高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.9直线与圆的方程大题专项训练(30道)(原卷版+解析)

专题2.9直线与圆的方程大题专项训练（30道）【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）已知圆C过三个点0,2,1,1,2,2，过点P2,0引圆C的切线，求：(1)圆C的一般方程；(2)圆C过点P的切线方程.2．（2023春·河北张家口·高二校考阶段练习）已知一圆C的圆心为2,−1，且该圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22(1)求该圆的方程；(2)求过点P4,33．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x+y−1=0相切于点P2,−1(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.4．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆C经过点A(1,2)和B(5,−2)，且圆C关于直线2x+y=0对称．(1)求圆C的方程；(2)过点D(−3,1)作直线l与圆C相切，求直线l的方程．5．（2023春·河南信阳·高二校考阶段练习）已知直线l:mx−y+1−m=0和圆(1)求证：对任意实数m，直线l和圆C总有两个不同的交点；(2)设直线l和圆C交于A，B两点.①若|AB|=17，求l②求弦AB的中点M的轨迹方程.6．（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；(2)求桥面在圆拱内部分CD的长度.（结果精确到0.1m7．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆P过两点M(0,2)，N(3,1)，且圆心P在直线(1)求圆P的方程；(2)过点Q(−1,2)的直线交圆P于A,B两点，当AB=23时，求直线8．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知圆C1:(x+3)2+(1)求圆C2(2)直线3x+4y+m−5=0与圆C2相交于M,N两点，且△MC2N的外接圆的圆心在9．（2023秋·高一单元测试）已知以点Ct,2tt∈R,t≠0为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、(1)试写出圆C的标准方程；(2)设直线y=−2x+4与圆C交于M，N两点，若OM=ON，求圆10．（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知圆C：(1)若直线l1过定点A1，1，且与圆(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x−y+2=0上，且与圆C外切，求圆11．（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，圆C过点A(4,0)，B(2,2)，且圆心C在x+y−2=0上．(1)求圆C的方程；(2)若已知点P(4,23)，过点P作圆12．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆心为C的圆经过A0,3，B1,2两点，且圆心C在直线(1)求圆C的标准方程；(2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线方程．13．（2023秋·高一单元测试）已知直线l：y=kx+22与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A，B两点，O

(1)求k的取值范围；(2)△ABO的面积为S，求S的最大值，并求取得最大值时k的值．14．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆C的圆心在直线2x+y−4=0上，且与y轴相切于点O0,0(1)求圆C的方程；(2)已知过点P1,3的直线l被圆C截得的弦长为23，求直线15．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x−m2+y−(1)当m=−1时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)对于P−2,2，若圆C上存在点M，使MP=MO16．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆E经过点A(0,1)，B(1,4)，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线x−5y−5=0与直线x−2y−8=0的交点C；②圆E恒被直线l:(m+1)x+(m−3)y−6m−2=0(m∈R)平分；③与y轴相切.(1)求圆E的方程；(2)求过点P(10,11)的圆E的切线方程.17．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）已知直线l过点P1,−1在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.①与圆(x+1)2+y2=5相切；②倾斜角的余弦值为5(1)求直线l的一般式方程；(2)若直线l与曲线C:x2+y2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2+(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.19．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x−3(1)求圆O的方程；(2)若已知点P(3，2)，过点P作圆20．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知圆C：x−32(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)设直线l：x=my+2①求证：直线l与圆C恒相交；②若直线l与圆C交于A，B两点，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．21．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1:x2+y2+12x−14y+60=0.设圆O2(1)求圆O2(2)设垂直于OO2的直线l与圆O1相交于B，C两点，且BC22．（2023春·上海徐汇·高二校考期中）已知圆M方程为x2+y−22=1，直线l的方程为x−2y=0，点P在直线l上，过P作圆M的切线PA、PB(1)若P点坐标为0,0，求(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．23．（2023春·广西柳州·高二校考期中）已知圆C：x2+y−12=5(1)设直线l与圆C相交于A,B两点，且AB=17，求直线(2)设直线l与圆C相交于A,B两点，求弦AB中点的轨迹方程.24．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知圆C:x(1)若直线l过点−2,0且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足PM=PO，求点25．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知直线l：y=kxk≠0与圆C：x2+y2(1)若AB=13，求(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．26．（2023春·四川内江·高二校考开学考试）已知点P0,2，设直线l：y=kx+b（b，k∈R）与圆C:x2+y2(1)若PA⊥PB，求b的值；(2)若|AB|=23，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l(3)当|PA|⋅|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.27．（2023春·安徽安庆·高二校考期中）已知半径小于6的圆C过点A8,1，且圆C(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C与直线l:x−y+m=0交于A,B两点，__________，求m的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120∘；条件②：注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．28．（2023春·上海黄浦·高二校考期中）已知直线l:x=my−1，圆C:x(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当29．（2023春·上海嘉定·高二校考期中）已知过点A−1,0的直线l与圆C:x2+y−32=4相交于P、Q两点，M是弦PQ(1)当直线l与直线m垂直时，求证：直线l经过圆心C；(2)当弦长PQ=23时，求直线(3)设t=AM⋅AN，试问t30．（2023春·江西宜春·高二校联考期中）已知半径为83的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C(1)求圆C的标准方程．(2)已知A0,−1，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点(3)在（2）的条件下，若点D4,6，试求1

专题2.9直线与圆的方程大题专项训练（30道）【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）已知圆C过三个点0,2,1,1,2,2，过点(1)圆C的一般方程；(2)圆C过点P的切线方程.【解题思路】（1）设圆C的一般方程为x2（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，再结合点线距离公式即可求解.【解答过程】（1）设圆C的一般方程为x2代入三个点0,2,1,1,2,2所以圆C的一般方程为x2（2）圆C的一般方程化为标准形式为(x−1)2当切线斜率不存在时，易知切线方程x=2符合题意.当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx−2，即kx−y−2k=0则依题意可得k−2−2kk2+1此时切线方程为−34x−y+综上所述，圆C过点P的切线方程为x=2和3x+4y−6=0.2．（2023春·河北张家口·高二校考阶段练习）已知一圆C的圆心为2,−1，且该圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22(1)求该圆的方程；(2)求过点P4,3【解题思路】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程；（2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程.【解答过程】（1）设圆C的方程为x−22∵圆心到直线x−y−1=0的距离为d=2+1−1又圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22，∴∴圆的方程为：x−22（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4，满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程为y−3=kx−4，即kx−y−4k+3=0由2k+1−4k+3k2+1=2得：k=34，综上所述：过点P4,3的圆的切线方程为x=4或3x−4y=03．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x+y−1=0相切于点P2,−1(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.【解题思路】（1）求出过点P2,−1且与直线x+y−1=0垂直的直线方程，与y=−2x联立求出圆心M，根据两点间的距离求出半径，即可得圆M（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.【解答过程】（1）过点P2,−1且与直线x+y−1=0垂直的直线方程为x−y−3=0联立x−y−3=0y=−2x，解得x=1y=−2，所以所以圆M的半径为MP=所以圆M的方程为x−12

（2）由（1）可知圆M的方程为x−12因为直线l被圆M截得的弦长为6，所以M到直线l的距离为d=2−若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；若直线l的斜率存在，设方程为y=kx，则d=k+2k2+1=22所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0.

4．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆C经过点A(1,2)和B(5,−2)，且圆C关于直线2x+y=0对称．(1)求圆C的方程；(2)过点D(−3,1)作直线l与圆C相切，求直线l的方程．【解题思路】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与2x+y=0的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可；（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.【解答过程】（1）∵A(1,2)，B(5,−2)，故AB的中点坐标为3,0，kAB∴AB的垂直平分线为：y−0=−1由y=x−32x+y=0解得圆心C(1,−2)，半径故圆C的方程为(x−1)2（2）若直线l的斜率存在，方程可设为y−1=kx+3，即圆心C(1,−2)到直线l的距离为d=k+2+3k+11+k所求的一条切线为7x−24y+45=0；当直线l的斜率不存在时，圆心C(1,−2)到x=−3的距离为4，即x=−3与圆相切，所以直线l的方程为x=−3和7x−24y+45=0．5．（2023春·河南信阳·高二校考阶段练习）已知直线l:mx−y+1−m=0和圆(1)求证：对任意实数m，直线l和圆C总有两个不同的交点；(2)设直线l和圆C交于A，B两点.①若|AB|=17，求l②求弦AB的中点M的轨迹方程.【解题思路】（1）解法1，联立消元，根据Δ>0解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明；解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明；（2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可；②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数m，即可得解；【解答过程】（1）解法1：将y=1+m(x−1)代入x2得1+m2x故直线l和圆C总有两个不同的交点.解法2：圆心C(0,1)到直线l的距离d=|m|于是直线l和圆C总有两个不同的交点.解法3：由已知，直线l:m(x−1)−(y−1)=0，令x−1=0−y−1=0所以直线l恒过定点P(1,1)，因为PC=12+(1−1)于是直线l和圆C总有两个不同的交点.（2）①圆心C(0,1)到直线l的距离d=|m|由弦长公式AB=2r2−d即直线l的斜率为±3，于是l的倾斜角为π3或②将y=1+m(x−1)代入x2得1+m2x2−2m2所以x1+x则xM=x所以x=m消去m得x−1即x2+y6．（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；(2)求桥面在圆拱内部分CD的长度.（结果精确到0.1m【解题思路】（1）先找到合适的垂直关系建立平面直角坐标系，再根据圆的几何关系列出方程求解半径并写出方程即可；（2）根据圆的方程，代入纵坐标求解横坐标即可.【解答过程】（1）设圆拱所在圆的圆心为G，以H为原点，AB方向为x轴正方向，AB中垂线向上为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.

设CD与y轴交于E点，AB与y轴交于F点，连接GA设圆的半径为r，则AF=250，GF=r−100，在直角△AFG中，AF2所以2502+r−100所以G0,−所以圆拱方程为x2+y+（2）由题意得，HE=50令y=−50，得x2所以x2所以x=±756，所以CD所以桥面在圆拱内部分CD的长度约为367.4m.7．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆P过两点M(0,2)，N(3,1)，且圆心P在直线(1)求圆P的方程；(2)过点Q(−1,2)的直线交圆P于A,B两点，当AB=23时，求直线【解题思路】（1）依题意可设圆P的方程为(x−a)2+(y−a)2=r2(r>0)，圆（2）由弦长AB=23，可得圆心P(0,0)到直线AB的距离为1，当直线AB的斜率不存在时验证即可，当直线AB的斜率存在时，设出直线【解答过程】（1）依题意圆心P在直线y=x上，可设圆P的方程为(x−a)2因为圆P过两点M(0,2)，N(3所以(0−a)2+(2−a)所以圆P的方程为x2（2）由（1）可知，圆心P(0,0)，半径r=2，当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=−1，圆心P(0,0)此时AB=2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y−2=k(x+1)，即kx−y+k+2=0，当AB=23时，圆心P(0,0)到直线AB的距离即有d=k+2k2此时直线AB的方程为y−2=−34(x+1)综上，直线AB的方程为x=−18．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知圆C1:(x+3)2+(1)求圆C2(2)直线3x+4y+m−5=0与圆C2相交于M,N两点，且△MC2N的外接圆的圆心在【解题思路】（1）设C2m,n，由题意可得（2）由题意可得△MC2N是锐角三角形，令C2到MN的距离为【解答过程】（1）设C2m,n，则解得m=3,所以圆C2的标准方程为(x−3)（2）因为△MC2N所以△MC又∵△MC2N∴∠MC∴令C2到MN的距离为d，则r⋅∴2<m解得：m∈−10

9．（2023秋·高一单元测试）已知以点Ct,2tt∈R,t≠0为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、(1)试写出圆C的标准方程；(2)设直线y=−2x+4与圆C交于M，N两点，若OM=ON，求圆【解题思路】（1）先设出圆的方程，根据圆所过点可得方程；（2）由OM=ON可得【解答过程】（1）设圆的方程为x−t2因为圆经过原点，所以r2即圆的标准方程为：x−t2（2）设线段MN的中点为P，因为OM=ON，所以由圆的性质可得CP⊥MN，所以OC⊥MN.所以2t−0t−0当t=−2时，显然直线和圆不相交，不合题意；当t=2时，符合题意；所以圆的方程为：x−22

10．（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知圆C：(1)若直线l1过定点A1，1，且与圆(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x−y+2=0上，且与圆C外切，求圆【解题思路】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.【解答过程】（1）圆C：化为标准方程为(x−3)2所以圆C的圆心为3，4①若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y−1=k(x−1)．由题意知，圆心3，4到已知直线所以|3k−4−k+1|k2+1解得k=512综上，所求直线l1的方程为x=1或（2）依题意，设D(a,a+2)．又已知圆C的圆心为3，由两圆外切，可知CD=3+2=5所以(a−3)解得a=−1或a=6．所以D(−1,1)或D(6,8)所以所求圆D的方程为(x+1)211．（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，圆C过点A(4,0)，B(2,2)，且圆心C在x+y−2=0上．(1)求圆C的方程；(2)若已知点P(4,23)，过点P作圆【解题思路】（1）根据题意，求出AB的中垂线方程，与直线2x−y−4=0联立，可得圆心C的坐标，求出圆的半径，即可得答案；（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．【解答过程】（1）因为圆C过A(4,0),B(2,2)，则AB的中垂线过圆心C，设AB的中点为M，则M(3,1)，因为kAB=4−20−2=−1，所以AB又圆心在x+y−2=0，联立x+y−2=0y=x−2，解得x=2因此圆心C(2,0)，半径r=OA所以圆C的方程为(x−2)2

.（2）因为(4−2)2+232过P(4,23)作圆若切线斜率不存在时，则切线方程为x=4，满足与圆C相切，若切线斜率存在时，设切线方程y−23=k(x−4)，即则23−2k1+所以切线方程为33x−y−4×3综上：切线方程为x=4或x−312．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆心为C的圆经过A0,3，B1,2两点，且圆心C在直线(1)求圆C的标准方程；(2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线方程．【解题思路】（1）求出线段AB的中垂线方程与直线l的方程联立方程组求得圆心坐标，再求出半径即得圆标准方程，也可用一般方程求解．（2）设出直线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得参数值，得切线方程．【解答过程】（1）A,B的中点为12,52，kAB由垂径定理可知，圆心C在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组x+y=0,x−y+2=0的解，解之得所以圆心C的坐标是−1,1，圆的半径r=AC所以圆C的标准方程是x+12（2）设所求直线方程为x+y+b=0，圆心C到直线x+y+b=0的距离d=b所以b=10，即b=±1013．（2023秋·高一单元测试）已知直线l：y=kx+22与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A，B两点，O

(1)求k的取值范围；(2)△ABO的面积为S，求S的最大值，并求取得最大值时k的值．【解题思路】（1）解法一：通过圆心到直线的距离小于半径且k≠0列出不等式求解即可；解法二：联立方程，令Δ＞0得到不等式求解，结合k≠0（2）先求出高和弦长，通过三角形面积公式直接代入求解面积，通过换元，结合二次函数性质即可得到答案.【解答过程】（1）解法一：由题意知：圆心到直线的距离d=2因为直线l与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，所以0＜22kk2+1所以k的取值范围为−1,0∪解法二：联立y=kx+22Δ=32k4因为A，B，O三点构成三角形，所以k≠0所以k的取值范围为−1,0∪（2）直线l：y=k(x+22)，即点O到直线l距离：d=2所以AB所以S=12AB⋅d=1设k2+1=tt≥1所以S=42所以当1t=34，即t=所以S的最大值为2，取得最大值时k=±314．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆C的圆心在直线2x+y−4=0上，且与y轴相切于点O0,0(1)求圆C的方程；(2)已知过点P1,3的直线l被圆C截得的弦长为23，求直线【解题思路】（1）分析可知圆心C在直线y=0上，将直线2x+y−4=0与直线y=0的方程联立，可求得圆心的坐标，进而可求得圆C的半径，由此可得出圆C的方程；（2）求出圆心到直线l的距离，对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l的斜率不存在的情况下，直接检验即可；在直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，根据圆心到直线l的距离求出直线l的斜率，综合可得出直线l的方程.【解答过程】（1）解：因为圆C与y轴相切于点O0,0，所以圆心C在直线y=0又因为圆C的圆心在直线2x+y−4=0上，由2x+y−4=0y=0，解得x=2y=0，即C2,0，圆C所以，圆C的方程为x−22（2）解：设圆心C到直线l的距离为d，则d=r当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时d=1，满足条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y−3=kx−1即kx−y+3−k=0．因为圆心为C2,0，所以圆心C到直线l的距离为d=整理可得k2+6k+9=k所以，直线l的方程为4x+3y−13=0．综上所述，直线l的方程为x=1或4x+3y−13=0.15．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x−m2+y−(1)当m=−1时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)对于P−2,2，若圆C上存在点M，使MP=MO【解题思路】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；（2）要使得MP=MO，则M在线段OP的中垂线上，从而可得线段OP的中垂线与圆【解答过程】（1）当m=−1时，圆C的方程为x+12圆心C−1,−5，半径r=1①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，满足条件；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，由直线l与圆C相切，则−k+5k2+1所以l的方程为y=125x综上得，直线l的方程为x=0或12x−5y=0；（2）圆心Cm,2m−3，k则线段OP的中垂线的方程为y−1=x+1，即y=x+2，要使得MP=MO，则M在线段所以存在点M既要在y=x+2上，又要在圆C上，所以直线y=x+2与圆C有公共点，所以m−2m+3+22≤1，解得所以m∈5−

16．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆E经过点A(0,1)，B(1,4)，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线x−5y−5=0与直线x−2y−8=0的交点C；②圆E恒被直线l:(m+1)x+(m−3)y−6m−2=0(m∈R)平分；③与y轴相切.(1)求圆E的方程；(2)求过点P(10,11)的圆E的切线方程.【解题思路】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论求解即可.【解答过程】（1）选择①：联立x−5y−5=0x−2y−8=0，解得x=10y=1，所以设圆E的方程为x2+y因为A，B，C三点均在圆上，所以1+E+F=017+D+4E+F=0101+10D+E+F=0，解得所以圆E的方程为x2+y选择②：直线l的方程可化为m(x+y−6)+(x−3y−2)=0，因为m∈R上式恒成立，所以x+y−6=0x−3y−2=0，解得x=5所以直线l恒过定点(5,1)，且(5,1)为圆心E，所以r=|EA|=(5−0)所以圆E的方程为(x−5)2选择③：设圆E的方程为(x−a)2由题可得a2+(1−b)故圆E的方程为(x−5)2（2）因为(10−5)2+(11−1)2=125>25①若直线斜率不存在，直线方程为x=10，圆心E5,1到直线x=10②当直线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y−11=k(x−10)，即kx−y−10k+11=0，因为直线与圆E相切，所以圆心E到直线的距离d=|5k−1−10k+11|所以k=34，所以直线的方程为综上可得：过点P(10,11)的圆E的切线方程为x=10或3x−4y+14=0.

17．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）已知直线l过点P1,−1在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.①与圆(x+1)2+y2=5相切；②倾斜角的余弦值为5(1)求直线l的一般式方程；(2)若直线l与曲线C:x2+y2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】（1）选①，先得到点P在圆(x+1)2+y2=5上，从而根据垂直关系求出直线l的斜率，得到直线l的一般式方程；选②，求出tanα=2，从而得到直线l的一般式方程；选③，根据直线（2）求出圆心C到直线l的距离，利用垂径定理求出弦长.【解答过程】（1）若选①：因为(1+1)2+−12=5且圆心−1,0与P连线的斜率为−1−01−因为直线l与圆(x+1)2+y所以直线l的一般式方程为2x−y−3=0；若选②：设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，由cosα=故直线l的斜率k=tan所以直线l的一般式方程为2x−y−3=0；若选③：因为直线l的一个方向向量为a=−2,−4，所以l的斜率所以直线l的一般式方程为2x−y−3=0;（2）曲线C:x2+故C为圆，圆心为C3,1，半径为r=2则圆心C到直线l的距离为d=6−1−3所以弦长MN=218．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2+(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.【解题思路】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证；（2）根据直线垂直于l⊥CP时，AB有最小值可解.【解答过程】（1）直线2+kx+1+ky+k=0联立x+y+1=02x+y=0解得x=1y=−2所以不论k取何值，直线l必过定点圆C:x2+y2因为PC=(1−0)2+(−2−0)则直线l与圆C恒有两个交点.（2）直线l经过圆C内定点P1,−2，圆心C记圆心到直线l的距离为d.因为AB=2r2−d所以当直线l⊥CP时，被圆C截得的弦AB最短，此时AB=2因为kCP=−2−01−0=−2，所以直线l的斜率为1所以当AB取得最小值时，直线l的方程为y+2=12x−1综上：AB最小值为211，此时直线l方程为x−2y−5=0

19．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x−3(1)求圆O的方程；(2)若已知点P(3，2)，过点P作圆【解题思路】（1）根据圆与直线x−3（2）判断切线斜率存在，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求得切线斜率，即得答案.【解答过程】（1）由题意知以原点O为圆心的圆与直线x−3故圆的半径为r=|−4|故圆的方程为x2（2）当过点P(3，2)的直线斜率不存在时，为x=3与圆故过点P(3，2)作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为即kx−y−3k+2=0，则|−3k+2|k2+12故切线方程为12x−5y−26=0或y−2=0．20．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知圆C：x−32(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)设直线l：x=my+2①求证：直线l与圆C恒相交；②若直线l与圆C交于A，B两点，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．【解题思路】（1）根据圆的标准方程，即可得解；（2）①易知直线l恒过点N(2,0)，计算|CN|的长，并与圆C的半径比较大小，即可得证；②设M(x,y)，其中y≠0，由CM⊥MN，结合平面向量数量积的坐标运算，即可得解．【解答过程】（1）由圆的标准方程x−32+y2=4知，圆C（2）①证明：直线l:x=my+2恒过点N(2,0)，因为|CN|2=(2−3)2+02=1<4②解：设M(x,y)，其中y≠0，则CM=(x−3,y)，MN由垂径定理知，CM⊥MN，

所以CM⋅MN=(x−3)(2−x)−y2所以点M的轨迹方程为x−522+y2=21．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1:x2+y2+12x−14y+60=0.设圆O2(1)求圆O2(2)设垂直于OO2的直线l与圆O1相交于B，C两点，且BC【解题思路】（1）由题意求出圆O1，圆O2的圆心和半径，由两圆外切，可得（2）由BC=37，可求出圆心O1到直线【解答过程】（1）圆O1：x则圆O1的标准方程为x+6即圆O1的圆心坐标为−6,7，半径为5因为圆O2与x轴相切，与圆O1外切，则圆心O2−6,n，则圆O2的半径为n则7−n=5+n，解得n=1，即圆O2的标准方程为x+6（2）由（1）知O2（﹣6，1），则kO所以直线l的斜率为6，设直线l的方程为y=6x+m，因为BC=37，则圆心O1到直线l的距离所以−6×6−7+m36+1=372，解得所以直线l的方程为y=6x+1232或22．（2023春·上海徐汇·高二校考期中）已知圆M方程为x2+y−22=1，直线l的方程为x−2y=0，点P在直线l上，过P作圆M的切线PA、PB(1)若P点坐标为0,0，求(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【解题思路】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案；（2）设P2m,m【解答过程】（1）因为点P坐标为0,0，所以又因为MA=MB=1，所以∠MPA=∠MPA=30°,故（2）设P2m,m,MP的中点Qm所以经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，故其方程为x−m化简得x2由x2+y2所以经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点45

23．（2023春·广西柳州·高二校考期中）已知圆C：x2+y−12=5(1)设直线l与圆C相交于A,B两点，且AB=17，求直线(2)设直线l与圆C相交于A,B两点，求弦AB中点的轨迹方程.【解题思路】（1）由弦长得圆心到直线l的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程；（2）设动点Mx,y【解答过程】（1）圆C的圆心为C0,1,半径为5设圆心到直线l的距离为d，因为AB=17，则25−所以mm2+1故直线l方程为3x−y+1−3=0（2）直线l：y=m(x−1)+1，过定点P1,1设弦AB的中点Mx,y，则PM所以(x−1)x+(y−1)2=0所以弦AB的中点的轨迹方程为x−1

24．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知圆C:x(1)若直线l过点−2,0且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足PM=PO，求点【解题思路】（1）讨论直线l是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解；（2）根据题意以及几何关系，求得点P的轨迹方程，【解答过程】（1）根据题意，圆C的方程为：x+12+y−22=2当直线l的斜率不存在时，其方程为x=−2，此时直线l与圆C的交点为A−2,1，B−2,3，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+2，即kx−y+2k=0则圆心C到直线l的距离d=−k−2+2kk2所以直线l的方程为3x−4y+6=0，综上，直线l的方程为x=−2或3x−4y+6=0；（2）如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM，所以△PMC为直角三角形，即PM2设Px,y，由（1）知C−1,2，因为PM=PO，所以化简得点P的轨迹方程为2x−4y+3=0.25．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知直线l：y=kxk≠0与圆C：x2+y2(1)若AB=13，求(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解题思路】（1）由圆的方程确定圆心和半径，利用几何法求弦长公式和点到直线的距离公式计算即可求解；（2）设Ax1,y1，Bx2,y【解答过程】（1）因为圆C：x−12所以圆心坐标为C1,0，半径为r=2，因为AB所以C到AB的距离为d=r由点C到直线y=kx的距离为：d=kk2（2）设Ax1,y1，B则y=kxx2+因为Δ=4+121+k2>0设存在点Mm,0满足题意，即k所以kAM+k因为k≠0，所以x1所以−61+k所以存在点M−3,026．（2023春·四川内江·高二校考开学考试）已知点P0,2，设直线l：y=kx+b（b，k∈R）与圆C:x2+y2(1)若PA⊥PB，求b的值；(2)若|AB|=23，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l(3)当|PA|⋅|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）根据PA⊥PB可知直线l过圆x2+y2=4（2）由|AB|=23得原点O(0,0)到直线l的距离为1，得b2=1+k2，再根据面积得b（3）联立直线与圆x2+y2=4，化为关于x的一元二次方程，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据韦达定理可得y1+【解答过程】（1）因为PA⊥PB，又P(0,2)在圆x2所以直线l过圆x2+y2=4（2）因为|AB|=23，圆x2+所以圆心(0,0)到直线l的距离d=4−由点到直线的距离公式可得d=|b|1+k当k=0时，直线l与坐标轴不能围成三角形，故k≠0，在y=kx+b中，令x=0，得y=b；令y=0，得x=−b所以12|b|⋅|−b所以1+k2=43所以k=±3或k=±（3）联立x2+y2=4Δ=4k2设A(x1,则x1+x所以y1+yy1y=b所以|PA|⋅|PB|=x所以4−y所以(8−4y所以(2−y所以y1所以b2−4k所以点P(0,2)到直线y=kx+b的距离为|−2+b|k2+1=所以直线y=kx+b与以P(0,2)为圆心，1为半径的圆相切，所以存在一个定圆M:x2+(y−2)227．（2023春·安徽安庆·高二校考期中）已知半径小于6的圆C过点A8,1，且圆C(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C与直线l:x−y+m=0交于A,B两点，__________，求m的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120∘；条件②：注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【解题思路】（1）设圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2(0<r<6)，由圆C过点A8,1代入方程，再根据圆C与两坐标轴均相切得出（2）选①：过点C作CD⊥AB于点D，由∠ACB=120∘得出∠CAB=30°，则CD=12AC=52，得出圆心C到直线l的距离d=52，由点到直线距离公式列出方程求解即可；选②：在△ABC中，由余弦定理得出∠ACB=120°，则∠CAB=30°，过点C作CD⊥AB【解答过程】（1）设圆C:(x−a)因为圆C过点A8,1所以(8−a)2又因为圆C两坐标轴均相切，所以得a>0，b>0且a=b=r，则(8−r)2+(1−r)2=因为圆C的半径小于6，所以r=5，即a=b=5，所以C:(x−5)（2）如果选择条件①：由∠ACB=120°，CA=CB=5过点C作CD⊥AB于点D，则CD=所以圆心C到直线l的距离d=5则d=5−5+m解得m=±5如果选择条件②：AB=5在△ABC中，CA=由余弦定