人教A版2019必修第一册专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式【九大题型】(原卷版+解析)

专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式【九大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不含参的一元二次不等式的解法】 1【题型2含参的一元二次不等式的解法】 2【题型3解简单的分式不等式】 3【题型4由一元二次不等式的解确定参数】 3【题型5一元二次不等式恒成立问题】 4【题型6一元二次不等式有解问题】 4【题型7一元二次不等式的实际应用】 5【题型8二次函数的零点问题】 7【题型9三个“二次”关系的应用】 7【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【题型1不含参的一元二次不等式的解法】【例1】（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）一元二次不等式x−1x+2>0的解集为（

）A．−∞,−2∪C．−∞,−1∪【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式x2<4x的解集为（A．x0<x<4 B．C．x0<x<2 D．【变式1-2】（2022秋·高一单元测试）若集合A=x|x2+2x>0，B=x|A．x|−3<x<1B．x|−3<x<−2C．RD．{x|−3<x<−2或0<x<1}【变式1-3】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）不等式x2−5x+6>0的解集为（A．{x|2<x<3} B．{x|x<2}C．{x|x>3} D．{x|x<2或x>3}【题型2含参的一元二次不等式的解法】【例2】（2022秋·湖南益阳·高一校考期中）若0<m<1，则不等式x−mx−1mA．x1m<x<mC．xx>m或x<【变式2-1】（2022秋·广东佛山·高一校考阶段练习）不等式x2-2A．xa<x<aC．xa<x<【变式2-2】（2022秋·安徽·高一校联考期中）对于给定实数a，不等式ax−1x+1<0的解集不可能是（A．x−1<x<1aC．xx>−1 D．【变式2-3】（2022秋·湖北武汉·高一校联考期中）关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣−1<x<2}，则关于x的不等式bA．{x∣−2<x<1} B．{x∣−1<x<2}C．{x∣x>2或x<−1} D．{x∣x>1或x<−2}【题型3解简单的分式不等式】【例3】（2022秋·高一校考课时练习）不等式1−xx≥0的解集为（A．x|0≤x≤1 B．x|0<x≤1C．x∣x≤0或x≥1 D．{x∣x<0或x=1}【变式3-1】（2022秋·四川成都·高一校考期中）不等式x−3x−2≥0的解集是（A．xx<2或x≥3 B．C．xx≤2或x≥3 D．【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）不等式x+1x−32x+1≥0A．−1,−12∪C．−1,−12∪【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知a>0,b>0，则不等式−b<1x<aA．x<−1a或x>1b C．−1a<x<0或0<x<1b【题型4由一元二次不等式的解确定参数】【例4】（2023·全国·高三专题练习）若不等式x2−a+1x+a≤0的解集是A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]【变式4-1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则实数A．aa≤-4或a≥4C．aa<-4或a>4【变式4-2】（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式x2−3x+2<0的解集为{x∣m<x<n}，则m+n的值是（A．3 B．4 C．5 D．6【变式4-3】（2023秋·江苏扬州·高一期末）若关于x的不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（A．5<m≤6 B．5≤m≤6 C．6<m≤7 D．6≤m≤7【题型5一元二次不等式恒成立问题】【例5】（2023春·湖南长沙·高二统考期末）若不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数A．−2,2 B．−10,2 C．−∞,−2∪【变式5-1】（2023秋·辽宁·高三校考期末）若对任意的x∈(0,+∞),x2−mx+1>0A．(−2,2) B．(2,+∞) C．(−∞【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）若不等式x2−2x+5≥a2−3aA．−1,4 B．−C．−∞,−1∪【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若对于任意x∈[m,m+1]，都有x2+mx−1<0成立，则实数m的取值范围是（A．(−23,0)C．[−23,0]【题型6一元二次不等式有解问题】【例6】（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式x2−4x−2−a≤0有解，则实数a的取值范围是（A．aa≥−2 B．aa≤−2 C．aa≥−6【变式6-1】（2023春·湖南长沙·高一校考期中）若∃x∈0,4，使得不等式x2−2x+a>0成立，则实数aA．a>−1 B．a>1 C．a>8 D．a>−8【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）若存在实数x，使得mx2−m−2x+m<0A．−∞,2 C．−∞,2【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间2,5内有解，则实数a的取值范围是（A．−2,+∞ B．3,+∞ C．6,+∞【题型7一元二次不等式的实际应用】【例7】（2023·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？【变式7-1】（2022秋·北京·高一校考阶段练习）如图所示，已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4m，CD=6m.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P(1)设MP=x m，矩形BNPM的面积为S m2，试写出x的取值范围及(2)要使矩形BNPM的面积不小于42m2，试求【变式7-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：s甲=0.01x【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（0<x<1），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？【知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】1．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系△>0△=0△<0y=ax2+bx+c

(a>0)的图象ax2+bx+c=0

(a>0)的根有两个不相等

的实数根

x1,x2（x1<x2）有两个相等

的实数根

没有实数根ax2+bx+c>0

(a>0)的解集或Rax2+bx+c<0

(a>0)的解集{x|x1<x<x2}【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【题型8二次函数的零点问题】【例8】（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）关于x的函数y=x2-mx+m的两个零点均在区间[1,3]【变式8-1】（2022秋·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知不等式ax2+bx+1>0的解集为x-2<x【变式8-2】（2023春·安徽马鞍山·高一校考开学考试）已知函数y=−x2+bx+c只有一个零点，不等式−x2+bx+c−m>0的解集为A．−4 B．−3 C．−2 D．−1【变式8-3】（2022秋·江苏南京·高一阶段练习）已知二次函数y=axx－2－1013y－12－6－20－2则下列结论正确的是（

）A．a>0 B．该二次函数的零点为1C．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(1,2)【题型9三个“二次”关系的应用】【例9】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式aA．−2,1 B．−∞,−2∪1,+∞ C．−2,1 【变式9-1】（2022·全国·高一专题练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，−3，那么关于x的不等式A．x|x>3或x<−2 B．x|x>2或x<−3C．x−2<x<3 D．【变式9-2】（2023·江苏·高一假期作业）若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为（

）A． B．C． D．【变式9-3】（2021秋·云南·高一校考阶段练习）已知不等式ax2+bx+c>0的解集是(−∞,−1)∪(3,+∞)，则对函数f(x)=aA．f(4)>f(0)>f(1) B．f(4)>f(1)>f(0)C．f(0)>f(1)>f(4) D．f(0)>f(4)>f(1)

专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式【九大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不含参的一元二次不等式的解法】 1【题型2含参的一元二次不等式的解法】 3【题型3解简单的分式不等式】 4【题型4由一元二次不等式的解确定参数】 6【题型5一元二次不等式恒成立问题】 7【题型6一元二次不等式有解问题】 8【题型7一元二次不等式的实际应用】 10【题型8二次函数的零点问题】 13【题型9三个“二次”关系的应用】 15【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【题型1不含参的一元二次不等式的解法】【例1】（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）一元二次不等式x−1x+2>0的解集为（A．−∞,−2∪C．−∞,−1∪【解题思路】由一元二次不等式的解法直接求解即可.【解答过程】∵x−1x+2∴x>1或x<−2故不等式的解集为−∞故选：A.【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式x2<4x的解集为（A．x0<x<4 B．C．x0<x<2 D．【解题思路】先移项，再提取公因式，即得不等式的解集.【解答过程】不等式x2<4x可化为解得0<x<4,即不等式x2<4x的解集为故选：A.【变式1-2】（2022秋·高一单元测试）若集合A=x|x2+2x>0，B=x|A．x|−3<x<1B．x|−3<x<−2C．RD．{x|−3<x<−2或0<x<1}【解题思路】化解集合，根据交集定义计算.【解答过程】A=x|x2+2x>0={x|x<−2∴A∩B={x|−3<x<−2或0<x<1}.故选：D.【变式1-3】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）不等式x2−5x+6>0的解集为（A．{x|2<x<3} B．{x|x<2}C．{x|x>3} D．{x|x<2或x>3}【解题思路】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】由不等式x2−5x+6>0，可得(x−2)(x−3)>0，解得x<2或所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.故选：D.【题型2含参的一元二次不等式的解法】【例2】（2022秋·湖南益阳·高一校考期中）若0<m<1，则不等式x−mx−1mA．x1m<x<mC．xx>m或x<【解题思路】根据一元二次方程x−mx−【解答过程】一元二次方程x−mx−1m因为0<m<1，所以m−1因此不等式x−mx−1m故选：D.【变式2-1】（2022秋·广东佛山·高一校考阶段练习）不等式x2-2A．xa<x<aC．xa<x<【解题思路】解含有参数的一元二次不等式，求出解集.【解答过程】x2-2显然a<a+1故选：A.【变式2-2】（2022秋·安徽·高一校联考期中）对于给定实数a，不等式ax−1x+1<0的解集不可能是（A．x−1<x<1aC．xx>−1 D．【解题思路】分类讨论a的值，解不等式，即可得答案.【解答过程】由ax−1x+1<0，分类讨论①当a=0时，原式⇔x+1>0⇒x>−1；②当a≠0时,原式⇔a⑴当a>0时，原式⇔x−1ax+1<0⑵当a<0时，原式⇔x−i当−1<a<0时，1a<−1，解得x<1ii当a=−1时，解得x≠−1；iii当a<−1时，1a>−1，解得x<−1或由上可知，不等式解集不可能为R.故选：D.【变式2-3】（2022秋·湖北武汉·高一校联考期中）关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣−1<x<2}，则关于x的不等式bA．{x∣−2<x<1} B．{x∣−1<x<2}C．{x∣x>2或x<−1} D．{x∣x>1或x<−2}【解题思路】根据不等式的解集可知a<0，由根与系数的关系得出b，c与a的关系，代入待求不等式即可求解.【解答过程】因为关于x的不等式ax2可知a<0且ax2+bx+c=0根据跟与系数得关系可得−1+2=−ba带入bx2−ax−c<0可得−ax2解得−2<x<1.故选：A.【题型3解简单的分式不等式】【例3】（2022秋·高一校考课时练习）不等式1−xx≥0的解集为（A．x|0≤x≤1 B．x|0<x≤1C．x∣x≤0或x≥1 D．{x∣x<0或x=1}【解题思路】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得.【解答过程】由原式得x(1−x)≥0且x≠0，解得0<x≤1，即不等式的解集为x|0<x≤1.故选：B.【变式3-1】（2022秋·四川成都·高一校考期中）不等式x−3x−2≥0的解集是（A．xx<2或x≥3 B．C．xx≤2或x≥3 D．【解题思路】直接解分式不等式即可.【解答过程】由x−3x−2≥0⇔x−3x−2≥0所以不等式的解集为：xx<2或x≥3故选：A.【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）不等式x+1x−32x+1≥0A．−1,−12∪C．−1,−12∪【解题思路】写出不等式的等价形式，再利用数轴标根法求出不等式的解集.【解答过程】不等式x+1x−32x+1≥0利用数轴标根法可得−1≤x<−12或x≥3

故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知a>0,b>0，则不等式−b<1x<aA．x<−1a或x>1b C．−1a<x<0或0<x<1b【解题思路】先把不等式−b<1【解答过程】因为−b<1x<a解1x>−b，即1x+b=1+bxx>0，即(1+bx)x>0解1x<a，即1x−a=1−axx<0，即(1−ax)x<0综上得x<−1b或故选：B.【题型4由一元二次不等式的解确定参数】【例4】（2023·全国·高三专题练习）若不等式x2−a+1x+a≤0的解集是A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]【解题思路】原不等式可化为x−ax−1≤0，后通过讨论a与1的大小解不等式，结合解集是【解答过程】原不等式可化为x−ax−1当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥−4即可，即−4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得：−4≤a≤3.故选：A.【变式4-1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则实数A．aa≤-4或a≥4C．aa<-4或a>4【解题思路】利用Δ≤0求得实数a的取值范围.【解答过程】因为不等式x2+ax+4<0的解集为空集，所以故选：B.【变式4-2】（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式x2−3x+2<0的解集为{x∣m<x<n}，则m+n的值是（A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.【解答过程】依题意可得，m,n分别是关于x的一元二次方程x2−3x+2=0的两根，根据韦达定理可得：故选：A.【变式4-3】（2023秋·江苏扬州·高一期末）若关于x的不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（A．5<m≤6 B．5≤m≤6 C．6<m≤7 D．6≤m≤7【解题思路】由题设可得x−3x−m<0，讨论m,3的大小关系求解集，并判断满足题设情况下【解答过程】不等式x2−m+3当m>3时，不等式解集为3,m，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故6<m≤7；当m=3时，不等式解集为∅，此时不合题意；当m<3时，不等式解集为m,3，显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；故实数m的取值范围为6,7．故选：C.【题型5一元二次不等式恒成立问题】【例5】（2023春·湖南长沙·高二统考期末）若不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数A．−2,2 B．−10,2 C．−∞,−2∪【解题思路】化简已知不等式，对m进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得m的取值范围.【解答过程】依题意，不等式mx2+mx−4<2即不等式m−2x当m=2时，不等式可化为−3<0恒成立，当m<2时，Δ=m+10m−2<0综上所述，m的取值范围是−10,2.故选：B.【变式5-1】（2023秋·辽宁·高三校考期末）若对任意的x∈(0,+∞),x2−mx+1>0A．(−2,2) B．(2,+∞) C．(−∞【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x∈(0,+∞),x2−mx+1>0⇔m<x+1x，而当x>0则m<2，所以m的取值范围是(−∞故选：C.【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）若不等式x2−2x+5≥a2−3aA．−1,4 B．−C．−∞,−1∪【解题思路】求出二次函数的最小值，从而可得关于a的不等式，求出其解后可得其取值范围.【解答过程】x2−2x+5=x−1故a2−3a≤4，故故选：A.【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若对于任意x∈[m,m+1]，都有x2+mx−1<0成立，则实数m的取值范围是（A．(−23,0)C．[−23,0]【解题思路】由函数f(x)=x2+mx−1为开口向上的二次函数，要使任意x∈[m,m+1]，都有f(x)<0【解答过程】由题可得f(x)=x2+mx−1<0对于解得:−2故选：B.【题型6一元二次不等式有解问题】【例6】（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式x2−4x−2−a≤0有解，则实数a的取值范围是（A．aa≥−2 B．aa≤−2 C．aa≥−6【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【解答过程】若关于x的不等式x2则Δ=16+42+a≥0故选：C.【变式6-1】（2023春·湖南长沙·高一校考期中）若∃x∈0,4，使得不等式x2−2x+a>0成立，则实数aA．a>−1 B．a>1 C．a>8 D．a>−8【解题思路】由题意可转化为∃x∈0,4，使a>−x2【解答过程】因为∃x∈0,4，使得不等式x所以∃x∈0,4，使得不等式a>−令f(x)=−x2+2x因为对称轴为x=1，x∈0,4所以f(x)所以a>−8，所以实数a的取值范围为−8,+∞故选：D.【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）若存在实数x，使得mx2−m−2x+m<0A．−∞,2 C．−∞,2【解题思路】分别在m=0、m>0和m<0的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【解答过程】①当m=0时，不等式化为2x<0，解得：x<0，符合题意；②当m>0时，y=mx只需Δ=m−22③当m<0时，y=mx则必存在实数x，使得mx综上所述：实数m的取值范围为−∞故选：C.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间2,5内有解，则实数a的取值范围是（A．−2,+∞ B．3,+∞ C．6,+∞【解题思路】设f(x)=x2−6x+11，由题意可得a>f【解答过程】设f(x)=x2−6x+11所以要使不等式x2−6x+11−a<0在区间(2，5)内有解，只要即a>f(3)=2，得a>2，所以实数a的取值范围为(2,+∞故选：D.【题型7一元二次不等式的实际应用】【例7】（2023·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？【解题思路】由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知(50+10x)(200−10x)>12600，解不等式可求解.【解答过程】设该旅店某晚的收入为y元，则y=(50+10x)(200−10x),x∈由题意y>12600，则(50+10x)(200−10x)>12600即10000+1500x−100x2>12600解得：2<x<13，且x∈所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）.【变式7-1】（2022秋·北京·高一校考阶段练习）如图所示，已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4m，CD=6m.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P(1)设MP=x m，矩形BNPM的面积为S m2，试写出x的取值范围及(2)要使矩形BNPM的面积不小于42m2，试求【解题思路】（1）设PN=y，利用三角形相似得到y=−1（2）依题意得到不等式S=−12(x−10)2+50≥42【解答过程】（1）解：设PN=y，作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8−y，EQ=x−4，因为△EDF∽△EPQ，所以EQPQ=EF所以y=−1设矩形BNPM的面积为S，则S=xy=x(10−x2)=−解：依题意S=−1解得6≤x≤14，又4≤x≤8，所以6≤x≤8，故x的取值范围为6,8.【变式7-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：s甲=0.01x【解题思路】由题意列不等式求解后判断，【解答过程】由题意得，对于甲车，0.01x即x2-10x解得0<x甲车未超过规定限速，同理对于乙车，0.005xx2-10x-2000>0，而乙车超过规定限速．答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（0<x<1），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？【解题思路】（1）利用年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量列出表达式即可，要注意根据实际意义注明函数的定义域；（2）通过解一元二次不等式得到所求增加比例的范围．【解答过程】（1）由题意得：y=[12(1+0.75x)−10(1+x)]×10000×(1+0.6x)，(0<x<1)，整理得：y=−6000x2（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须y−(12−10)×10000>0，(0<x<1)即−6000x2+2000x>0解得0<x<13，所以投入成本增加的比例应在【知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】1．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系△>0△=0△<0y=ax2+bx+c

(a>0)的图象ax2+bx+c=0

(a>0)的根有两个不相等

的实数根

x1,x2（x1<x2）有两个相等

的实数根

没有实数根ax2+bx+c>0

(a>0)的解集或Rax2+bx+c<0

(a>0)的解集{x|x1<x<x2}【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【题型8二次函数的零点问题】【例8】（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）关于x的函数y=x2-mx+m的两个零点均在区间[1,3]【解题思路】根据零点的分布以及判别式性质列不等式组即可求解.【解答过程】设f因为函数f(x)=所以有Δ=m2−即m故答案为：(4,9【变式8-1】（2022秋·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知不等式ax2+bx+1>0的解集为x-2<x【解题思路】根据一元二次不等式的解集及根与系数关系求参数a、b，再由韦达定理求y=【解答过程】由题设，易知：-2,7是ax2+bx+1=0对于