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文档简介
新高二暑假自学检测卷(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题绐岀的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,,,若,,共面,则实数的值为(
)A. B. C. D.【答案】A【详解】因为,,共面,可设,即,得:.故选:A2.已知直线的倾斜角为45°,且过点,则在直线上的点是(
)A. B. C. D.【答案】A【详解】直线的斜率,方程为,即,将A,B,C,D中各点代入知,A正确.故选:A3.已知空间向量,,,,且与垂直,则与的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】因为与垂直,所以,即,所以.又,所以.故选:D.4.当直线过点,当取得最小值时,直线的方程为:(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】由直线过点,则,所以,当且仅当,即时,等号成立,所以直线方程为,即.故选:C.5.曲线:上到直线距离最短的点坐标为(
)A. B.C. D.【答案】B【详解】设曲线:上的点的坐标为,,则点到直线的距离,当且仅当,即时,等号成立,此时点的坐标为.故选:B.6.在矩形中,,,沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角,当点与点之间的距离为3时,(
).A. B. C. D.【答案】B【详解】分别作,,垂足为,则.由,可得,所以.因为,则即,故,故选:B.
7.已知向量,,满足,,,,则的最小值等于(
)A. B. C.4 D.【答案】C【详解】如图,建立平面直角坐标系,依题意令,,,,因为,所以,即,,则,则,则的最小值为4.故选:C.
8.已知圆上两点,,O为坐标原点,若,则的最大值是(
)A.8 B. C. D.12【答案】D【详解】由圆上两点,,得,设的中点为,则,由,得,所以,所以点的轨迹是以为半径,为原点的圆,,表示两点到直线的距离之和的倍,因为为的中点,故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍,圆心到直线的距离,所以点到直线的距离的最大值为,所以的最大值是.故选:D.【点睛】关键点点睛:根据点到直线的距离公式可得表示两点到直线的距离之和的倍,是解决本题的关键.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多顶符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2个正确选顶,每选对一个得3分;若只有3个正确选项,每选对一个得2分9.已知三棱锥如图所示,G为重心,点M,F为中点,点D,E分别在上,,,以下说法正确的是(
)
A.若,则平面∥平面B.C.D.若M,D,E,F四点共面,则【答案】ABC【详解】对于A,若,即分别为的中点,又点为的中点,所以,又面,面,所以面,同理可证面,又面,所以平面∥平面,故A正确;对于BCD,如图所示:
设中点为,连接,因为点G为重心,所以点在线段上面,所以,故B正确;对于C,,故C正确;因为,所以,若M,D,E,F四点共面,则,解得,故D错误.故选:ABC.10.(多选)已知三角形的三个顶点分别为,,,则(
)A.边的垂直平分线的方程是B.三角形的面积为1C.三角形外接圆的方程为D.三角形外接圆的圆心坐标【答案】ABC【详解】对于A,因为,,,所以,的中点为,所以边的垂直平分线的方程为,即,故A正确;对于B,,边所在直线方程为,即,则顶点到边的距离为,所以三角形的面积为,故B正确;对于CD,不妨设三角形外接圆的方程为,所以,解得,所以三角形外接圆的方程为,化为标准方程得,所以三角形外接圆的圆心坐标为,故C正确,D错误.故选:ABC.11.在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在的直线方程为:,,另一组对边,.则下列命题正确的有(
)A.B.与、距离相等的点的轨迹方程为C.该菱形的四个顶点共圆D.该菱形的面积为定值【答案】ABD【详解】对于A项,如图,因四边形是菱形,则之间的距离等于之间的距离,即:,解得:,故A项正确;对于B项,因,则、距离相等的点的轨迹必是与它们平行的直线,则可设其方程为:,由,到直线的距离相等可得:,解得:,即与、距离相等的点的轨迹方程为,故B项正确;对于C项,因的斜率,而的斜率,因,则与不垂直,即四边形不是矩形,故其对角线不相等,因此,该菱形的四个顶点不在圆上,即C项错误;对于D项,由解得:,即:;又由:解得:,即:.故,而之间的距离为,故该菱形的面积为,故D项正确.故选:ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共计15分.12.直线的倾斜角的取值范围是.【答案】【详解】,故.故答案为:.13.在三棱锥中,和都是等边三角形,,D为AB中点,则的值是.【答案】【详解】如图,在中,,所以,即的值为.故答案为:
14.人脸识别在现今生活中应用非常广泛,主要是测量面部五官之间的距离,称为“曼哈顿距离”.其定义如下:设,,则A,B两点间的曼哈顿距离.已知,若点满足,点N在圆上运动,则的最大值为【答案】【详解】由题意得,圆,圆心,半径,设点,则,故点的轨迹为如下所示的正方形,其中,,则,,则,即的最大值为.故答案为:.四、解答题:本题共5小题,共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知的三个顶点坐标分别为,,,求:(1)边所在直线的方程;(2)边的垂直平分线所在直线的方程.【答案】(1)(2)【详解】(1)因为,,所以边所在直线的斜率为,且,所以边所在直线的方程为,即.(2)因为,,所以的中点为,又直线的斜率为,所以边的垂直平分线所在直线的斜率为,所以边的垂直平分线所在直线的方程为,即.16.(15分)如图所示,在四棱锥中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,且和的夹角都是,是的中点,设,,,试以,,为基向量表示出向量,并求的长.【答案】,BN的长为【详解】因为N是CM的中点,底面ABCD是正方形,所以,由题意,可得|,,,因此所以,即的长为.17.(15分)已知圆,直线l过点.(1)若直线l被圆M所截得的弦长为,求直线l的方程;(2)若直线l与圆M交于另一点B,与x轴交于点C,且A为BC的中点,求直线l的方程.【答案】(1)或(2)【详解】(1)由题意可知:圆的圆心为,半径,若直线l被圆M所截得的弦长为,则圆心到直线的距离为.当直线斜率不存在时,与圆相切,不符合题意,舍去;当直线斜率存在时,设直线,即,可得,所以,则直线l方程为或.(2)设,因为A为BC中点,则,由B在圆M上得,解得,则,所以直线,即直线.18.(17分)在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,直线与所成的角的正切值等于2,,,分别是,的中点.(1)判断直线和的位置关系并说明理由;(2)证明:平面平面;(3)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)相交,理由见解析(2)证明见解析(3)【详解】(1)直线和相交.理由如下:如图,连接,因为、N分别是PB、PC的中点,所以是的中位线,所以,,又底面四边形ABCD是正方形,所以,,所以,,所以四边形为梯形,且和是梯形的两腰,所以直线和相交.(2)取AD的中点为,连接PO,BO,因为,所以,因为,所以就是直线PA与BC所成的角,所以,又底面ABCD是边长为2的正方形,所以,由得,,又,则有,所以,又平面,所以平面ABCD,而平面PAD,所以平面平面ABCD.(3)因为M是PB的中点,所以平面MPD即为平面BPD,在正方形ABCD中,取BC的中点,连接OQ,则,又由(2)知平面ABCD,故以O为原点,OQ、OA、OP所在直线分别为x轴、y轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,设平面BPD的一个法向量为,则,取,则,故,而平面APD的一个法向量为,,所以平面MPD与平面APD夹角的余弦值为.19.(17分)已知圆满足:①;②与圆外切;③被直线分成两段圆弧,其弧长的比为.(1)求圆的方程;(2)若直线与圆相交于两点,四边形为平行四边形,求直线的方程.【答案】(1)(2)或【详解】(1)如图所示,与圆交于,过作垂直于于点.由于,配方得
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