.(1)若，求的面积；(2)若，求的值.【答案】(1)10(2)240【分析】（1）利用数量积的定义求出，根据同角关系求出，代入三角形面积公式即可求解；（2）先利用极化恒等式得，由得，代入极化恒等式求解即可.【详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以，所以；（2）因为，，由极化恒等式得，所以，又，所以，由极化恒等式得.22．（2023·全国·高一专题练习）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用极化恒等式求解即可.【详解】取OC中点D，由极化恒等式得又，∴的最小值为．故选:C.考点二平面向量的数量积的最值问题23．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值是_____________．【答案】【分析】由题意，均在圆心为原点，半径为的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值求解即可.【详解】解：由题知，三点共圆，圆心为坐标原点，半径为，所以，，设，数形结合可得在上的投影，所以，，即，故当，时有最小值，此时.当时，时有最大值，所以，综上，的取值范围是，所以，的最小值是故答案为：24．（2023·河南安阳·统考三模）已知菱形的边长为，，为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，其中，将、用基底表示，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的最小值.【详解】设，其中，由平面向量数量积的定义可得，，因为为菱形的中心，则，所以，，因此，的最小值为.故选：C.25．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由数量积的几何意义，先求在上的投影的取值范围，再乘以，则可得到的取值范围.【详解】如图，延长，过点做交的延长线于点.因为，，,所以.由图可知当在点处时，在上的投影有最大值1，当在点处时，在上的投影有最小值，又因为，所以的取值范围是.故选：D26．（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（

）A．2 B．C． D．4【答案】B【分析】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD的边长为2，，所以,，设，则，因为，所以,,,当时，的最大值为.故选：B.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出，结合向量数量积定义和运算即可.27．（2023·新疆·校联考二模）已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】把三个向量平移到同起点，由向量运算及得，从而，又由得点在以为圆心半径为1的圆面上（包括边界），利用数量积的几何意义求得，再利用三角形相似求OD长度即可求出最值.【详解】设，，，，，则如图所示，因为，所以，即，所以，因为，，所以，，由，可得点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），过圆周上一点作的垂线，垂足为，且与相切，延长交于，则，此时∽，根据相似知识可得，所以，所以的最大值为，故选：D.28．（2023·全国·高三专题练习）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________.【答案】【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围.【详解】，且.即设与的夹角为，则.因为，所以.故答案为：29．（2023·全国·高三专题练习）在中，，．设，且（），则当取最小值时，______．【答案】7【分析】根据条件建立合适的直角坐标系，根据向量的坐标表示计算数量积，转化为函数最值求参数即可.【详解】由已知得点D是AC的中点．设，则由知．以为原点，分别以CB，CA所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，如图，则，，，，所以直线BD的方程为．易知点在直线BD上运动．设，则，，，所以，所以．故当时，取得最小值．此时，则，．由，得．故答案为：7考点三平面向量数量积的应用30．（2023·云南·校联考二模）在梯形中，，,，为的中点，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量数量积的运算在AB上的射影为AB中点可得.【详解】如图，为的中点，连接，，，，，所以在上的投影为，所以,又因，,所以四边形为矩形.故，即.故选：C．31．（2023·全国·高三专题练习）已知中，分别是角的对边，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用余弦定理得，再利用向量数量积公式求得，最后利用三角形面积公式即可.【详解】由余弦定理得，因为，所以，又，所以，则，则，故选：C.32．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．【答案】【分析】先应用外心是垂直平分线的交点,再应用数量积的几何意义求得和列出方程组求解即可.【详解】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．由数量积的几何意义，可得，．依题意有，即．同理，即．将两式相加得，所以．故答案为:.33．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且，若AD与BE交于M，若，则正三角形ABC的边长为（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根据已知建立平面直角坐标系，利用向量共线和向量的数量积的坐标表示进行计算求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设正三角形ABC的边长为，则，因为，所以，，，设，所以，，因为点三点共线，所以，解得，所以，所以，，由有：，解得，所以的边长为，故A，C，D错误.故选：B.34．（2023·全国·高三专题练习）在中，已知，，在方向上的投影为，P为线段上的一点，且.则的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【分析】先求出，，根据三点共线得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为，在方向上的投影为，所以，解得：.因为，所以，即，所以，解得：.因为P为线段上的一点，且，所以，即.所以（当且仅当时取等号）.所以的最小值为4.故选：B考点四平面向量的垂直问题35．（2023·全国·高三专题练习）设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用定义法进行判断即可.【详解】充分性：因为向量均为单位向量，且“”，所以，即，即所以，所以.即充分性满足；必要性：因为，所以.而，所以，所以.即必要性满足.故选：C36．（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量，，，满足，若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由，可得，后结合与可得答案.【详解】由得，所以，即.因为，所以，又将代入，整理得，解得.故选：D．37．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知两个单位向量，满足与垂直，则（

）A． B．

C．

D．【答案】B【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.【详解】依题意可得，即，则.故选：B38．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知，若，则______.【答案】【分析】根据建立等式即可求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：.39．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量，若，则___________.【答案】/【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.【详解】由题意可得，因为，则，解得.故答案为：40．（2023·山西运城·统考三模）已知向量满足，且，则实数（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或【答案】D【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解.【详解】所以，因为，所以，解得或，故选：D.41．（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为__________．【答案】/【分析】由于，所以由构成的平行四边形对角线相等，故为矩形，所以，再运用数量积计算即可.【详解】，由构成的平行四边形为矩形，即，则，解得；故答案为：.42．（2023·全国·高三专题练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若向量，，且，则______【答案】【分析】由正弦定理边化角结合余弦定理可得，由垂直向量的坐标表示，结合余弦定理可求得，结合内角和为，即可得出答案.【详解】由，结合正弦定理得，即，又由余弦定理，所以，则或．因为A，，且，所以，故．因为，所以，结合正弦定理得，即，由余弦定理可得，则，则有，解得．故答案为：.考点五平面向量的模长问题（一）求向量的模43．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）已知向量的夹角为，，则（

）A． B． C． D．7【答案】C【分析】根据向量的数量积的定义及运算性质求解.【详解】因为向量的夹角为，，所以，所以．故选：C44．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知向量，夹角为，且，，则（

）A．3 B． C．4 D．5【答案】D【分析】将方程两边平方，然后结合数量积的定义可算出答案.【详解】因为向量，夹角为，且，，所以，解得，故选：D45．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若向量，满足，，，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】由数量积运算和运算律求解即可.【详解】，，，，，，，．故选：B．46．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知两个非零向量的夹角为，且，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由化简可得，再由向量的模长公式代入化简即可得出答案.【详解】因为非零向量的夹角为，且，所以，即，化简得：，.故选：C.47．（2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）已知向量，的夹角为60°，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对两边同时平方可得，由模长的计算公式代入可判断A，B；由向量夹角计算公式可判断C，D.【详解】由可得：，可得：，，对于A，，故A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，，,故，故C正确；对于D，，,，故D不正确.故选：C.48．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．【答案】【分析】根据数量积的坐标表示求出，即可求出的坐标，再利用坐标法求出模.【详解】因为，且，所以，解得，所以，所以，所以.故答案为：49．（2023·河北衡水·模拟预测）已知平面向量满足，则（

）A． B． C． D．33【答案】C【分析】根据题意，由平面向量模长的计算公式，代入计算即可得到结果.【详解】因为，所以，则，所以，即.故选：C.50．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，，M为线段BC的中点，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，可得，再利用数量积的定义及运算律求解作答.【详解】在中，M为线段BC的中点，则有，由，，，得，所以.故选：B（二）求模的最值51．（2023·全国·模拟预测）已知向量，的夹角为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，由已知条件得，把等式改写为关于的方程，方程有解，判别式，可求的最大值.【详解】向量，的夹角为，，则有，设，，∴，即，存在，方程有解，则有，解得，则的最大值为.故选：B52．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______．【答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】设、的夹角为，因为在方向上的数量投影为，所以，因此，因此，所以，，因此有，因为，所以当时，有最小值，最小值为，故答案为：1053．（2023·山东青岛·统考三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】建立平面坐标系，用坐标表示，，，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】由题意不妨设，则，且，解之得或，由，即的终点C在以为圆心，1为半径的圆上，故，由圆的对称性，不妨令，即，连接AD交圆于E，由点与圆的位置关系可知.故选：A

54．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】设出，由得到C在以为直径的圆上，表达出，设，利用辅助角公式得到的最值.【详解】令，不妨，所以中点坐标为，因为，所以C在以为直径的圆上，即，所以，令，则，因为，所以，所以.故选：C.（三）已知模求参数55．（2023·青海西宁·统考一模）已知向量，，若，则________．【答案】【分析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得，故答案为：.56．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）非零向量满足且与夹角为，则“”是“”的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由题意，若，根据向量的数量积和模的计算公式，可得，得到，；反之也可求得，即可得到答案.【详解】由题意，非零向量满足且与夹角为，若，即，解得，又因为，可得，即充分性是成立的；若，由，可得，即必要性是成立的，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记向量的数量积的运算，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.57．（2023春·全国·高三竞赛）已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知得出，即可根据二次函数最值问题得出时，取得最小值，即取得最小值，再根据已知列式解出，即可根据同角三角函数关系得出答案.【详解】平面向量，满足，，则，，，则时，取得最小值，即取得最小值，故，解得：，则，故选：B.58．（2023·全国·高三专题练习）在中，，且对于，的最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量垂直可得其数量积为零，即，易知当时，取最小值，联立解方程组可得，，由余弦定理计算可得结果.【详解】设中角所对的边分别为，因为，所以．又因为，所以，故，即（1）．因为，所以当时，取最小值，即，所以，故，所以，负值舍去，则，代入（1）式得，所以．故选：D考点六平面向量的夹角问题59．【多选】（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知单位向量的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】当时即可判断A，将两边平方，得到，从而求出即可判断B选项，利用向量数量积的运算展开即可判断的值或范围即可得到C选项，由得，当即可判断选项D.【详解】若，则可能为，A选项不是为钝角的充分条件，故A不正确，若，两边平方得，即向量的余弦值为，所以，B选项是为钝角的一个充分条件；故B选项正确，若，则，即向量的余弦值为，所以且为钝角，，C选项是为钝角的充分条件，故C选项正确，若，两边平方得，当时满足题意所以不一定为钝角，D不是为钝角的充分条件，故D不正确，故选：BC.60．（2023·全国·高三专题练习）在中，“”是“是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由得，充分性成立，是钝角三角形，钝角不一定是角，必要性不成立，即可得答案.【详解】解：设与的夹角为，因为，即，所以，，又为内角的补角，所以，是钝角三角形；当为钝角三角形时，不一定是钝角．所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，考查向量数量积的概念，是基础题.61．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂直的向量表示求出的表达式，再利用向量夹角公式求解作答.【详解】因为与垂直，则，即，化简得，而，则．又，有，所以与的夹角为.故选：B62．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．【答案】【分析】根据题意可得，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.【详解】由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即与的夹角为.故答案为：.63．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.【详解】∵在上的投影向量为，，，又是两个单位向量，即，.故选：.64．（2023·辽宁·校联考二模）已知单位向量，满足，若向量，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】计算出及，利用向量余弦夹角公式计算，再利用平方关系求出.【详解】因为，是单位向量，所以，又因为，，所以，，所以，因为，所以.故选：A.65．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，若，，则，的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，的夹角为，由数量积的定义和模长公式求解即可.【详解】设，的夹角为，，则，由可得：，则，所以，解得：.因为，故.故选：D.66．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______．【答案】【分析】由可得，，后由向量夹角的坐标表示可得答案.【详解】，则，则，又，则故答案为：.67．（2023·全国·高三专题练习）已知向量、满足，且，，则向量与的夹角为（

）A．