【第3章】离散傅里叶变换(DFT)

第三章

离散傅里叶变换(DFT)

主要内容离散傅立叶变换的定义

离散傅立叶变换的性质频率域采样定理DFT的应用3.1离散傅里叶变换3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则有N点的离散傅里叶变换对:式中N称为DFT变换区间长度，N≥M.x(n)的DFT的结果与N的取值有关.【说明】设x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT.解：设变换区间N=8，则【例题】设变换区间N=16，则3.1.2DFT和ZT的关系设序列x(n)的长度为N，其ZT和DFT分别为：比较上面二式可得关系式：结论:序列x(n)的N点DFT就是x(n)的ZT在单位圆上的N点等间隔采样.序列x(n)的N点DFT就是x(n)的FT在区间[0,2p]上的N点等间隔采样.3.1.3DFT的隐含周期性在DFT的变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，由于的周期性，使DFT和IDFT中的X(k)隐含周期性，且周期均为N.

对任意整数m，总有：在DFT表达式中，X(k)满足：同理在IDFT表达式中，x(n)满足：式中：N点长序列x(n)的DFT，正好是x(n)的周期延拓x((n))N

的DFS系数的主值序列.结论：3.2DFT的基本性质1.线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个长度分别为N1和N2的序列，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)，式中a、b为常数，取N=max[N1,N2]，则y(n)的N点DFT为：

Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k)，0≤k≤N-1其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT.2.循环移位性质(1)序列的循环移位设x(n)为N点长序列，则x(n)的循环移位定义为:

y(n)=x((n+m))NRN(N)(2)时域循环移位定理设x(n)是N点序列，y(n)为x(n)的循环移位，即y(n)=x((n+m))NRN(n)，则其中：X(k)=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1(3)频域循环移位定理设X(k)=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1，Y(k)=X((k+l))NRN(n)，则其中：x(n)=IDFT[X(k)]3.时域循环卷积定理序列x1(n)和x2(n)长度分别为N1和N2，取N=max[N1,N2]，x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：

X1(k)=DFT[x1(n)]，X2(k)=DFT[x2(n)]如果X(k)=X1(k)·X2(k)，则上式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积.循环卷积与线性卷积不同.两个N点长序列的循环卷积长度仍为N.【说明】如果x(n)=x1(n)·x2(n)，则4.频域循环卷积定理3.3频率域采样定理设任意序列x(n)的ZT为且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在FT).在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到：将X(k)看着是N点长序列xN(n)的DFT，则xN(n)=IDFT[X(k)]，0≤n≤N-1X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的IDFT为原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列.如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数N≥M时，才有

xN(n)=IDFT[X(k)]=x(n)

即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象.结论(频域采样定理)【例题】说明：矩形序列→频域是连续谱.对频域按N=5点进行抽样→时域延拓的周期点数等于频域的抽样点数N=5→由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠.说明：对频域按N=4点进行抽样→由于N<M(=5)，所以时域延拓后产生混叠.说明：用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数设序列x(n)长度为M，在频域0~2p之间等间隔采样N点，N≥M，则有式中：当z=ejw时，式子就成为x(n)的傅里叶变换X(ejw)的内插函数和内插公式。即化简得：3.4DFT的应用3.4.1用DFT计算线性卷积则由时域循环卷积定理有可见，循环卷积可以按照下图所示的计算框图在频域计算.由于DFT有快速算法FFT，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积.实际中，往往需要计算两个序列的线性卷积，而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此需要导出线卷积和循环卷积之间的关系.若h(n)和x(n)是长度为N和M的有限长序列.则其中:L≥max［N,M］对照线性卷积表达式，可以看出上式中：结论:循环卷积yc(n)等于线性卷积yL(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列.

yL(n)的长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度L≥N+M-1时，yL(n)以L为周期进行周期延拓才无混迭现象.循环卷积等于线性卷积的条件是L≥N+M-1.下图画出h(n)、x(n)、h(n)*x(n)和L取6、8、10时的h(n)⊙x(n)的波形.由于h(n)长度N=4，x(n)长度M=5，N+M-1=8，所以只有当L≥8时，h(n)⊙x(n)的波形才与h(n)*x(n)相同.【例题】线性卷积与循环卷积如果取L=N+M-1，则可以用DFT来计算线性卷积，计算框图如下:当两个序列长度相差很大时，应用上述方法时要求对短序列补充很多零点.长序列必须全部输入后才能计算，因此要求存储容量大，计算时间长.解决的方法是采用分段卷积的办法.分段处理的方法有重叠相加法和重叠保留法.【说明】设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长序列.将x(n)均匀分段，每段长度取M，则(1)重叠相加法计算h(n)和x(n)的线性卷积时，可先进行分段线性卷积yk(n)=h(n)*xk(n)，然后把结果叠加.每一段卷积yk(n)长度为N+M-1，因此yk(n)和yk+1(n)有N-1个点重叠，必须把重叠部分的yk(n)和yk+1(n)相加才能得到完整的卷积序列y(n).可以用快速算法(FFT)计算分段卷积.结论:

重叠相加法卷积示意图

【例题】(2)重叠保留法【例题】设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc，xa(t)的FT为1.用DFT对连续信号进行谱分析3.4.2用DFT对信号进行谱分析对xa(t)以采样间隔T≤1/2fc(即fs=1/T≥2fc)采样得x(n)=xa(nT).设共采样N点，并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT,dt=T)得X(jf)仍是f的连续周期函数，对X(jf)在区间[0,fs]上等间隔采样N点，采样间隔为F，参数fs

、Tp、N和F满足如下关系式：0≤k≤N-1将f=kF和F=1/NT代入X(jf)中可得Xa(jf)的采样：令则可以推出：用同样的方法，由连续信号的频率特性可以通过对连续信号采样进行DFT再乘以T的近似方法得到.对持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时，即可由Xa(k)→Xa(jf)→xa(t).

但由Xa(k)看不到Xa(jf)的全部频谱特性，只能看到N个离散点的频谱特性，这就是所谓的栅栏效应.如果xa(t)持续时间无限长，首先要进行截断处理，这样会产生频率混叠和泄漏现象.结论:理想低通滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数Ha(if)如图所示.频率混叠和泄漏现象分析用DFT来分析ha(t)的频率响应特性时，由于ha(t)持续时间为无穷长，所以要截取一段Tp.设Tp=8s，采样间隔T=0.25s，采样点数N=Tp/T=32.此时频域采样间隔F=1/NT=0.125Hz.则

H(k)=T·DFT[h(n)],0≤k≤31

其中:h(n)=ha(nT)R32(n)用DFT计算理想低通滤波器频响曲线由图可见，低频部分近似理想低通频响特性，而高频部分误差较大，且整个频响都有波动.这些差别就是由于对ha(t)进行截断引起的.为了减少这些差别，可以适当加长Tp，增加采样点数N或用窗函数处理后再进行DFT.在已知信号的最高频率fc(即谱分析范围时)，为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象，要求采样速率fs满足fs＞2fc.谱分辨率F=fs/N，如果保持采样点数N不变，要提高谱的分辨率(F减小)，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少.如维持fs不变，为提高分辨率可以增加采样点数N.因为NT=Tp，T=1/fs，只有增加对信号的观察时间Tp，才能增加N.Tp和N可以按照下式进行选择：对实信号进行谱分析，谱分辨率F≤10Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin.如果fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少?【例题】解：因此TPmin=0.1s，因为要求fs≥2fc，所以：为使频率分辨率提高一倍，F=5Hz，要求：2.用DFT对序列进行谱分析单位圆上的ZT就是序列FT.即X(ejω)是ω的连续函数.如果对x(n)进行N点DFT得X(k)就是在区间[0,2p]对X(ejω)进行N点等间隔采样.序列的FT可以用DFT来计算.令n=n’+rN,r=0,1,…,m-1,n’=0,1,…,N-1,则可见，XM(k)也可以表示x(n)的频率结构.在k=rm时，XM(rm)=mX

(r)表示x

(n)的r次谐波谱线，其幅度扩大m倍.在其它k值时,XM(k)=0.X(r)和XM(k)对应点频率是相等的.因为(2π/N)r=(2π/mN)mr，所以，只要截取x(n)的整数个周期进行DFT就可以得到它的频谱结构，达到谱分析的目的.~~~~再将截取长度扩大一倍，截取2M进行DFT：如果x(n)的周期预先不知道，可先截取M进行DFT.即~比较XM(k)和X2M(k)，如果二者的主谱差别满足分析误差的要求，则以XM(k)和X2M(k)近似表示x(n)频谱.否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得的主谱频率差别满足误差要求.设最后截取长度为rM，则XrM(k)表示频率为(2π/rM)k点的谱线强度.~设序列x(n)长度为N，要分析Z平面上M点频谱采样值，分析点为zk,k=0,1,…,M-1.3.Chirp—Z变换设zk=AW-k,0≤k≤M-1式中A和W为复数，用极坐标形式表示为：

式中A0和W0为实数.当k=0时有：将zk代入ZT公式得到利用关系式：

得到：Chirp_z变换计算框图输入序列长度N和输出序列长度不需要相等，且二者均可以是素数.分析频率点zk的起始点z0及相邻两点的夹角φ0是任意的(即频率分辨率是任意的)，因此可从任意频率上开始，对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析.谱分析路径可以是螺旋形的.当A=1，M=N时，zk均匀分布在单位圆上，此时Chirp-Z变换就是序列的DFT.Chirp—Z变换的特点用DFT对连续信号进行谱分析，要对连续信号采样和截断，由此可能引起分析误差.4.用DFT进行谱分析的误差问题对连续信号采样时，采样频率必须满足采样定理，否则会在ω=π附近发生频率混叠.对模拟域频率，即在f=fs/2附近发生频率混叠.这时用DFT分析的结果必然在f=fs/2附近产生较大误差.（1）混叠现象N点DFT是在频率区间[0,2π]上对信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数是不知道的.这种现象叫栅栏效应.由于栅栏效应，有可能漏掉大的频率分量.为了把被“栅栏”挡住的频率分量检测出来，可以采用在原序列尾部补零的办法，改变序列长度N