第一章 质点运动学

质点运动学第一章第一节

参考系和坐标系质点

第二节

质点运动的描述

第三节

圆周运动第四节

伽利略变换第一节

参考系和坐标系质点

一、参考系二、坐标系三、质点一、参考系1、参考系运动的绝对性——物体在不停地运动运动的相对性——物体的运动或静止总是相对于某个选定的物体而言以地球为参照系地球月亮以太阳为参照系太阳月亮地球轨道参考系的定义为描述物体的运动而选择的标准物＊描述物体的运动时，必须指明参考系；＊选不同的参照系，运动的描述是不同的。说明＊参考系的选择是任意的;一、参考系说明xyzO定量地描述物体相对于参照系的运动。物理学中常用的坐标系直角坐标系自然坐标系极坐标系坐标系的选择是任意的；坐标系的选择不同，描述物体运动的方程是不同的，但描述质点的运动本质是相同的。zo

Rxy

z

R柱坐标系球坐标系二、坐标系概念质点：具有一定质量不计其形状与大小的物体，是理想模型。质点是一个理想化的力学模型。说明引入条件物体各点的运动状态完全相同，即平动。物体的大小和形状与所研究的问题无关或所起的作用不显著，可以忽略不计。三、质点研究地球公转地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。研究地球自转地球上各点的自转速度相差很大，不能作为质点处理。只要物体足够小，就可以看成质点？三、质点一、位置矢量、运动方程、位移二、瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量三、质点运动学的两类问题第二节

质点运动的描述

一、位置矢量、运动方程、位移1、位置矢量基本概念从原点O到质点所在的位置P点的有向线段，叫做位置矢量或位矢。zOxy

P(x,y,z)位矢方向:2.运动方程建直角坐标系O–xyz,令原点与参考点重合，则：运动方程——质点的位置随时间变化的函数方程说明位置矢量是矢量：有大小和方向；具有瞬时性；具有相对性.一、位置矢量、运动方程、位移标量式

x=x(t)y=y(t)z=z(t)轨迹方程——质点在运动过程中描出的曲线方程.在运动方程中消去t就是轨迹方程，y=y(x)3.轨迹方程如轨迹为：半径为2m的圆周一、位置矢量、运动方程、位移4.位移

B

Aoxyz位移反映质点位置变化的物理量，从初始位置指向末位置的有向线段。ΔS方向:一、位置矢量、运动方程、位移大小:

B

Aoxyz路程是质点经过实际路径的长度。路程是标量。ΔS一、位置矢量、运动方程、位移☆位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量.位移与路程PO☆当Δt趋近于0时☆位移与路程都与一段时间相对应一、位置矢量、运动方程、位移☆位置矢量与位移＊位置矢量与位移都是矢量；

＊位置矢量r=r(t),与某时刻对应，具有瞬时性；位移与一段时间相对应。

一、位置矢量、运动方程、位移1.平均速度平均速度平均速率OP1P2定义大小为二、瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量只能粗略的描述质点的运动情况2.瞬时速度

oP1

当

t0时，P2点向P1点无限靠近。P2P2P2P2P2P2P2P2P2大小：瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.二、瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量瞬时速率(简称速率)在直角坐标系中的分解式瞬时速率是标量二、瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量3.加速度加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。x

y

z

P2

P1

o二、瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量x

y

z

P2

P1

o注意区分、o平均加速度平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。二、瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量瞬时加速度

与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个极限值

瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐标系中用分量表示:二、瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量加速度的方向就是时间

t趋近于零时，速度增量的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。方向用方向余弦来表示大小的方向余弦二、瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量求导1.已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的速度和加速度；2.已知速度和加速度及初始条件（初始时刻质点的位置和速度），求质点的运动方程；积分求导两次求导积分两次积分三、质点运动学的两类问题[例题1-1]一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为

（其中a、b为常量），则该质点作何种形式的运动？[解]其运动方程：得轨道方程为：

质点的速度：

质点的加速度：

可见，质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy平面内作匀变速直线运动，其轨道方程为

[例题1-2]一质点沿x轴作直线运动，其位置与时间的关系为x=4.5t2-2t3(SI),试求：（1）第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第3秒末的加速度

[解]★解题指导：将运动方程

对时间求一阶导数，即可求得速度；对运动方程求二阶导数，即可求得加速度。

【例题1-3】一质点沿x轴运动，其加速度为a=4t(SI),已知t=0时，质点位于为x0=10m处，初速度v0=0。试求其位置和时间的关系式。【例题1-4】一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为a=3+6x2（SI）。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。解：设质点在任意位置x处的速度为v，则分离变量，两边积分：得：

【例题1-5】一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为

(SI)，已知t=0时，质点速度为-2m/s，试求质点在任意时刻的速度。分离变量，两边积分：得★解题指导：根据速度和加速度的定义式，写出方程，然后分离变量，运用初始条件并积分，可求出相应的物理量（对有关变量的函数关系）。

1.关于加速度的物理意义,下列说法正确的是[]加速度是描述物体运动快慢的物理量加速度是描述物体位移变化率的物理量加速度是描述物体速度变化的物理量加速度是描述物体速度变化率的物理量ABCD提交单选题1分

2.一沿直线运动的物体,其速度与时间成反比,则其加速度大小与速度大小的关系是[]与速度成正比与速度平方成正比与速度成反比与速度平方成反比ABCD提交单选题1分作业：1-51-91-11第三节

圆周运动一、圆周运动的线量描述二、圆周运动的角量描述三、线量和角量之间的关系目录一、圆周运动的线量描述自然坐标系用由原点至质点位置的弧长

s

作为质点位置坐标s，

s

可正可负，正方向为运动的前进方向.法向单位矢量沿曲线法向且指向曲线的凹侧.切向单位矢量沿曲线切向,指向s>0方向.自然坐标系选轨迹上一点

为原点自然坐标系的单位矢量方向是变化的。直角坐标系与自然坐标系的区别1.直角坐标系的坐标原点不一定在质点的运动轨迹上；自然坐标系的原点一定在质点的运动轨道上；2.直角坐标系的单位矢量是恒矢量（大小方向不变）；自然坐标系的单位矢量方向是变化的。1.线速度运动方程AB当时的方向趋于位移起点的切线，质点做曲线运动时，任意时刻的速度其方向总沿轨迹的切线方向，在法线方向上没有分量其大小趋于对应的弧长

由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：由加速度的定义有2.加速度d

dsPPd

以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：

如图，圆周半径为R，质点在dt时间内经历弧长ds，对应于角位移d

，切线的方向改变d

角度。作出dt始末时刻的切向单位矢，由矢量三角形法则可求出切向单位矢的增量为根据相似三角形将上式同除，再取极限代入方向：法线方向Pd

P

于是前面的加速度表达式可写为：即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：at称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；an称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢。

上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径R要用曲率半径

代替。由的大小为P

二、圆周运动的角量描述当质点沿着圆周运动时，随时间变化，即质点的运动学方程可表示为角位移平均角速度角速度角坐标对时间一阶导数

角速度的增量为

平均角加速度

瞬时角加速度

它等于角速度对时间的一阶导数，也等于用坐标对时间的二阶导数。在国际单位制中，角坐标的单位为rad，角速度的单位为rad／s，角加速度的单位为rad／s2。三、线量和角量之间的关系1.圆周运动的路程与角位移2.圆周运动的线速度与角速度3.加速度与角速度、角加速度之间的关系[例题1-6]

汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为(SI)。求汽车在t=1s时的加速度.解：

加速度将R=200m及t＝1s代入上列各式，得为加速度与的夹角.【例题1-7】一质点沿半径为r的圆周运动，其初速度为v0，切向加速度为-b。求：（1）t时刻的速率；（2）t时刻质点的切向加速度和法向加速度的大小。解：（1）切向加速度与速度的关系为分离变量并积分得（2）切向加速度为法向加速度为【例题1-8】在O-xy坐标平面内，质点沿着圆心为O、半径为r的圆周运动，其运动学方程为。求：（1）角速度、角加速度、线速度v、切向加速度、法向加速度各量对时间t的函数关系式。（2）当圆周的半径为时，再次求出这五个物理量对时间t的函数关系式。解：（1）由题意，质点的运动学方程为运用分别可得运用线量和角量之间的关系可得（2）运用线量和角量之间的关系可得思考：将上述两种情形的角量与线量相对比，可以得到什么结论？【例题1-9】设电扇叶片尖端的切向加速度为法向加速度的3倍，求：风扇的转动速度大小由增大到时，所需要的时间是多少？解：设时，时，

则因为可得分离变量两边积分得★解题指导：上述例题1-6属于运动学中的第一类问题，例题1-7属于运动学中的第二类问题。运动学中的第一类问题解题的关键是明确角坐标、角速度和角加速度之间导数关系；运动学中的第二类问题解题的关键是明确角坐标、角速度和角加速度之间积分关系。但是注意的是法向加速度与速度大小和半径大小有关。1.作匀速圆周运动的物体()速度不变加速度不变切向加速度等于零法向加速度等于零ABCD提交单选题1分2.半径为30cm的飞轮，从静止开始以的匀角加速度转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240°时的切向加速度的大小为[填空1]m/s，法向加速度的大小为[填空2]m/s2

作答填空题2分作业：1-151-161-17一、时间与空间二、伽利略变换三、伽利略速度变换关系第四节伽利略变换

四、加速度对伽利略变换为不变量运动描述具有相对性:观察小球的运动匀速运动车上的人观察地面上的人观察竖直上抛运动斜抛运动

运动是相对的，如果我们选择的两个参考系有相对运动，那么我们在这两个参考系中观测同一物体的运动情况是不一样的。在两个作相对运动的参考系中，研究同一物体的运动之间的关系，就是相对运动问题。由此可见一、时间与空间在两个作相对直线运动的参考系中，时间的测量与参考系无关。1．时间的绝对性在两个作相对直线运动的参考系中，长度的测量与参考系无关。2．空间的绝对性3．经典力学的时空观1）绝对空间：空间两点之间的距离不管从哪个坐标系测量，结果都是相同的；2）绝对时间：同一运动所经历的时间在不同的坐标系中测量都是相同的。二、伽利略变换设O为基本参考系，为动参考系质点在空间运动,某时刻位于P点正变换逆变换伽利略坐标变换设相对O以速度作匀速直线运动三、伽利略速度变换关系绝对运动：物体相对基本参考系的运动.相对运动：物体相对动参考系的运动.牵连速度

绝对速度相对速度牵连运动：

相对O的运动.四、加速度对伽利略变换为不变量加速度加速度对伽利略变换具有不变性.【例题1-10】

东流的江水，流速为v1=4m/s,

一船在江中以航速v2=3m/s向正北行驶（如图1-8所示）。试求:岸上的人将看到船以多大的速率v，向什么方向航行?解：以岸为O系，江水为O’系船相对于岸的速度方向江水的流速为牵连速度，船相对于水的速度为相对速度。【练习】一人骑自行车向东而行,在速度为10m/s时,觉得有南风;速度增至15m/s时,觉得有东南风.求风的速度.东南解：选地为基本坐标系O，人为动坐标系O’

设风速为风相对于人人的速度=+应用：解决相对运动问题