八年级数学上册专题4.11基本平面图形章末八大题型总结(拔尖篇)同步特训(学生版+解析)

专题4.11基本平面图形章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1线段中的动点问题】 1【题型2利用线段的条数解决实际问题】 2【题型3直线、射线、线段的规律探究】 3【题型4线段的和差的实际应用】 4【题型5三角板中角度探究】 5【题型6探究角度之间的关系】 7【题型7角度中的规律探究】 9【题型8动角旋转问题】 10【题型1线段中的动点问题】【例1】（2023下·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知OA+OB=20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动．

(1)如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD(2)如图1，若在运动过程中，始终保持OD=3AC，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM=OA，点P是直线OB上一点，且MP−BP=OP，求OPMB【变式1-1】（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有A，B，C，D四个点，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm

(1)线段AB=______cm(2)动点P，Q分别从A点，D点同时出发，点P沿线段AC以3cm/秒的速度，向右运动，到达点C后立即按原速向A点返回；点Q沿线段DA以1cm/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒）①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．【变式1-2】（2023上·浙江衢州·七年级校考期末）如图，点O为数轴的原点，A，B在数轴上按顺序从左到右依次排列，点B表示的数为7，AB=12.(1)直接写出数轴上点A表示的数.(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒32①经过多少秒，点P是线段OQ的中点？②在P、Q两点相遇之前，点M为PO的中点，点N在线段OQ上，且QN=23问：经过多少秒，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点(把一条线段分成1:2的两条线段的点叫做这条线段的三等分点.)？【变式1-3】（2023上·广东梅州·七年级校考阶段练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中的三条线段AB，AC和BC．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)填空：线段的中点________这条线段的巧点；（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)【问题解决】如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．(3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动：动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A，P，Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并求出此时巧点在数轴上表示的数．（直接写出答案）．【题型2利用线段的条数解决实际问题】【例2】（2023上·河南许昌·七年级许昌市第一中学校联考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备种不同的车票．【变式2-1】（2023上·山东聊城·七年级统考期中）如图，点B，C，D在线段AE上．（1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路．（2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？【变式2-2】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）3个篮球队进行单循环比赛,总的比赛场次是多少?4个球队呢?5个球队呢?【变式2-3】（2023上·江西吉安·七年级校考阶段练习）观察图形，并回答下列问题：

(1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；(2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题；(3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？【题型3直线、射线、线段的规律探究】【例3】（2023上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2,NA．20−1029 B．20+1029【变式3-1】（2023上·重庆江津·七年级统考期末）如图，图①中有1条线段，图②中有3条不同线段，图③中有6条不同线段，按此规律下去，图⑦中有（

）条不同的线段．A．21 B．22 C．24 D．28【变式3-2】（2023·河北唐山·校联考一模）如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7.…(1)“17”在射线_____上.(2)请写出OA，OB，OD三条射线上数字的排列规律.(3)“2019”在哪条射线上？【变式3-3】观察图形找出规律，并解答问题．(1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；(2)n条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．【题型4线段的和差的实际应用】【例4】（2023上·河南周口·七年级校考阶段练习）如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽AB与CD相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式4-1】（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）某摄制组从A市到B市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（D），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到C地），过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息（休息处E），司机说：再走从C地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：A，B两市相距多少千米．【变式4-2】（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知【变式4-3】（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【题型5三角板中角度探究】【例5】（2023上·福建福州·七年级统考期末）已知∠AOB．在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC,∠BOC,∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB二倍角线．

(1)一个角的平分线这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）；(2)如图①，若∠AOB=90°,∠BOC<∠AOC,OC为∠AOB的二倍角线，求∠AOC的度数；(3)如图②，将一块三角板AOB的直角顶点O放在直线MN上，且三角板AOB绕着点O转动，若OC是∠AOB的二倍角线，OB是∠CON的二倍角线，请直接写出∠BON的度数．【变式5-1】（2023上·福建福州·七年级校考期末）将一副三角板如图1放置于桌面，其中30°、45°角共顶点，CM平分∠BCE，CN平分∠BCD．当三角板DEC从图1中位置绕着点C逆时针旋转到图2中的位置时，∠MCN是（）A．变大 B．不变 C．变小 D．无法确定【变式5-2】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级克东县第三中学校考开学考试）如图OB是∠AOC内部的一条射线，把三角板60°角的顶点放到O处，转动三角板，当三角板的OD边平分∠AOB时，三角板的另一边OE也恰好平分∠BOC：

(1)求∠AOC的度数．(2)射线OB一定平分∠EOD吗？若OB平分∠EOD，求∠COB和∠AOB度数【变式5-3】（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB(其中∠OAB=30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OB恰好平分∠COE，此时，∠AOC与∠AOD之间数量关系为___________；(2)若射线OC的位置固定不变，且∠COE=130°．①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC，OD中的某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交．(i)求∠AOC−∠BOE的值．(ii)若2∠AOE+13∠BOD=∠AOD−【题型6探究角度之间的关系】【例6】（2023上·北京海淀·七年级北理工附中校考期末）对于同一平面内的∠AOB及内部的射线OC，给出如下定义：若组成的3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“牛线”．（1）图1中，OC平分∠AOB，则射线OC_______∠AOB的一条“牛线”．（填“是”或“不是”）．（2）当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的∠AOB与∠BOC的关系．（3）已知：如图2，在平面内，∠AOB=60°，若射线OC绕点O从射线OB的位置开始，以每秒5°的速度逆时针方向旋转．同时射线OA绕点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转，当射线OC与射线OA碰撞后，射线OA的速度发生变化，以每秒5°的速度继续旋转，此时的射线OC则以每秒1°的速度继续旋转，当射线OA与射线OB的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若旋转的时间记为t秒，当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的t的值．【变式6-1】（2023上·重庆·七年级校联考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB上侧任作一个∠COD，使得∠COD=90°．（1）如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，请直接写出∠BOD与∠COE之间的倍数关系，即∠BOD=______∠COE（填一个数字）；（2）如图2，过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度数．【变式6-2】（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级统考期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系．【变式6-3】（2023上·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠BOD=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为每秒12°，运动时间为t秒（0<t<12，本题出现的角均不大于平角）．(1)当t=2时，∠AOM的度数为________度，∠NOM的度数为________度．(2)t为何值时，∠AOM=∠AON．(3)当射线OM在∠BOC的内部时，探究13∠DOM−4∠AON3∠MON【题型7角度中的规律探究】【例7】（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）已知，OM、ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线．(1)如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠MON=________°；(2)如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；(3)如图2，若∠BOC=β°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求∠MON的度数（用含α或β的式子表示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律．【变式7-1】（2023上·福建龙岩·七年级统考期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（）A．165 B．186 C．199 D．210【变式7-2】（2023下·重庆忠县·七年级统考期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为(

)A．60° B．67° C．77° D．87°【变式7-3】（2023上·河北保定·七年级统考期末）(1)如图1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．填空：∠MON=；(2)如图2，∠AOB=90°，∠BOC=x，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，说明理由．(3)如图3，若∠AOB=α，∠BOC=β(α、β均为锐角，且α＞β)，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数．若能，求∠MON的度数．(4)从(1)、(2)、(3)的结果中，你发现了什么规律？【题型8动角旋转问题】【例8】（2023下·吉林长春·七年级统考期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB．在△ODE中，∠ODE=90°，∠EOD=60°．先将△ODE的一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．

(1)如图①，当OD在OA与OC之间，且∠COD=20°时，则∠AOD=______度，∠COE=______度．(2)如图②，当OD在OC与OB之间时，求∠AOD与∠COE差的度数．(3)在△ODE旋转的过程中，若∠AOE=7∠COD，求旋转角的度数．【变式8-1】（2023下·山东威海·七年级统考期末）如图①，点O在直线AB上，∠AOC=120°，OD⊥AB，将OD绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转一周（如图②），当OD旋转到第t秒时，OD所在的直线平分∠BOC，则t的值为．

【变式8-2】（2023上·四川泸州·七年级统考期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧，已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数；(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转(旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角)，其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小．【变式8-3】（2023上·内蒙古通辽·七年级校考期末）【阅读理解】如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1:2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．(1)∠AOB的角平分线这个角的“幸运线”（填“是”或“不是”）；(2)若∠AOB=120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC=．(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB专题4.11基本平面图形章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1线段中的动点问题】 1【题型2利用线段的条数解决实际问题】 8【题型3直线、射线、线段的规律探究】 11【题型4线段的和差的实际应用】 15【题型5三角板中角度探究】 18【题型6探究角度之间的关系】 23【题型7角度中的规律探究】 31【题型8动角旋转问题】 35【题型1线段中的动点问题】【例1】（2023下·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知OA+OB=20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s

(1)如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD(2)如图1，若在运动过程中，始终保持OD=3AC，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM=OA，点P是直线OB上一点，且MP−BP=OP，求OPMB【答案】(1)AC+OD=12(2)OA=5(3)OPMB=1【分析】（1）先求出OC=1×2=2cm，BD=3×2=6cm，根据OA=20−OB，求出AC=OA−OC=20−OB（2）设运动时间为t，则OC=t，BD=3t，求出OD=OB−3t，AC=OA−t，根据OD=3AC，得出OB−3t=3OA−t，求出OB=3OA，再根据OA+OB=20（3）当点P在O、B之间时，根据OA=5cm，得出MO=5cm，BO=15cm，求出BM=20cm，根据求出OP=MP−BP=MO+OP−BP=5+OP−BP，根据OP=OB−BP=15−BP，得出5+OP−BP=15−BP，求出OP=10cm，最后求出比值即可；当点P【详解】（1）解：当运动时间为2sOC=1×2=2cmBD=3×2=6cm∵OA+OB=20cm∴OA=20−OB，∴AC=OA−OC=20−OB∵OD=OB−BD=OB−6，∴AC+OD=18−OB+OB−6=12cm

（2）解：设运动时间为t，则OC=t，BD=3t，∴OD=OB−3t，AC=OA−t，∵OD=3AC，∴OB−3t=3OA−t∴OB=3OA∵OA+OB=20cm∴OA+3OA=20cm∴OA=5cm（3）解：∵OA=5cm∴MO=5cm，BO=15cm，∵MP−BP=OP，∴点P在点O右边，当点P在O、B之间时，∴OP=MP−BP=MO+OP−BP=5+OP−BP，∵OP=OB−BP=15−BP，∴5+OP−BP=15−BP，∴OP=10cm∴OPMB

当点P在点B右边时，∵MP−BP=OP，MP−BP=MB，∴OP=MB，∴OPMB综上，OPMB=1或【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果．【变式1-1】（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有A，B，C，D四个点，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm

(1)线段AB=______cm(2)动点P，Q分别从A点，D点同时出发，点P沿线段AC以3cm/秒的速度，向右运动，到达点C后立即按原速向A点返回；点Q沿线段DA以1cm/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒）①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．【答案】(1)20(2)8、20cm【分析】（1）根据BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm算出BC,AD，再根据AB=AD−BC−CD（2）①根据P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是DA的长列方程即可求解；②根据P，Q两点第二次相遇时，P点所走的路程与AC的差和Q所走的路程与CD的差相等列方程即可求解；【详解】（1）∵CD=4∴BC=2×4=8∴AB=AD−BC−CD=32−8−4=20故线段AB的长为20cm（2）①P，Q两点第一次相遇时根据题意可得：3t+t=32解得：t=8秒故P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值是8秒；②由（1）得AC=AB+BC=28当P，Q两点第二次相遇时：3t−28=t−4解得：t=12秒∴PC=3×12−AC=36−28=8cm∴AP=28−8=20cm故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是20cm【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．【变式1-2】（2023上·浙江衢州·七年级校考期末）如图，点O为数轴的原点，A，B在数轴上按顺序从左到右依次排列，点B表示的数为7，AB=12.(1)直接写出数轴上点A表示的数.(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒32①经过多少秒，点P是线段OQ的中点？②在P、Q两点相遇之前，点M为PO的中点，点N在线段OQ上，且QN=23问：经过多少秒，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点(把一条线段分成1:2的两条线段的点叫做这条线段的三等分点.)？【答案】(1)-5;(2)①349秒;②7433秒或10339秒或349秒或【分析】（1）根据AB=12，点B表示的数是7，即可确定OA的长度，得到点A表示的数；（2）①根据题意得到OP=PQ，列式计算即可；②先求得MN、MP的长度，再分两种情况：当点P是线段MN的三等分点时，或当点N是线段MP的三等分点时，分别求出t的值.【详解】(1)点A表示的数是-5；(2)①由题意得：OP=3t-5，OQ=7+3∵点P是线段OQ的中点，∴OP=12∴3t−5=1t=34经过349秒，点P是线段OQ②由①知OP=3t−5,OQ=7+3∵点M为PO的中点，∴OM=MP=12OP=3∵QN=23∴QN=23(7+3∴MN=OQ-OM-QN=196分两种情况：i：如图1，当点P是线段MN的三等分点时，得MP=13MN∴32t−5得t=7433当P在O左侧时，MP=2×得t=1ii：如图2，当点N是线段MP的三等分点时，得MN=13MP∴296−t=1得t=349或综上，经过7433秒或10339秒或349秒或134h或112秒时，在P【点睛】此题是一道有理数的动点问题,根据点在数轴上运动的规律,确定线段间的数量关系,从而求得t的值,注意②中应分情况求值.【变式1-3】（2023上·广东梅州·七年级校考阶段练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中的三条线段AB，AC和BC．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)填空：线段的中点________这条线段的巧点；（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)【问题解决】如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．(3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动：动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A，P，Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并求出此时巧点在数轴上表示的数．（直接写出答案）．【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=12或607或454，“巧点”P表示的数为：−5或−8或−207；“巧点”Q表示的数为：【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断便可；（2）设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程便可；（3）先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解便可．【详解】（1）解：因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）解：设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40−x，AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2x+20解得，x=10；②当BC=2AC时，有40−x=2x+20解得，x=0；③当AC=2BC时，有x+20=240−x解得，x=20．综上，点C表示的数为10或0或20；（3）解：由题意得，AP=2t，AQ=60−4t，PQ=60−6t(0⩽t⩽10)i)．若0⩽t⩽10时，点P为AQ的“巧点”，有①当AQ=2AP时，60−4t=2×2t，解得，t=15∴AP=15，∴点P表示的数为−20+15=−5②当PQ=2AP时，60−6t=2×2t，解得，t=6；∴AP=12，∴点P表示的数为−20+12=−8③当AP=2PQ时，2t=2(60−6t)，解得，t=60∴AP=120∴点P表示的数为−20+综上，“巧点”P表示的数为：−5或−8或−20ii)．若10<t⩽15时，点Q为AP的“巧点”，有①当AP=2AQ时，2t=2×(60−4t)，解得，t=12；∴AQ=60−4×12=12，∴点Q表示的数为−20+12=−8，②当PQ=2AQ时，6t−60=2×(60−4t)，解得，t=90∴AQ=60∴点Q表示的数为−20+60③当AQ=2PQ时，60−4t=2(6t−60)，解得，t=45∴AQ=15，∴点Q表示的数为−20+15=−5，综上，“巧点”Q表示的数为：−8或−807或故，“巧点”P表示的数为：−5或−8或−207；“巧点”Q表示的数为：−8或−80【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查了数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是根据新定义列出方程．是现在的考试新动向，主要训练学生自学能力，运用新知识的能力．【题型2利用线段的条数解决实际问题】【例2】（2023上·河南许昌·七年级许昌市第一中学校联考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备种不同的车票．【答案】20【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．【详解】解：5个点中线段的总条数是4×5÷2=10（种），∵任何两站之间，往返两种车票，∴应印制10×2=20（种），故答案为：20．【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有n个点，则线段的数量有nn−1【变式2-1】（2023上·山东聊城·七年级统考期中）如图，点B，C，D在线段AE上．（1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路．（2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？【答案】（1）10，思路见解析；（2）28【分析】(1)从左向右依次固定一个端点A，B，C，D找出线段，最后求和即可；(2)设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，根据数线段的特点列出式子化简即可，把8位同学看作直线上的8个点即可得出结果．【详解】解：(1)共有10条线段，∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD、AE，以点B为左端点向右的线段有线段BC、BD、BE，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CE，以点D为左端点的线段有线段DE，∴共有10条线段；(2)设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=m−1∴倒序排列有x=1+2+3+⋯+m−3∴两式相加得2x=m+m+⋯+m=mm−1∴x=m把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行8×8【点睛】本题考查的是线段的计数问题，主要是数线段的技巧和方法，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．【变式2-2】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）3个篮球队进行单循环比赛,总的比赛场次是多少?4个球队呢?5个球队呢?【答案】见解析【详解】试题分析：用直线上的点代表球队，进行单循环比赛可用线段来表示，3个篮球队比赛的总场次可以看作直线上三个点所得线段的条数，4个篮球队比赛的总场次可以看作直线上4个点所得线段的条数，5个篮球队比赛的总场次可以看作直线上5个点所得线段的条数，画出图形，即可得结论.试题解析：用直线上的点代表球队,进行单循环比赛可用线段来表示.3个球队共比赛用线段AB,BC,AC表示,共有3场;4个球队比赛用线段AB,AC,AD,BC,BD,CD表示,共有6场;5个球队比赛用线段AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE表示,共有10场.【变式2-3】（2023上·江西吉安·七年级校考阶段练习）观察图形，并回答下列问题：

(1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；(2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题；(3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？【答案】(1)10条，见解析；(2)共握了105次；(3)共送了210张．【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以A、B、C、D为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案；（2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案；（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案．【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下：以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，共4条；以B为端点，且与前面不重复的线段有：BC、BD、BE，共3条；以C为端点，且与前面不重复的线段有：CD、CE，共2条；以D为端点，且与前面不重复的线段有：DE，共1条；答：图中共有4+3+2+1=10条线段；（2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知，握手的次数为：14+13+12+⋯+3+2+1=105，答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次；（3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，15×14=210，答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张．【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别．【题型3直线、射线、线段的规律探究】【例3】（2023上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2,NA．20−1029 B．20+1029【答案】D【分析】根据MN=20，M1、N1分别为AM、AN的中点，求出M1N1的长度，再由M【详解】解：∵MN=20，M1、N∴M1∵M2、N∴M2根据规律得到Mn∴M1【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.【变式3-1】（2023上·重庆江津·七年级统考期末）如图，图①中有1条线段，图②中有3条不同线段，图③中有6条不同线段，按此规律下去，图⑦中有（

）条不同的线段．A．21 B．22 C．24 D．28【答案】D【分析】有3个图可知，图1有2个点，图2比图1增加一个点，增加了2条线段；图3比图2增加一个点，增加3条线段，得规律为：每增加一个点，就增加前一个图中点的个数条线段，故图7有1+2+3+4+5+6+7=28条线段．【详解】解：图1有2个点，1条线段；图2有2+1=3个点，1+2=3条线段；图3有3+1=4个点，1+2+3=6条线段；……图7有7+1=8个点，1+2+3+4+5+6+7=28条线段，故选：D．【点睛】本题考查的是图形的变化类，解题的关键是找到每增加一个点，就增加前一个图中点的个数条线段，这一规律．【变式3-2】（2023·河北唐山·校联考一模）如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7.…(1)“17”在射线_____上.(2)请写出OA，OB，OD三条射线上数字的排列规律.(3)“2019”在哪条射线上？【答案】(1)OE；(2)见解析；(3)“2019”在射线OC上.【分析】（1）根据数字排列规律，依次数下去就可以得到）“17”在射线OE上；（2）因为正整数按照6个数字一循环，依次排列，因此，出现在每一条射线上的数字都可以看做一个等差数列，根据等差数列通项公式an=a1+（n-1）×d即可写出．（3）因为正整数按照6个数字一循环，依次排列，所以将2019除以6，如果能被整除，则落在射线OF上，如果有余数，则依次落在OA至OE上．【详解】解：(1)根据已知总结排列如下：射线OA：171319…射线OB：281420…射线OC：391521…射线OD：4101622…射线OE：5111723…射线OF：6121824…故“17”在射线OE上．(2)根据已知总结排列如下：射线OA：171319…数字排列规律：6n-5（n为正整数）射线OB：281420…数字排列规律：6n-4（n为正整数）射线OC：391521…数字排列规律：6n-3（n为正整数）射线OD：4101622…数字排列规律：6n-2（n为正整数）(3)射线OE：5111723…数字排列规律：6n-1（n为正整数）射线OF：6121824…数字排列规律：6n（n为正整数）在六条射线上的数字规律中，只有6n-3=2019有整数解，解为n=337∴“2019”在射线OC上.【点睛】本题考查数字的排列规律，考查了学生要从数字的排列中找到规律，然后写出规律即可求出相应值．此外掌握等差数列的通项公式an=a1+（n-1）×d对解决此类问题有很大帮助．【变式3-3】观察图形找出规律，并解答问题．(1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；(2)n条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．【答案】(1)10,16;(2)nn−12,[1＋【分析】（1）根据每两条直线就有一个交点，可以列举出所有情况后再求解；（2）根据列举的数值得出规律，再根据规律解题．【详解】如图，（1）任意画2条直线，它们最多有1个交点；（2）任意画3条直线，它们最多有3个交点；（3）任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点；（4）5条直线最多有10个交点；n条直线最多有12一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．因为n=1，a1=1+1，n=2，a2=a1+2，n=3，a3=a2+3，n=4，a4=a3+4，…n=n，an=an-1+n，以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+nn+1当n=5时，1+nn+1【点睛】本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．【题型4线段的和差的实际应用】【例4】（2023上·河南周口·七年级校考阶段练习）如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽AB与CD相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】D【分析】根据图2给出的信息进行计算即可．【详解】解：由题意可知，折叠凳的内层长为37cm，即BC=37又∵AB=CD，∴AB=AD−BC∴外框宽为3cm【点睛】本题考查了线段和与差的应用，弄清图中线段之间的关系是解题的关键．【变式4-1】（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）某摄制组从A市到B市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（D），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到C地），过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息（休息处E），司机说：再走从C地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：A，B两市相距多少千米．【答案】D，B两市相距600千米．【分析】根据题意可知DE的距离且可以得到AD=12DC，EB=12【详解】如图，由题意可知，DE=400千米，AD=12DC∴AD+EB=1∴AB=AD+EB+DE=200+400=600（千米）答：A，B两市相距600千米．【点睛】本题考查了求解线段长度在实际生活中的应用，能够找出线段之间的等量关系是解题关键．【变式4-2】（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置.开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4.已知【答案】24【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为B由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E∴BE∵AD∴AO−OD∴OC∴OC∵CD=OC+OD=OC∴CD=OC∴2OD∴BE故答案为：24．【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键．【变式4-3】（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【答案】B【分析】根据题意设OB的长度为2a,则BP的长度为7a，OP的长度为9a，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．【详解】解：设OB的长度为2a，则BP的长度为7a，OP的长度为9a，∵OA：AP＝1：2，∴OA＝3a，AP＝6a，又∵先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，如图2，再从图2的B点及与B点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、5a，∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：5a＝2：2：5，【点睛】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．【题型5三角板中角度探究】【例5】（2023上·福建福州·七年级统考期末）已知∠AOB．在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC,∠BOC,∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB二倍角线．

(1)一个角的平分线这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）；(2)如图①，若∠AOB=90°,∠BOC<∠AOC,OC为∠AOB的二倍角线，求∠AOC的度数；(3)如图②，将一块三角板AOB的直角顶点O放在直线MN上，且三角板AOB绕着点O转动，若OC是∠AOB的二倍角线，OB是∠CON的二倍角线，请直接写出∠BON的度数．【答案】(1)是(2)60°(3)15°或30°或60°或22.5°或45°或90°或120°【分析】（1）根据“二倍角线”的定义，即可求解；（2）根据“二倍角线”的定义，可得∠AOC=2∠BOC，即可求解；（3）分9种情况结合“二倍角线”的定义，即可求解．【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“二倍角线”；故答案为：是（2）解：依题意得：∠AOC=2∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=90°，∴∠AOC=60°；（3）解：当∠AOC=∠BOC,∠BON=∠BOC时，∠BON=∠AOC=1当∠AOC=∠BOC,∠BON=2∠BOC时，∠BON=2∠AOC=∠AOB=90°；当∠AOC=∠BOC,2∠BON=∠BOC时，∠BON=1当∠AOC=2∠BOC,∠BON=∠BOC时，∠BON=∠BOC=2当2∠AOC=∠BOC,∠BON=∠BOC时，∠BON=∠BOC=1当∠AOC=2∠BOC,∠BON=2∠BOC时，∠BON=∠AOC=2当∠AOC=2∠BOC,2∠BON=∠BOC时，∠BON=1当2∠AOC=∠BOC,2∠BON=∠BOC时，∠BON=∠AOC=1当2∠AOC=∠BOC,∠BON=2∠BOC时，∠BON=4∠AOC=4终上所述，∠BON的度数为15°或30°或60°或22.5°或45°或90°或120°．【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，理解新定义是解题的关键．【变式5-1】（2023上·福建福州·七年级校考期末）将一副三角板如图1放置于桌面，其中30°、45°角共顶点，CM平分∠BCE，CN平分∠BCD．当三角板DEC从图1中位置绕着点C逆时针旋转到图2中的位置时，∠MCN是（）A．变大 B．不变 C．变小 D．无法确定【答案】B【分析】根据图形以及角平分线的定义，在图1和图2的情况下，表示出∠MCN，做比较即可作答．【详解】如图，如图1，∵CM平分∠BCE，CN平分∠BCD，∴∠BCM=12∠BCE∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=1根据题意可知：∠DCE=30°，∴∠MCN=1如图2，∵CM平分∠BCE，CN平分∠BCD，∴∠BCM=12∠BCE∴∠MCN=∠BCN−∠BCM=1根据题意可知：∠DCE=30°，∴∠MCN=1即可知∠MCN大小不变，【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．【变式5-2】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级克东县第三中学校考开学考试）如图OB是∠AOC内部的一条射线，把三角板60°角的顶点放到O处，转动三角板，当三角板的OD边平分∠AOB时，三角板的另一边OE也恰好平分∠BOC：

(1)求∠AOC的度数．(2)射线OB一定平分∠EOD吗？若OB平分∠EOD，求∠COB和∠AOB度数【答案】(1)120°(2)射线OB不一定平分∠EOD，∠COB的度数为60°，∠AOB的度数为60°【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠AOB=2∠BOD，∠BOC=2∠BOE，然后根据角的和差关系进行计算即可解答；（2）根据∠EOB和∠BOD不一定相等，从而可得射线OB不一定平分∠EOD，然后利用角平分线的定义可得∠BOD=∠BOE=1【详解】（1）∵OD边平分∠AOB，OE平分∠BOC，∴∠AOB=2∠BOD，∠BOC=2∠BOE，∵∠EOD=60°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOD+2∠BOE=2=2∠EOD=120°，∴∠AOC的度数为120°；（2）射线OB不一定平分∠EOD，∵OB平分∠EOD，∴∠BOD=∠BOE=1由（1）可得：∠AOB=2∠BOD=60°，∠BOC=2∠BOE=60°，∴∠COB的度数为60°，∠AOB的度数为60°．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握双角平分线模型是解题的关键．【变式5-3】（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB(其中∠OAB=30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OB恰好平分∠COE，此时，∠AOC与∠AOD之间数量关系为___________；(2)若射线OC的位置固定不变，且∠COE=130°．①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC，OD中的某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交．(i)求∠AOC−∠BOE的值．(ii)若2∠AOE+13∠BOD=∠AOD−【答案】(1)∠AOC=∠AOD(2)①存在，t=29.5、1、22；；②(i)40°；(ii)∠BOE=48°【分析】(1)由∠AOB=90°知∠BOC+∠AOC=90°、∠AOD+∠BOE=90°，可得∠AOD=∠AOC；(2)①当OB平分∠COD时∠BOD=∠BOC=、当OC平分∠BOD时∠BOC=∠COD、当OD平分∠BOC时∠BOD=∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；②(i)根据角的和差即可得到结论；(ii)根据已知条件建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∠AOD=∠AOC．理由如下：∵∠AOB=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∵OB恰好平分∠COE∴∠BOC=∠BOE，∴∠AOD=∠AOC，故答案为：∠AOD=∠AOC，（2）①存在．理由：∵∠COE=130°，∴∠COD=180°−130°=50°，当OB平分∠COD时，∠BOD=∠BOC=12∠COD，即10t+90−25=360当OC平分∠BOD时，∠BOC=∠COD，即10t+90=2×50，解得t=1；当OD平分∠BOC时，∠BOD=∠COD，即360−10t=50+90，解得：t=22；综上所述，t的值为29.5、1、22；②(i)∵∠AOC=∠COE−∠AOE=130°−∠AOE，∠BOE=90°−∠AOE，∴∠AOC−∠BOE=130°−∠AOE∴∠AOC−∠BOE的值为40°．(ii)∵∠COE=130°设∠BOE=α，则∠AOE=90°−α，∠BOD=180°−α，∠AOD=180°−∠AOE=180°−90°−α=90°+α，∵2∠AOE+1∴290°−α解得：α=48°，即∠BOE=48°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，一元一次方程的应用，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．【题型6探究角度之间的关系】【例6】（2023上·北京海淀·七年级北理工附中校考期末）对于同一平面内的∠AOB及内部的射线OC，给出如下定义：若组成的3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“牛线”．（1）图1中，OC平分∠AOB，则射线OC_______∠AOB的一条“牛线”．（填“是”或“不是”）．（2）当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的∠AOB与∠BOC的关系．（3）已知：如图2，在平面内，∠AOB=60°，若射线OC绕点O从射线OB的位置开始，以每秒5°的速度逆时针方向旋转．同时射线OA绕点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转，当射线OC与射线OA碰撞后，射线OA的速度发生变化，以每秒5°的速度继续旋转，此时的射线OC则以每秒1°的速度继续旋转，当射线OA与射线OB的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若旋转的时间记为t秒，当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的t的值．【答案】（1）是；（2）∠AOB=2∠BOC，∠AOB=3∠BOC，∠AOB=32∠BOC；（3）203或30【分析】（1）由角平分线的性质得∠AOB=2∠AOC，根据“牛线”的定义可以证明射线OC是∠AOB的一条牛线；（2）分情况讨论，∠AOB=2∠BOC，∠AOC=2∠BOC，∠BOC=2∠AOC，分别求出∠AOB与∠BOC的关系；（3）分情况讨论，在OC与OA重合前，设∠BOC=5t，∠BOA=60+t，由（2）中的关系式列方程求解，在OC和OA重合后，设重合后旋转的时间是t2，则∠BOC=75+t2【详解】解：（1）是，∵OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOC，∴射线OC是∠AOB的一条牛线；（2）∵射线OC是∠AOB的一条牛线，∴∠AOB=2∠BOC，或∠AOC=2∠BOC，此时∠AOB=3∠BOC，或∠BOC=2∠AOC，此时∠AOB=3（3）①如图，在OC与OA重合前，∠BOC=5t，∠BOA=60+t，若∠AOB=2∠BOC，则60+t=2×5t，解得t=20若∠AOB=3∠BOC，则60+t=3×5t，解得t=30若∠AOB=32∠BOC，则60+t=当OC和OA重合时，60+t=5t，解得t=15，此时∠A∵当射线OA与射线OB的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，∴5t≤180−75，解得t≤21，∴t≤21+15，即t≤36，②如图，在OC和OA重合后，∠BOD=75°，设重合后旋转的时间是t2∠BOC=75+t2，若∠AOB=2∠BOC，则75+5t2=275+t若∠AOB=3∠BOC，则75+5t2=375+t若∠AOB=32∠BOC，则75+5t2综上：t的值是203或307或12013【点睛】本题考查角度的计算，解题的关键是掌握列方程求解角度运动问题的方法，需要注意进行分类讨论．【变式6-1】（2023上·重庆·七年级校联考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB上侧任作一个∠COD，使得∠COD=90°．（1）如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，请直接写出∠BOD与∠COE之间的倍数关系，即∠BOD=______∠COE（填一个数字）；（2）如图2，过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度数．【答案】(1)2;(2)135°；(3)67.5°.【详解】试题分析：（1）由题意可得∠AOC=90°-∠BOD；∠AOE=12∠AOD；∠AOD=180°-∠BOD；把上述三个关系式代入∠COE=∠AOE-∠AOC中化简即可得到∠COE=1（2）由OC为∠AOE的角平分线，OF平分∠COD可得：∠AOC=∠COE，∠DOF=∠COF=45°；结合∠BOD+∠AOC=90°，∠EOC+∠FOB=∠EOC+∠FOD+∠BOD即可求得∠EOC+∠FOB的度数；（3）如备用图，设∠EOF=x，则∠EOC=3x，结合（2）可得∠AOE=2∠EOC=6x，∠COF=4x=45°，由此即可解得∠AOE=67.5°.试题解析：（1）∠BOD=2∠COE；理由如下：∵∠COD=90°．∴∠BOD+∠AOC=90°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE=12又∵∠BOD=180°-∠AOD，∴∠COE=∠AOE-∠AOC=12∠AOD-（90°-∠BOD）=12（180°-∠BOD）-90°+∠BOD=∴∠BOD=2∠COE；（2）∵OC为∠AOE的角平分线，OF平分∠COD，∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，∴∠FOB+∠EOC=∠DOF+∠BOD+∠AOC=45°+90°=135°；（3）如备用图：∵∠EOC=3∠EOF，∴设∠EOF=x，则∠EOC=3x，∴∠COF=4x，∴结合（2）可得：∠AOE=2∠COE=6x，∠COF=4x=45°，解得：x=11.25°，∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．点睛：（1）解第2小题时，把∠FOB化为∠FOD+∠BOD来表达，∠EOC化为∠AOC来表达，这样就可利用∠AOC+∠BOD=90°，∠FOD=45°来求得所求量；（2）解第3小题时，要记住是在第2小题的条件下来解题，这样设∠EOF=x，就可由本问的条件结合第2小题的条件得到∠COF=4x=45°，解得x，再由∠AOE=2∠COE=6x就可求得∠AOE的度数.【变式6-2】（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级统考期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系．【答案】(1)15°(2)∠AOC=2∠DOE(3)∠AOC=360°−2∠DOE【分析】（1）由已知可求出∠BOC=180°−∠AOC=150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数；（2）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，则得∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE=180°−2(90°−∠DOE)，从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；（3）根据（2）的解题思路，即可解答．【详解】（1）解：由已知得∠AOC＝30°，则∠BOC=180°−∠AOC=150°，又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE=∠COD−∠COE=∠COD−1故答案为：15°；（2）解：∠AOC=2∠DOE；理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，则得∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE=180°−2(90°−∠DOE)=2∠DOE，所以得：∠AOC=2∠DOE；（3）解：∠AOC=360°−2∠DOE；理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE，则得∠AOC=180°−∠BOC=180°−2∠COE=180°−2(∠DOE−90°)=360°−2∠DOE，所以得：∠AOC=360°−2∠DOE．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质、几何图形中角的计算，解题的关键是正确运用有关性质准确计算角的和差倍分．【变式6-3】（2023上·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠BOD=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为每秒12°，运动时间为t秒（0<t<12，本题出现的角均不大于平角）．(1)当t=2时，∠AOM的度数为________度，∠NOM的度数为________度．(2)t为何值时，∠AOM=∠AON．(3)当射线OM在∠BOC的内部时，探究13∠DOM−4∠AON3∠MON【答案】(1)150(2)t=10(3)是，13∠DOM−4∠AON【分析】（1）求出t=2时，∠BOM,∠DON的度数，利用∠AOM=180°−∠BOM,∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM，进行求解即可；（2）分别用含t的式子，表示出∠AOM和∠AON，分∠AON在∠AOD内部和∠AOC的内部，两种情况讨论，利用∠AOM=∠AON，列式求解即可；（3）分别用含t的式子表示出∠DOM,∠AON,∠MON，计算13∠DOM−4∠AON3∠MON【详解】（1）解：当t=2时，∠BOM=2×15°=30°，∴∠AOM=180°−∠BOM=180°−30°=150°，∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=24°+90°+30°=144°，故答案为：150，（2）解：∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOD=∠BOC=90°由题意得：∠BOM=15°⋅t，∴∠AOM=180°−∠BOM=180°−15°⋅t，当∠AON在∠AOD内部时：∠AON=∠AOD−∠DON=90°−12°⋅t∵∠AOM=∠AON，∴180°−15°⋅t=90°−12°⋅t，解得：t=30（不符合题意，舍掉）；当∠AON在∠AOC内部时：∠AON=∠DON−∠AOD=12°⋅t−90°，∵∠AOM=∠AON，∴180°−15°⋅t=12°⋅t−90°，解得：t=10；∴当t=10时，∠AOM=∠AON；（3）解：∵∠BOM=15°⋅t,∠DON=12°⋅t，当射线OM在∠BOC的内部时，0<15°⋅t<90°，∴0<t<6，∴0°<12°⋅t<72°，∴射线ON在∠AOD内部，∴∠DOM=∠BOD+∠BOM=90°+15°⋅t,∠AON=∠AOD−∠DON=90°−12°⋅t，∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=12°⋅t+90°+15°⋅t=90°+27°⋅t则：13∠DOM−4∠AON===3；∴13∠DOM−4∠AON3∠MON【点睛】本题考查角度的计算．根据题意正确的表示出各角的度数，是解题的关键．【题型7角度中的规律探究】【例7】（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）已知，OM、ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线．(1)如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠MON=________°；(2)如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；(3)如图2，若∠BOC=β°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求∠MON的度数（用含α或β的式子表示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律．【答案】（1）60（2）（3）【详解】试题分析：（1）∵OM是∠AOC的角平分线∴∠∵ON是∠BOC的角平分线∴∠∵∠AOB=120°，∠BOC=30°∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=∴∠AOM=∠MOC=75∴∠（2）（3）考点：计算角的度数点评：充分利用角的等分线，通过已知角的加减乘除求出未知角的度数．【变式7-1】（2023上·福建龙岩·七年级统考期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（）A．165 B．186 C．199 D．210【答案】D【分析】根据已知条件得出规律为从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是12【详解】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角；……∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+⋯+(n+1)=1∴画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为12故选：D．【点睛】本题考查了角的概念，解题的关键是找到规律．【变式7-2】（2023下·重庆忠县·七年级统考期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为(

)A．60° B．67° C．77° D．87°【答案】A【分析】根据前三个图形可知图①中OC1为2等分线，图②中OC1为3等分线，图③中【详解】解：根据题意可得，图①中，∠AOC图②中，∠AOC图③中，∠AOC依次类推，第④个图中，∠AOC∴前④个图形中的∠AOC1之和为【点睛】本题主要考查了角的计算，根据题意找出角度变化规律进行计算是解决本题的关键．【变式7-3】（2023上·河北保定·七年级统考期末）(1)如图1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．填空：∠MON=；(2)如图2，∠AOB=90°，∠BOC=x，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，说明理由．(3)如图3，若∠AOB=α，∠BOC=β(α、β均为锐角，且α＞β)，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数．若能，求∠MON的度数．(4)从(1)、(2)、(3)的结果中，你发现了什么规律？【答案】（1）45°；（2）能，∠MON=45°；（3）能，∠【分析】（1）根据题意可知，∠AOC=120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC=∠AOC=60°，∠CON=12（2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出∠MOC与∠NOC的度数，然后相减即可得到∠MON的度数；（3）用α、β表示∠MOC，∠NOC，根据∠MON=∠MOC-∠NOC得解．（4）由（1）、（2）、（3）的结果中，∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON=a2【详解】（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=60°，∠CON=12∴∠MON=∠MOC-∠CON=60°-15°=45°；（2）能．∵∠AOB=90°，∠BOC=x，∴∠AOC=90°+x，∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12（90°+x°）=45°+∴∠CON=12∠BOC=1∴∠MON=∠MOC-∠CON=45°+12x-1（3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC=12∠AOC=1∵ON平分∠BOC，∴∠NOC=12∠BOC=β∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12（α+β）-β2=（4）规律：∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON=α2∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=