安徽省皖豫名校联盟2023届高三第三次大联考数学试题

绝密★启用前皖豫名校联盟”2023届高中毕业班第三次考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，满足，，则的最大值为（）A. B. C.4 D.3.将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（）A.0 B. C.2 D.4.某社区举行“喜迎五一”书画作品比赛，参加比赛的老年人占，中年人占，小朋友占，经评审，评出一、二、三等奖作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品获奖的概率分别为0.6,0.2,0.1.现从所有作品中任取一件，则取到获奖作品的概率为（）A.0.21 B.0.4 C.0.42 D.0.585.在室温下，某型号硅二极管的伏安特性曲线可用公式来表示，其中是导通电流，规定时视为二极管关断，否则视为二极管开通，是加在二极管两端的电压.若在室温下，分别在该型号二级管两端加0.78V正向电压（即）和0.78V反向电压（即），则此时二极管的状态分别为（）A.开通、开通 B.关断、关断 C.开通、关断 D.关断、开通6.如图为一个火箭的整流罩的简单模型的轴截面，整流罩是空心的，无下底面，由两个部分组成，上部分近似为圆锥，下部分为圆柱，则该整流罩的外表面的面积约为（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.28.已知抛物线，过坐标原点作两条相互垂直的直线分别与抛物线相交于，两点（，均与点不重合）.若直线恒过点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若在中，，则（）A. B.C. D.10.如图，已知四棱锥的外接球的直径为4，四边形为正方形，平面平面，为棱的中点，，，则（）A.平面 B.C.与平面所成角的正弦值为 D.四棱锥的体积为11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点与位于双曲线右支上的关于轴对称，点与关于轴对称，，为双曲线上一动点（不与，，重合），且直线与的斜率均存在，则A. B.C.四边形的面积为 D.直线与的斜率之积为312.已知函数的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（）A.的图象关于点对称B.C.D.方程在区间上的所有实根之和为144三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆与圆的公共弦经过点，则________.14.88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列.若中音（左起第49个键）的频率为440Hz，钢琴上最低音的频率为27.5Hz，则左起第61个键的音的频率为__________Hz.15.将函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍后，所得函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则的值为__________.16.设函数，若存在，，，，使得成立，则实数的最大值为________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列满足，.（Ⅰ）证明为等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，证明：数列的前项和小于.18.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（I）证明：；（II）若，，求的面积.19.（12分）某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设表示第天的平均气温，表示第天参与活动的人数，，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：，，.（Ⅰ）根据所给数据，用相关系数（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（Ⅱ）现有两个家庭参与套圈，家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为，家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，，，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白兔价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？附：相关系数.20.（12分）已知平行六面体的各棱长均为2，，，分别是线段，的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值.21.（12分）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，且当直线的倾斜角为时，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴上方，为线段的中点，粗圆的左焦点为，直线（为坐标原点）与交于点，求（表示面积）的取值范围.22.（12分）已知函数在区间上的最小值为，函数，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设函数，，是的两个不同的极值点，且，证明：

皖豫名校联盟”2023届高中毕业班第三次考试数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.答案A命题意图本题考查集合的运算.解析由题意得，，，所以.2.答案B命题意图本题考查复数的几何意义.解析因为，所以，所以，所以的最大值为.3.答案D命题意图本题考查向量的数量积.解析根据题意可知，.4.答案C命题意图本题考查概率的计算.解析现从所有作品中任取一件，则取到获奖作品的概率为.5.答案C命题意图本题考查函数模型的应用.解析当时，，所以二极管开通；当时，，所以二极管关断.6.答案B命题意图本题考查几何体的表面积.解析根据题意，上部分圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，下部分圆柱的侧面积为，所以该整流罩的外表面的面积约为.7.答案D命题意图本题考查三角恒等变换.解析，，即，令，，则，，，，，，，故.8.答案A命题意图本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系.解析设，，直线为，联立抛物线的方程得，所以，.又，所以，所以，所以，所以，所以直线的方程为，所以直线过定点，故，即，所以.由抛物线的方程可得，所以，当且仅当时取等号.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.答案BD命题意图本题考查二项式定理.解析令，则，，故A错误；令，则，故B正确；，故C错误；，故D正确.10.答案ABC命题意图本题考查线面位置关系、几何体的体积及线面角.解析因为，平面，平面，所以平面，故A正确；平面平面，且，所以，又，，从而平面，所以，故B正确；易知，所以四棱锥的外接球的直径为，所以，所以，所以，因为平面，所以为与平面所成的角，所以，故C正确；因为平面平面，过作，根据面面垂直的性质定理，可知平面，因为，所以，所以，故D错误.11.答案ACD命题意图本题考查双曲线的方程与性质.解析根据双曲线的对称性，可得，所以，故A正确；根据题意，四边形为等腰梯形，，设，由余弦定理可得，即，解得，所以，故B错误；梯形的高为，，所以四边形的面积为，故C正确；设，易知，所以，，则，故D正确.12.答案AC命题意图本题考查函数的图象与性质及函数的零点.解析因为为偶函数，所以，即，又，可得，故的图象关于点对称，故A正确；，故是以4为周期的周期函数，根据题意，，，，，，故，故B错误；，其中，故，故C正确；是周期函数，最小正周期是8，由，得其对称轴为，，显然与的图象有公共的对称轴，，方程的实根是与的图象的公共点的横坐标，在同一坐标系内作出与在上的大致图象，如图，可知，，所以，由图易知在，，…，上的三个零点之和构成首项为4，公差为24的等差数列，故在区间上的所有实根之和为，故D错误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案命题意图本题考查两圆的公共弦.解析圆的圆心，两圆的公共弦所在的直线的方程为，，所以，所以.14.答案880命题意图本题考查等比数列的性质.解析设等比数列的公比为，则，所以，则左起第61个键的音的频率为.15.答案2命题意图本题考查三角函数的图象与性质.解析由题可知.因为，所以.因为，的图象大致如图所示，要使的图象在区间上有且仅有两条对称轴、两个对称中心，则，解得，因为，所以.16.答案命题意图本题考查导数的综合应用.解析由题意知，存在，，，使得成立.令，，则，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，，则的取值范围是，故，，则，则，故.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.命题意图本题考查等比数列的定义及裂项相消法.解析（Ⅰ）因为，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列.所以，即.（Ⅱ）.所以.所以，故数列的前项和为.18.命题意图本题考查解三角形.解析（Ⅰ）由及正弦定理得，因为，所以，所以.因为，所以，所以或，即或（舍去）.（Ⅱ）由及正弦定理得，由，得，所以，.由余弦定理得，得，整理得，解得或.当时，，当时，可得，此时不满足，故舍去.综上所述，的面积为.19.命题意图本题考查相关系数及离散型随机变量的期望.解析（Ⅰ）由题可知.故可用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）设家庭中套中小白兔的人数为，则，所以.设家庭的盈利为元，则，所以.设家庭中套中小白兔的人数为，则的所有可能取值为0,1,2,3，，，，，所以.设家庭的盈利为元，则，所以.因为，所以家庭的损失较大.20.命题意图本题考查线面垂直及空间向量的应用.解析（Ⅰ）如图，设，交于点，连接，，.因为平行六面体中，各棱长均为2，且，所以为等边三角形，四边形为菱形，所以为的中点，.所以.因为，所以平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，为等边三角形，所以，故.解可得，.因为平面，所以平面平面，故在平面上的射影落在上，连接，所以，.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，所以，，所以，，.设平面的法向量为，由得，取，则.由（Ⅰ）知为平面的一个法向量.设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面的夹角的余弦值为.21.命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题.解析（Ⅰ）依题意，，得，则椭圆.设直线的斜率为.由题易知，故当倾斜角为时，直线.联立可得，解得或.故，解得.故椭圆的方程为.（Ⅱ）依题意，，.设，，则，.连接，因为分别为线段，的中点，所以，，的面积为.记，得.设直线，与椭圆的方程联立，消去得，由根与系数的关系可得，.令，其中，则可得.当时，，，此时.当时，，所以，又，解得.所以，解得，又因为，所以实数的取值范围是.22.命题意图本题考查导数在求函数最值及不等式证明中的应用.解析（