新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类能力拓展06利用导数研究双变量问题(6种考向)(原卷版+解析)

能力拓展06利用导数研究双变量问题【命题方向目录】命题方向一：双变量单调问题命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题命题方向四：双变量不等式:中点型命题方向五：双变量不等式:剪刀模型命题方向六：双变量不等式:主元法【方法技巧与总结】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.【典例例题】命题方向一：双变量单调问题例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数.（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.例4．（2023·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知函数（a为常数）．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．例5．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知函数（a为常数）．(1)若函数是增函数，求a的取值范围；(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围.命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题例6．（2023·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知函数(1)若，求不等式的解集；(2)若存在两个不同的零点，，证明：.例7．（2023·四川成都·校考一模）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有两个零点，证明：.例8．（2023·海南·高三校联考期末）已知函数(1)求的单调区间；(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．变式2．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，其中.(1)讨论函数在上的极值；(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.命题方向四：双变量不等式:中点型例9．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数．（1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：．例10．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，证明：当时，；（Ⅲ）设是的两个零点，证明.命题方向五：双变量不等式:剪刀模型例11．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数在点(，)处的切线方程为．(1)求a、b；(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；(3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：．例12．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数在点处的切线方程为．（1）求，；（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．命题方向六：双变量不等式:主元法例13．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．(1)求函数的单调区间和最小值；(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；(3)若，求证：．例14．（2023·全国·高三专题练习）设函数.(1)求的极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；(3)若，证明：.【过关测试】1．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（

）A． B． C． D．2．（2023·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（

）．A．1 B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知，，且，则（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．6．（2023·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知函数，若，则可取（

）A． B． C．1 D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若对于任意的，都存在，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．9．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．10．（2023·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．11．（多选题）（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知函数，，则（

）A．函数在上存在唯一极值点B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为D．若，则的最大值为12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（

）A． B． C． D．13．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知方程有两个不同的根，，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知函数和，若，则（

）A． B．C． D．15．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（

）A． B． C． D．116．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．17．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三大兴安岭实验中学校考期末）已知函数，若，且恒成立，则实数a的取值范围为_________．18．（2023·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期中）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.19．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，，若，则的最小值为______.20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，，则_______．21．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在两个极值点和，则取值范围为____.22．（2023·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列说法正确的是______.①；②；③；④.23．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若，存在满足，且，求的取值范围.24．（2023·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围．25．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知，函数．(1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；(2)当时，若，求证：26．（2023·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数.(1)讨论极值点的个数；(2)若函数恰有2个极值点，3个零点，，（），探究：是否存在实数，使得.27．（2023·福建宁德·高三统考阶段练习）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，.(1)已知函数，，求实数取值的集合；(2)已知函数有两个不同极值点、，证明28．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知函数为函数的导函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知函数，存在，证明：．29．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，(1)求的取值范围；(2)证明：.30．（2023·福建三明·高二三明市第二中学校考阶段练习）设函数.(1)求的极值；(2)已知，有最小值，求的取值范围.31．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)记函数，且的最小值为.（i）求实数的值；（ii）若存在实数满足，求的最小值.32．（2023·全国·高三对口高考）已知．(1)若对任意，有，求实数a的取值范围；(2)当时，的值域为，求实数a的取值范围；(3)，，使得成立，求实数a的取值范围．(4)，使得成立，求实数a的取值范围．33．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知函数．(1)若a＝1，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且，求证：．34．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)若有两个不同零点，证明：．35．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若是的两个不相等的零点，证明：.36．（2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．(1)已知函数，，求实数取值的集合；(2)已知函数有两个不同极值点、．①求实数的取值范围；②证明：．37．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数.(1)讨论的零点个数；(2)若有两个零点，，求证：.38．（2023·福建三明·高二校联考期中）已知函数．(1)若，求方程的解；(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．39．（2023·河南开封·统考二模）已知函数图象上三个不同的点．(1)求函数在点P处的切线方程；(2)记（1）中的切线为l，若，证明：．40．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)若，，且满足，求证：.41．（2023·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，．(1)求证：存在唯一零点；(2)设，若存在，使得，求证：．

能力拓展06利用导数研究双变量问题【命题方向目录】命题方向一：双变量单调问题命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题命题方向四：双变量不等式:中点型命题方向五：双变量不等式:剪刀模型命题方向六：双变量不等式:主元法【方法技巧与总结】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.【典例例题】命题方向一：双变量单调问题例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．【解析】（1）当时，，，切点为求导，切线斜率曲线在处的切线方程为．（2），的定义域为，求导，在上单调递减．不妨假设，∴等价于．即．令，则．，，．从而在单调减少，故，即，故对任意．例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数.（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）的定义域是..（1）当时，，的定义域内单增；（2）当时，由得，.此时在内单增，在内单减；（3）当时，，的定义域内单减.（Ⅱ）因为，所以，.此时.由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减.不妨设，则，即，即恒成立.令，，则在内单减，即.，，.而，当且仅当时，取得最小值，所以，故实数的取值范围是.命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，当且仅当即“=”，则，在上单调递减，当时，方程有两个正根为，，当或时，，当时，，于是得在、上单调递减，在上单调递增；（2）因存在两个极值点，且，由(1)知，即，则，显然，对是递增的，从而有，，令，，令，，即在上单调递增，，则，于是得在上单调递增，从而得，即，所以的取值范围.例4．（2023·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知函数（a为常数）．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．【解析】（1）当时，，，所以，，故曲线在点处的切线方程为．（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，从而得到，即，又，故，且令，则，，所以在上单调递减，所以，即的值域为，所以的范围是.例5．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知函数（a为常数）．(1)若函数是增函数，求a的取值范围；(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．【解析】（1）的定义域为，，若函数为增函数，则在上恒成立，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，所以，解得，故a的取值范围是；（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程，即的两个不相等的实数根，从而得到，即，又，故，，令，则，，所以在上单调递增，所以，即的值域为，所以的范围是.变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围.【解析】（1）的定义域是，因为，所以，令，则.①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.②当，即时，由，得或；由，得，在和上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知当时，有两个极值点，即方程有两个正根，所以，则在上单调递减，所以，，则，令，则，，所以在上单调递减，又，且，所以，由，又在上单调递减，所以且，所以实数的取值范围为.命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题例6．（2023·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知函数(1)若，求不等式的解集；(2)若存在两个不同的零点，，证明：.【解析】（1）令，的定义域为，则，所以在上单调递增.因为，所以当时，，当时，，所以原不等式的解集为.（2）证明:，令，易知在上单调递减，且.当时，，此时单调递增;当时，，此时单调递减.所以.因为函数存在两个不同的零点，所以，即，由图可知，由题意知，所以，两式相减得.所以等价于，也等价于.因为，所以由(1)的解题过程知……①……②因为，所以，即……③①+②+③得，所以.例7．（2023·四川成都·校考一模）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有两个零点，证明：.【解析】（1）当时，的定义域为，则，因为，则，所以，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）若函数有两个零点，则，即，两式相减，可得，两式相加得，要证，只要证，即证，即证，只须证，即证，即证，令，则由得，故须证，令，则，当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即成立，故原不等式成立.例8．（2023·海南·高三校联考期末）已知函数(1)求的单调区间；(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．【解析】（1）定义域为，且，当时，，在上单调递减．当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间．当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）因为，是函数的两个不同的零点，所以，，，显然，，因为，，所以，，即，，所以．不妨令，设，则，，所以，．又，所以要证，只需证，即．因为，所以只要证，即，即．令，，则，所以在上单调递减，所以，所以．变式2．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，其中.(1)讨论函数在上的极值；(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.【解析】（1）由知，1）当时，且有，，单调递增，故无极值；2）当时，有，，单调递减，而，，单增，故，无极大值.综上，当时，无极值；当时，极小值为，无极大值；（2）由（1）可知当时，，，且，由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得，令，且，即，，将其代入，整理可令得，而，1)当时，且，有，单调递增，，满足题设；2)当时，且，有，单调递减，，不满足题设；综上，的取值范围为.命题方向四：双变量不等式:中点型例9．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数．（1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：．【解析】（1），由为的极值点.所以，解得,由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增.满足在处取得极值.则，所以过点的切线方程为(2),则当时，，则在上单调递增.令,，，对称轴方程为当时，开口向下，对称轴方程为，所以在上单调递减，所以，所以.则在上单调递增.当时，，有两个不等实数根，所以得出，得出则在上单调递增，在上单调递减综上所以：当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）所以又所以即则由，则，设设，则所以在上单调递减,所以所以恒成立,即由，则由，则在时恒成立.所以在上单调递增.所以由，可得成立.例10．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，证明：当时，；（Ⅲ）设是的两个零点，证明.【解析】（Ⅰ）求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）构造函数，利用导数求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，从而，于是，由（Ⅰ）知，.试题解析：（Ⅰ）的定义域为，求导数，得，若，则，此时在上单调递增，若，则由得，当时，，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）令，则.求导数，得，当时，，在上是减函数.而，，故当时，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，故，从而的最小值为，且，不妨设，则，，由（Ⅱ）得，从而，于是，由（Ⅰ）知，.命题方向五：双变量不等式:剪刀模型例11．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数在点(，)处的切线方程为．(1)求a、b；(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；(3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：．【解析】（1）将代入切线方程中，有，∴，即，又，∴．若，则，与矛盾，故．（2）由(1)可知，，，令，有或，故为．曲线在点处的切线方程为，则，令，则，∴，令g(x)＝，则，∴在R上单调递增，∵，∴当时，，单调递减，当x＞－1时，，单调递增．∴，即成立．（3）由(2)知在处的切线方程为，且f(x)≥h(x)，则，设，则，故，∵单调递减，∴，设在处的切线方程为，易得，令，则，令，则，当时，,单调递减，，当时，,单调递增，又∵，∴当时，，T(x)单调递减，当时，，T(x)单调递增，∴，即，∴，设，则，故，∵单调递增，故，又，则.例12．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数在点处的切线方程为．（1）求，；（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．【解析】（1）将代入切线方程中，得，所以，又或，又，所以，若，则（舍去）；所以，则；（2）由（1）可知，，所以，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为曲线在点处的切线方程为，则，因为，所以，所以，．若，，若，，，所以.若，，，，所以在上单调递增，，函数在上单调递增．当时，取得极小值，也是最小值，所以最小值．（3），设的根为，则，又单调递减，由（2）知恒成立．又，所以，设曲线在点处的切线方程为，则，令，．当时，，当时，，故函数在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故．又，所以．命题方向六：双变量不等式:主元法例13．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．(1)求函数的单调区间和最小值；(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；(3)若，求证：．【解析】(1)令得：，，；令得：；在上为增函数；在上为减函数；.(2)由（1）知：当时，有，，即：，.(3)将变形为：即只证：设函数，令，得：．在上单调递增；在上单调递减；的最小值为：，即总有：．，即：，令，，则，成立．例14．（2023·全国·高三专题练习）设函数.(1)求的极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；(3)若，证明：.【解析】(1)函数，则，令，解得：，且当时，，时，因此：的极小值为，无极大值.(2)令，则，注意到：，若要，必须要求，即，亦即另一方面：当时，因为单调递增，则当时，恒成立，所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：；(3)构造函数，，，，，，在上是单调递增的；故即：另一方面，构造函数，，在上是单调递减的故即：综上，.【过关测试】1．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于任意，，，的范围恒定，只需考虑的情况，设对应的切点为，，，设对应的切点为，，，，，，只需考虑，，其中的情况，则，，其中，；又，，，；令，则，在上单调递增，又，，又，，；令，则，令，则，在上单调递增，，即，在上单调递减，，，；综上所述：.故选：C.2．（2023·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【解析】由题意，令，则，，所以，，，令，所以，令，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有最小值，即的最小值为.故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故，，即；，故，即.设，，，函数单调递增，，故，即，整理得到，即.故选：D.4．（2023·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，令，，则，在上递增，，，，∵，∴，∵，令，，∴，∴是增函数．∴，∴，∴，∴，综上所述．故选：D．5．（2023·全国·高三专题练习）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，设，则，，令恒成立，故单调递减，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；.故所以，得到.故选:A.6．（2023·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知函数，若，则可取（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】依题意，由得，令，函数在上单调递增，由得，则，由得：，又，于是得，，令，求导得，当时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，当时，，且，，，且，，故即，显然选项A符合要求，选项B，C，D都不符合要求.故选：A7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若对于任意的，都存在，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，，令，可得或，当时，，则，，则，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，当时，时，，所以函数在上为减函数，设，因为对于任意的，都存在，使得，所以对于任意的，都存在，使得，所以函数在上的值域包含与函数在上值域，当时，，函数在上为减函数，函数在上的值域为，函数在上的值域为，所以函数在上的值域为，由已知，所以，又，所以，(注：由此可排除A，B，C)当时，，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上的值域为，函数在上的值域为，所以函数在上的值域为，与已知矛盾，当时，，，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上的值域为，函数在上的值域为，所以函数在上的值域为，与已知矛盾，当时，，，，则，，则，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上的值域为，函数在上的值域为，所以函数在上的值域为，，满足要求当时，，，函数在上单调递增，函数在上单调递增所以函数在上的值域为，函数在上的值域为，所以函数在上的值域为，，满足要求，综上所述，，故选：D.8．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，令，所以，对函数求导：，

由有：，由有：，所以在单调递增，在单调递减，因为，由有：，故A错误；因为，所以，由有：，故D错误；因为，所以，因为，所以，所以，故C正确；令有：=，当，.所以在单调递增，当时，，即，又，所以，因为，所以，因为在内单调递减，所以，即，故B错误.故选：C.9．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】，，易得在上，则在上单调递增，又，所以即，，所以，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，即时，取得最大值．故选：A10．（2023·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得：，又因为，所以，，即，所以，设，则，，所以单调递增，所以，因为，所以，令，，则，当时，，当时，，故在处取得极大值，也是最大值，，故.故选：A11．（多选题）（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知函数，，则（

）A．函数在上存在唯一极值点B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为D．若，则的最大值为【答案】BCD【解析】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在单调递减，故，故在单调递增，函数在上无极值点，故A错误；对于B：，令，则，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，即，又时，，作出函数的图象，如图：

若函数有两个零点，得有两个实根，得函数的图象与直线有两个交点，由图可知，，故B正确；对于C：由B得：在上恒成立，则在单调递增，则不等式恒成立，等价于恒成立，故，设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，则实数的最小值为，故C正确；对于D：若，则，即，∵，∴，，，由A知，在上单调递增，故，所以，设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值是，故D正确；故选：BCD12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由得.设，，故，，递减，，，递增，故；设，，故，，递减，，，递增，故.于是，的值域是值域的子集，故可以取遍所有正数，B选项错误；不妨取，则，令，当时，根据上述分析，即存在这样的，使得，若C成立，则，推出，即C不一定成立，C选项错误；由上述分析，当时，，当时，递增，若，所以，A选项正确；若，根据指数函数的值域，，即成立；若，此时，由可得，，故，设，则，故当时，故递增，而，，故，由，于是，D选项正确.故选：AD13．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知方程有两个不同的根，，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A，B选项：方程等价于方程，构造函数，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，因此只需满足，即．当时，，，由以上可知，当时，分别在，上各有一个零点，（零点存在定理的应用）则方程有两个不同的根，，因此选项A正确，选项B错误；C选项：构造函数，则，因此在上单调递减，易知，假设,则，即成立，又，则，因此，即，因此选项C正确；D选项：由即，得，不一定成立，故选项D错误．故选：AC14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知函数和，若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称，将与联立求得交点为，则，即，A正确．易知为单调递增函数，因为，，由零点存在性定理可知，B正确．易知为单调递增函数，，，由零点存在性定理可知．因为，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，C错误．因为，，所以，所以．令，则，当时，，在上单调递增，所以，即，整理得，D正确．故选：ABD15．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（

）A． B． C． D．1【答案】BCD【解析】，且，则，整理得设，则只需要在上单调递减即可，，令，解得，则，所以BCD符合，故选：BCD.16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，当时，，当时，，所以，因为开口方向向下，所以在区间上的最小值的端点处取得，所以要使对，，使得成立，只需，即或，即或，解得，所以a的取值范围是，故答案为：17．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三大兴安岭实验中学校考期末）已知函数，若，且恒成立，则实数a的取值范围为_________．【答案】【解析】由题可知当时，函数单调递增，，当时，，设，则必有，所以，所以，所以，设，则，则时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以的最小值为.所以恒成立，即，所以.故答案为：18．（2023·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期中）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.【答案】【解析】因为对任何，，所以对任何，，所以在上为减函数.，，所以恒成立，即对恒成立，所以，所以.即的取值范围是.故答案为：.19．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，，若，则的最小值为______.【答案】【解析】设，即，，解得，，所以，令，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，，则_______．【答案】【解析】根据题意，显然是正数.由，两边取对数得，，即，又，即，利用，于是，记，，故在上递减，由，于是，.故答案为：21．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在两个极值点和，则取值范围为____.【答案】【解析】令，则，由且，解得..令，，在区间上递减，.所以取值范围是.故答案为：22．（2023·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列说法正确的是______.①；②；③；④.【答案】①②④【解析】因为函数和互为反函数，所以函数和的图象关于直线的对称，又因为直线的斜率1与直线的斜率的乘积为，因此直线与直线互相垂直，显然直线也关于直线对称，解方程组，所以直线和的交点坐标为：，有，，，.对①：因为，，所以，因此本选项正确；对②：因为，关于对称，所以有，因此有，点在直线上，而，所以，因此，显然函数在上是单调递增函数，所以当时，有，故本选项正确；对③：因为，，所以，因此有，设函数，，因为，所以因此函数是单调递增的，当时，有，即，因此有，故本选项不正确；对④：因为，关于对称，所以，因此，所以，即，故本选项正确；故答案为：①②④23．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若，存在满足，且，求的取值范围.【解析】（1）当时，，①当时，对任意恒成立，所以的单调增区间是，无减区间；②当时，令，得，令，得，所以的单调增区间是，单调减区间是；综上，当时，的单调增区间是，无减区间；当时，的单调增区间是，单调减区间是.（2）方法一：当时，，因为，所以，又因为，不妨设，所以.令，则问题转化为在上有解.注意到，①当，即时，对任意恒成立，所以在上单调递增，，在上无解，不符题意，舍去..②当，即时，设，则在，即上单调递增，所以，从而在上单调递减.因为，所以存在.从而在上单调递增，上单调递减.取，令，设恒成立，所以，从而，即，因为，所以，所以.此时因为且在上单调递增，上单调递减，所以必有，从而存在，符合题意.综上，.方法二：当时，，因为，所以，因为，且，所以，令，从而，即，令，则问题转化为在上有解.①若，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，，所以在上无解，不符题意，舍去.②若，即时，令，则在上单调递增，，所以在上单调递增，因为，，所以存在，从而在上单调递减，在上单调递增.令，所以，从而，即，此时‘’取，此时，所以因为且在上单调递减，上单调递增，所以必有，从而存在，符合题意.综上，24．（2023·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由，若，则恒成立，即在上单调递增，若，令得，即在上单调递增，令得，即在上单调递增，综上所述当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递增；（2）由（1）得当时，在上单调递增，当趋近于时，趋近于，不符合题意，故，则，所以，令，显然当时，，时，，故在时单调递减，在上单调递增，即，所以，即25．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知，函数．(1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；(2)当时，若，求证：【解析】（1），定义域均为，，

当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；当时，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；

又，当时：，在单调递减，无极值，与题不符；当时：令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；依题意，解得：，（2）当时，，由题意可知，，两式相减得，整理为，要证明，即证明，不妨设，即证明，即，设，即证明，设，，所以函数在区间单调递减，且，即在区间恒成立，即,即，得证.26．（2023·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数.(1)讨论极值点的个数；(2)若函数恰有2个极值点，3个零点，，（），探究：是否存在实数，使得.【解析】（1）由题知：，设函数，当时，，所以在上单调递增，此时无极值点；当时，开口向下，对称轴为，；所以，在上单调递增，此时无极值点；当时，开口向上，；所以，在上单调递减，此时无极值点；当时，开口向上，，对称轴为，；所以在上有两个解，且，，所以当时，，；当时，，；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，上单调递减；此时有两个极值点.综上所述：当或时，无极值点；当时，有两个极值点.（2）因为函数恰有2个极值点，由（1）知：，，，，又因为函数有3个零点，，（），且在上单调递减，在上单调递增，上单调递减；所以，因为，所以，因为，，，所以，因为，所以，又因为，假设存在实数，使得，则，即，即，所以，所以，令，，则，所以在上单调递减，，所以，所以不成立，所以不存在实数满足：.27．（2023·福建宁德·高三统考阶段练习）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，.(1)已知函数，，求实数取值的集合；(2)已知函数有两个不同极值点、，证明【解析】（1）由，得，当时，因为，不合题意；当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，要，只需，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，则由得所以，故实数取值的集合（2）由已知，则，因为函数有两个不同的极值点、，所以有两个不同零点，若时，则在上单调递增，在上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；当时，由，得，令，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，且当时，，当时，，如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，不妨设这两个交点的横坐标分别为、，且，且当或时，，则，当时，，则.综上所述，当时，函数有两个极值点；设，则，因为，所以，，则，取对数得，令，，则，即，令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，在上单调递增，又，所以当时，，即，因为，，在上单调递增，所以，所以，即，所以，故成立.28．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知函数为函数的导函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知函数，存在，证明：．【解析】（1）的定义域为，，令，则，所以函数在单调递增，又因为，所以，，即：，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1），得，又，即，所以．不妨设，所以．由（1）得当，函数单调递增，所以，故，所以，所以，故．下证．即证：，设，则，所以函数在区间上单调递增，所以，故，即，所以，即，所以，得证．29．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，(1)求的取值范围；(2)证明：.【解析】（1）因为的定义域为，所以.当时，恒成立，所以在上单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，要使有两个零点，则，解得，又，设，，所以在单调递减，所以，所以，所以,所以当时，在和上各有一个零点,且，所以，由单调性知：当时，；当时，；因为，所以，即，所以，而，所以，所以，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以.（2）只需证，由题意：，设，.所以，即，所以，，即，所以∴，令，，令，，设，所以函数在单调递增，，∴在单调递增，∴，∴在单调递增，∴.∴，∴，∴，（由于，此处无法取得等号），得证.30．（2023·福建三明·高二三明市第二中学校考阶段练习）设函数.(1)求的极值；(2)已知，有最小值，求的取值范围.【解析】（1）由题意知：定义域为，，，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；的极大值为，无极小值.（2）可化为，为单调递增函数，由可得：，即，令，则，，，，，令，，令，；①当时，恒成立，在上单调递增，，即，在上单调递增，此时在上不存在最小值，即不存在最小值，不合题意；②当时，若，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增，又，，又，存在，使得，且当时，，即；当时，，即；在上单调递减，在上单调递增，，即有最小值；综上所述：实数的取值范围为.31．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)记函数，且的最小值为.（i）求实数的值；（ii）若存在实数满足，求的最小值.【解析】（1），则，又，所以切线方程为：，即.（2）（i），令，即，则且，所以有两异号实数根，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以有唯一零点.所以当时，，当时，，则在上递减，在上递增.所以，且.代入可得，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，故.（ii），即，则不妨令，设，则.记，则，令，即，则且，所以有两异号实数根，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以有唯一零点.且.所以当时，，当时，，则在上递减，在上递增，所以.其中，即，又在上单调递减，且，得，又因为在上单调递增，所以（当时，有），所以的最小值为.32．（2023·全国·高三对口高考）已知．(1)若对任意，有，求实数a的取值范围；(2)当时，的值域为，求实数a的取值范围；(3)，，使得成立，求实数a的取值范围．(4)，使得成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）方法一：，当时，由得，所以在上单调递增，所以，即，所以；当时，令，解得或，则在单调递减，在和单调递增；①当，即时，，所以在上单调递增，所以，即，所以；②当，即时，在单调递减，在单调递增，所以，所以，综上所述，．方法二：因为，有，所以在上恒成立，因为在上单调递增，所以当时，，即，故．（2）方法一：，当时，由得，所以在上单调递增，所以，即，当时，令，解得或，则在单调递减，在和单调递增；①当，即时，，所以在上单调递增，所以，即，舍去，②当，即时，在单调递减，在单调递增，所以，无解，综上所述，．方法二：，当时，，无解；当时，，当，，不合题意，舍去；当时，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以，解得，所以．（3）设，，由，，使得成立，则在有解，，因为时，，所以在上单调递增，所以，所以，即，因为，所以在恒成立，因为在单调递增，所以当时，，即，故．（4）设，，由（3）得，所以在上单调递增，所以，因为，使得成立，所以在恒成立，所以，即，所以当时，，所以在恒成立，因为在上单调递增，所以当时，，即，故．33．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知函数．(1)若a＝1，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且，求证：．【解析】（1）由题，，则.因，则.则在上单调递增；（2）.当时，，在上单调递增，不合题意；当时，令.当时，，则只有一个极值点，与题意不合；当时，.则.则..注意到，则要证，即证.构造函数，.则，即在上单调递增.则，即.34．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)若有两个不同零点，证明：．【解析】（1）当时，，

故，，故在处的切线方程为，即.（2）证明：不妨设，设，则，

当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，

可知，也是的两个零点，且，，于是，

设，因为．

设，当时，，故在单调递增，所以，从而，因此在单调递增．

又，故，故，于是．

又在单调递减，故

即，故35．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若是的两个不相等的零点，证明：.【解析】（1）①若，则，故在上单调递增；②若，则时，时，，故在上单调递减，在上单调递增；③若，则时，时，，故在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知时，在单