2024届广东省广州市高三上学期调研测试数学试题及答案

2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.zzz2，zz，则（）z1.已知复数满足A1B.2C.5D.25，xMxy12xNyyeMN2已知集合，则（）121212,,A.B.C.D.a4，btaj3.已知向量，若与b共线，则向量ab在向量上的投影向量为（）A.j4.已知函数B.jC.2jD.2jbab0是奇函数，则（fxa）31xA.2ab0B.2ab0C.ab0D.ab05.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且anan1a为等n1的前100项和为（差数列，则数列）an第1页/共5页9950200101A.B.C.D.6.直线l:y2与圆C:xy6x70交于A，B两点，则的取值范围为（）22D.23,87,427,83,4A.B.C.π15350，sin7.已知，，则的值为（）2351AB.C.D.22531fxx3ax2x1在区间2上存在极小值点，则a的取值范围为（8.若函数）354554,2D.A.B.C.4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h图，则（）A.图中a的值为0.015B.样本的第25百分位数约为217C.样本平均数约为198.4第2页/共5页D.在被调查的用户中，用电量落在230内的户数为108x22y21a0的左、右焦点别为F1FF，过点的直线l与双曲线E的右支相2210.已知双曲线E:，a2P,Q交于两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则a2B.若E的离心率为3，则E的实轴长为1FPF90PFPF412C若，则121周长的最小值为82aD.当变化时，3π,1π4fxsin）Px的图象的一个对称中心，则（b011.已知点是函数83π8fx1是奇函数A.B.28k，kN*333ππ88C.若在区间fx,上有且仅有2条对称轴，则2π2π55143D.若在区间上单调递减，则2或fx,ABCDCDAABC，，的中11112.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱1111点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线1的夹角为，则（）1DB1A.平面PMN第3页/共5页B.平面PMN截正方体所得的截面面积为33πC.点Q的轨迹长度为D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为332三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线C:y点）的面积为2，则22pxp0的焦点为F，点M在C上，x轴，若（O为坐标原p______.514.2x2xy的展开式中x5y2的系数为______（用数字作答）.PABC平面，，615.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，6AB26，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.6fxe2x2ax2e16.已知函数xa2x2a0恰有两个零点，则a______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的前项和为，且Sn1.aSn2an17.设数列nn（1）求数列的通项公式；ana,为奇数（2）若数列满足bn2n，求数列的前2n项和bn.b2nna,为偶数n18.如图，在四棱锥P中，CD//AB，90，AB2BC4，三棱锥42B的体积为.3（1）求点P到平面ABCD的距离；PADABCDNAN2NPNCD，求平面与平面（2）若PAPD，平面平面，点在线段AP上，ABCD夹角的余弦值.第4页/共5页bsinBcsinCasinAbsinBsinC且19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知πC.2πBA（1）求证：；2（2）求AsinBsinC的取值范围.20.已知函数fxx2xax.yfx在点f0（1）当a0时，求曲线处的切线方程；fx0，求a的取值范围.1x0（2）当时，21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？Px,y是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆F3,022.在平面直角坐标系4内切，记点P的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；中，点，点O:x2y2（2）设点，，，直线A0,1Mt,0N4t,0t2AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A，垂足为H，求的最小值．第5页/共5页2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.zzz2，zz，则（）z1.已知复数满足A.1B.2C.5D.25【答案】C【解析】z【分析】由条件求得，即可计算模长.【详解】∵zz2，zz，∴，2z2，z1iz12(2)25.∴故选：C.，xMxy12xNyyeMN2.已知集合，则（）121212,,D.A.B.C.【答案】A【解析】M,NMN.【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得，进而求得第1页/共25页1212【详解】由12x0，解得x，所以Mx|x，y|y0，而y=ex0，所以N1MN.所以2故选：Aa4，btaj3.已知向量，若与b共线，则向量ab在向量上的投影向量为（）A.jB.jC.2jD.2j【答案】C【解析】j【分析】根据a与b共线，可得t40，求得t2，再利用向量ab在向量上的投影向(ab)jj量为，计算即可得解.jja2,4，bt，【详解】由向量若a与b共线，则t40，所以t2，ab(2)，j0,1上的投影向量为：所以向量ab在向量(ab)jj(1,2)j2j，jj1故选：C4.已知函数bab0是奇函数，则（fxa）31xA.2ab0B.2ab0C.ab0ab0D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.x|x，【详解】的定义域为fx第2页/共25页由于是奇函数，所以fxfx0，fxbbb3xb所以aa2axx13x13x131b13x2a2ab0.x31故选：B5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且anan1a为等n1的前100项和为（差数列，则数列）an9950200101A.B.C.D.【答案】D【解析】an【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案.aaa6aaaa3【详解】，，1232132an12n11n1，n由于aa为等差数列，所以n1nann1a1aaaaaan所以21321n123nna，也符合，12nn11211an,2所以，2nnn1nn11111111200101101的前1002121所以数列项和为.an223100101故选：D6.直线l:y2与圆C:xy6x70交于A，B两点，则的取值范围为（）22第3页/共25页D.23,87,427,83,4A.B.C.【答案】D【解析】【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围.【详解】由题易知直线l:y2恒过，M22y26x70化为标准方程得C:x32y216，圆C:x即圆心为，半径r4，C3,0M2距离CM22134，圆心到3002M2在圆C所以内，则直线l与圆C交点弦最大值为直径即8，最小时即为圆心到直线距离最大，即CMl时，此时2421323，23,8所以的取值范围为.故选：Dπ130，sintan，则7.已知，的值为（）255351A.B.C.D.2253【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.1cossinsin【详解】，5第4页/共25页35sinsinsin，cossinsinsincossin1，分子分母同时除以得：31tantan13①，0πππ000，所以由于，所以，222π022345所以cos，15sin34tan所以，tantan1tantan333,tantantantan即，代入①得：4441tantan13tantan33.3，解得tantan544故选：B1fxx3ax2x1在区间2上存在极小值点，则a的取值范围为（8.若函数）354554,2D.A.B.C.4【答案】A【解析】【分析】根据的零点、的极值点的情况列不等式，由此求得的取值范围.fxfxa1fxx3ax2x1fxx22ax1，，【详解】3fxx22ax1xay，与轴的交点为，的开口向上，对称轴为当a0时，在区间上，¢，单调递增，f(x)>0fxa0没有极值点，所以，第5页/共25页要使在区间2上存在极小值点，则x22ax10在2有两个不等的正根，fxfxa0Δ4a240541a则需，解得，0a2f254a05所以a的取值范围是.4故选：A1）确定2）计算导数fx3）求出fx0fx4）用fx的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进fx0的根将fx而确定5）根据单调区间求得的极值点.fxfx二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h图，则（）A.图中a的值为0.015B.样本的第25百分位数约为217C.样本平均数约为198.4D.在被调查的用户中，用电量落在230内的户数为108【答案】AC【解析】第6页/共25页【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可.20(0.0060.0070.010.012a)1，【详解】对A，所以a，故A正确；对B设样本的第25百分位数约为b则200.0070.140.2520(0.0070.012)0.380.25，b170,190，故B错误；所以0.0071800.0122000.0152200.012400.006)198.4对C，样本平均数为：故C正确；，对D，用电量落在230内的户数为：20(0.0120.015200148，故D错误.故选：ACx22y21a0的左、右焦点别为F1FF，过点的直线l与双曲线E的右支相2210.已知双曲线E:，a2P,Q交于两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则a2B.若E的离心率为3，则E的实轴长为1FPF90PFPF412C.若，则121周长的最小值为82aD.当变化时，【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b2，bab2A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；a222cc22a2b2bB选项，若E的离心率为e113，aaaa2a第7页/共25页解得a1，所以实轴长2a2，故B错误；PF22a1FPF90C选项，若，则，1222PFPF4c21224c24a2b24整理得，故C正确；1212PFPF2a12D选项，根据双曲线的定义可知，，2a12PFPQ4a,PF4aPQ两式相加得所以1，11114a2周长为，b24PQ1FPQ当时，取得最小值，2aa88所以4a2PQ4a24a82，aa84a当且仅当，即a2时，等号成立，a所以1周长的最小值为82，故D正确.故选：ACD3π,1π4fxsin）Px的图象的一个对称中心，则（b011.已知点是函数83π8fx1A.B.28k，kN*333ππ88C.若在区间fx,上有且仅有2条对称轴，则2π2π55143D.若在区间上单调递减，则2或fx,【答案】BC【解析】【分析】根据的对称中心求得,，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.fx第8页/共25页3π,1π4fxsinPx的图象的一个对称中心，b0【详解】依题意，点是函数83π8π43ππ28所以b1，且sinπ,k,kN*①，B选项正确.84332833πfxsinkx则kN，*43π828333ππ84fx1sinkx所以28πsinkx12k，3323π82833π由于12k是奇数，所以fx1sinkx12k是偶函数，2A选项错误.3π11π3πππ11ππx,xC选项，，888448428k,kN*将代入得：333π28π28833433π11π28πkkkx，483342833π8π2ππkxπ整理得，4333ππ由于在区间fx,上有且仅有2条对称轴，883π8π2π5π13161916kN*，所以k1，所以对应，解得，由于k2332282，所以C选项正确.33π2πD选项，在区间fx,上单调递减，552ππ2πππππ2ππx,x,x，55528554454k,kN*将代入得：33π28π28kkxπ2π28πk，53343345334第9页/共25页8π7π28kxπ16ππkk整理得，1560334156016ππ8π7π60178kkπ，解得1kk2，则，而kN，所以k1或*1560158π7π16ππ37π21π606020k,k,k1时，，符合单调性，1560158π7π16ππ71π127π606060k2时，15k,k,k2，不符合单调性，所以舍去60152812所以，所以D选项错误.33故选：BCABCDCDAABC，，的中11112.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱1111点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线1的夹角为，则（）1DB1A.平面PMNB.平面PMN截正方体所得的截面面积为33πC.点Q的轨迹长度为D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为332【答案】ABD【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面PMN的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面PMN截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在第10页/共25页，由1DRt,t,tRSt得到方程，求出半径的最大值上，设球心为.,DC,x,y,z【详解】A选项，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，1，P2,0,M2,N0,1,D0,0,0,B2,2,212,2,2,PM1,2,PN2,1故.1，设平面PMN的法向量为mx,y,zmx,y,z1,2xy2z0则，mx,y,z2,1x2yz01，xy1m令z1得，，故DB2m1因为，故平面PMN，A正确；1AD,AB,CCE,F,QMQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP,1B,CD，连接，1B选项，取的中点111CDAABC的中点，因为M，N，P分别是棱，，111NF//1B,//CDCD//EP//AB所以所以，又，111NF////EPPMN截正方体所得的截面为正六边形，，所以平面32233，B正确；其中边长为2，故面积为64第11页/共25页C选项，Q为平面PMN上的动点，直线与直线1的夹角为，13DB1PMN又平面，设垂足为S，以S为圆心，r1S为半径作圆，3即为点Q的轨迹，1BDBD44423BSBD3其中，由对称性可知，，111123故半径r31，3故点Q的轨迹长度为2π，C错误；CDAABCD选项，因为M，N，P分别是棱，，的中点，111所以平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体对称，不妨求能放入含有顶点D的空间几何体的球的半径最大值，1A1D该球与平面PMN切与点S，与平面，平面ADCB，平面相切，11Rt,t,t上，设球心为，则半径为，tBD1由对称性可知，球心在第12页/共25页33，故t，即，解得31tt，SRSt233故球的半径的最大值为，D正确.2故选：ABD【点睛】立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线C:y点）的面积为2，则【答案】2222pxp0的焦点为F，点M在C上，x轴，若（O为坐标原p______.【解析】ppp2pF(,0)xy，带入面积公式S【分析】根据所给条件，可得，再令得，计算即可224得解.ppF(,0)xyp，【详解】由，令得221pp2所以Sy2，2242p8，p22.所以故答案为：22514.2x2xy的展开式中x52y的系数为______（用数字作答）.【答案】120【解析】第13页/共25页【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.2x5y2x2xy2，【详解】由于所以2x2所以2x2xy的展开式中含x5225y2的项为C522x2C13x1C22y120xy2，55xy的展开式中x5y2的系数为120.故答案为：12015.已知三棱锥PABC平面，，6的四个顶点均在同一球面上，6AB26，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.6【答案】36π【解析】16外接圆圆心OO作OO1OO1PC平面O为三棱锥1122PABC的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.【详解】如图根据题意，平面，6PAC所成角，则sinPAC所以即为与平面，6又因为6，AB26，6PC所以sinPACAP6，则ACAP2PC230,6AP又AC230AB2BC2ABBC，即三角形为直角三角形，AC中点O，则O取为三角形1外接圆圆心，1PC6取AP中点O，则OOPC，且OO1，122第14页/共25页所以，即O为三棱锥PABC的外接球球心，226302其半径R22O21A29，2PABC4R36π.所以三棱锥的外接球的表面积为2故答案为：36πfxe2x2ax2e16.已知函数xa2x2a0恰有两个零点，则a______.e2【答案】2【解析】【分析】利用导数，求出的单调区间，由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的fxfxfx交点，从而建立等量关系求解可得.fxe2x2ax2e【详解】因为xa2x2a0，所以fx2e2x2aexx2x2eaxeaxx2e2axy0axyxax，则yexa，令令，xay0yex故当时，函数为增函数，为减函数，0ye，函数xayxax当时即当xa时函数yx，ax有最小值a1aa1a0若0aefx时0fx，此时函数，即，即在R上为增函数，与题意不符；yeax,a0与x轴有两个不同交点，a1a0若aex时，此时函数1e1x2设交点为x,0,x,0，且01，即，12e22xxxxy0f(x)>0，即，此时函数fx为增函数，所以当或时21当1，即fx0，此时函数fx为减函数，x2时y0依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，即或，fxfxf10fx02所以2120或e222a22e2a220，e212ax2e1a21第15页/共25页e1e2x2化简得12或，所以a，212e2故答案为：.2【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：设Fxfxgx方法一：转化为函数与x轴交点个数问题，通过求解单调性构造不等式求解；FxFxyfx,ygx的交点个数问题求解.方法二：转化为函数四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的前项和为，且Sn1.aSn2an17.设数列nn（1）求数列的通项公式；ana,为奇数（2）若数列满足bn2n，求数列的前2n项和bn.b2nna,为偶数n2n1an【答案】（1）123（2）2n22n12nn3【解析】1,n1ana.n1）根据求得SS,n2nn1（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】S2a1依题意，，nn当n1时，a2aa1，111当n2时，S2n11，n1aSS2a2a,a2an2，n1所以nnn1nn1n所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，an2n1a，也符合.1an所以第16页/共25页2n1an所以.【小问2详解】n为奇数b由（1）得，所以n2n,为偶数122n12n0242n2223214142n02n2n224nn2n313222n1n2n.3318.如图，在四棱锥P中，CD//AB，90，AB2BC4，三棱锥42B的体积为.3（1）求点P到平面ABCD的距离；PADABCDNAN2NPNCD，求平面与平面（2）若PAPD，平面平面，点在线段AP上，ABCD.夹角的余弦值【答案】（1）26（2）3【解析】1）根据等体积法求得点P到平面（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面【小问1详解】ABCD的距离；NCDABCD夹角的余弦值.与平面设点P到平面ABCDh，第17页/共25页13423则BPhS，12SABBC4由题可知，PABDSABD42h2，所以4所以点P到平面【小问2详解】ABCD的距离为2.PAPD,PMAD取AD的中点M，连接，因为，又平面PAD平面ABCD且交线为，由（1）知PMAD，PM平面PAD，PMAD，所以平面ABCD2.4222222，由题意可得BD22,AD2BD2AB2，所以ADBD.所以AD以D点为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过点D作，z的平行线为轴，建立如图所示的空间直角A22,0,0,P2,2,C2,2,0坐标系，则232232232,2,0,AP2,2,ANAP,0,，依题意423223DAAN,0,所以.x,y,zNCDn设平面的法向量为，1111n2x2y01112232，n则，故可设4231n1101平面的一个法向量为n0,1，ABCD2NCDABCD的夹角为设平面与平面，nn26cosn,n12则，1261nn3126NCDABCD夹角的余弦值为所以平面与平面.3第18页/共25页bsinBcsinCasinAbsinBsinC且19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知πC.2πBA（1）求证：；2（2）求AsinBsinC的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）2,3【解析】cosAsinB1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为，结合诱导公式及ππCBA可证.22πBAcosAsinB，结合诱导公式和二倍角余弦公式将（2）根据及2π2π221232AsinBsinC2sinBsinC2sinAsin2A化为2A，先求出角A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为bsinBcsinCasinAbsinBsinC，由正弦定理得，b2c2a2bcsinB，由余弦定理得b2c2a2bcAbcsinB，πcosAsinBAsin()，所以sin()sinB所以，又.22ππ又0Aπ，0Bπ，所以AB或ABπ，22ππABBA所以或，22πππ又C，所以ABπCBA，所以，得证.222第19页/共25页【小问2详解】ππBA，所以CπAB2A由（1）知，22π2π2cosAsinBAsinBsinC2sinBsinC2sinAsin2A又，所以212322cosAcos2A2cos2A2cosA12A，Aπ0ππ20BAπcosA10A因为，所以，所以，242π0C2Aπ212232A,1单调递增，因为函数y2A在22222213123123所以222A213，22222所以AsinBsinC的取值范围为2,3.20.已知函数fxx2xax.yfx在点处的切线方程；f0（1）当a0时，求曲线fx0，求a的取值范围.1x0（2）当时，【答案】（1）（2）,2.【解析】2xy0；x2x1f(x)ln(x处的切yf(x)在1线方程．x2x111xf(x)ln(xag(x)f(x)(x(0)g(x)0，（2x1(x2(x2故f(x)在(0)上为减函数，讨论a2和a2时函数的单调性，即可得解.【小问1详解】第20页/共25页因为a0，所以f(x)(x2)x，f(0)(02)ln10x2，，由切点为0201f(x)ln(xf(0)ln(02，，所以x1yf(x)在处的切线方程为y02(x0)，所以曲线即2xy0．【小问2详解】x2x1f(x)ln(xag(x)f(x)(x(0))，令由则11xg(x)20，x1(x(x2故f(x)在x(0)上为减函数．又f2a，f(x)f(0)0f(x)(0)在①当a2时，，故上为增函数，f(x)f(0)0所以恒成立，故a2符合题意；f(0)2a0②当a2时，由于，1a1ea2fe时aaae2a10a由1ea10且当，，t(0)ft)0根据零点存在定理，必存在，使得由于f(x)在(0)上为减函数，x(t)f(x)0xt,0)f(x)0，时故当时，，x(t)故f(x)在上为增函数，xt,0)上为减函数f(x)在所以当xt,0)时，f(x)f(0)0，故上不恒成立，f(x)0在(0)所以a2不符合题意．,2．a综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，同时考查恒成立问题，是难题．本题的关键有：第21页/共25页（1）二次求导，利用二次求导得出导函数的单调性；（2）分类讨论，找到讨论点是关键，本题讨论点为a2和a2.21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？【答案】（1）分布列详见解析（2）买2个【解析】1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得X的分布列.（2.【小问1详解】由题意可知X所有可能取值为2,3,4，313A233C1249A33329234PX,PX,PX,3233所以X的分布列如下：X234134929P【小问2详解】x设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐