压轴第23题30道-相似三角形综合问题（二）（解析版）-2021学年上海初三数学一模（期末）压轴题模拟汇编

压轴第23题精选30道-相似三角形综合问题（二）（解析版）

学校;姓名:班级:考号:

一、单选题

1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点B、

点A,以线段AB为边作矩形ABCD,且AB=2BC,点C在反比例函数y=&（x<0）

X

的图象上，则k的值为（）

【答案】D

【分析】

过点C作CELx轴于与证明AAO3s△5EC,可得点C坐标，代入求解即可.

【详解】

解：*.*当mO时，y=2x+8=8,

・・・A(0,8),

・・・OA=8；

当产0时，y=2x+8=0,

/.x=-4,

：.B(-4,0),

：.OB=4；

过点。作CEJ_x轴于E,

•・,四边形ABC。矩形，

JZABC=90°,

ZCBE+ZABO=90°,ZBAO+ZABO=9Q°,

：.ZCBE=ZBAO,

ZBEC=ZAOB=90°,

：.AAOBsABEC,

.CEBE_BC

**OB-OA-AB?

9

：AB=2BCf

.CEBE1

••==一，

482

OE=2,BE=4,

，c点坐标为(-8,2),

•••点C在反比例函数y=A(x<0)的图象上,

^=-8x2=-16.

故选：D.

【点睛】

本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、矩形的性质，以及三

角形相似的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用.

2.如图，在等腰AAOB中，AO=AB,点A为反比例函数y=±（其中x>0）图象上的

X

一点，点B在％轴正半轴上，过点B作BC-LOB,交反比例函数y="的图象于点C,连

x

接0C交48于点。，若△BCD的面积为2,贝必的值为（）

【答案】A

【分析】

过点A作A广，03交x轴于尸，交0C于点E,利用等腰三角形性质可得

。尸=P3=,再由AF//3C,可得^ADE^ABDC,BC=2EF，设Ob=a，则03=2a,

可得AF=25C=4EF,AE=3EF,应用相似三角形性质及三角形面积可由ABCD的面积

为2,求得AAOb的面积，应用1%1的几何意义求上.

【详解】

解：如图，过点A作交无轴于尸，交OC于点E,

-OA=ABfAF±OBf

:.OF=FB=-OB,

2

\BCLOB,

/.AF/IBC,

OEEFOF1

..AADE^^BDC——=——=——=-,

fOCBCOB2

:.BC=2EF,

设。尸=〃，则05=2。，

kk

a2a

kk

AF=~,BC=J

a2Q

,\AF=2BC=4EF,AE=AF-EF=3EF,

,.AADE^ABDC,

.DE_AE_3EF_3

"DC-BC-2EF-2'

.S^ADE_（A£）2_2

f

,•SXBDJBC~4

・••ABCD的面积为2,

・s-

-2AADE-2，

,•,DE—_―3，

EC5

OE1

=9

，OC2

EC=OE,

•DE_3

,•=—,

OE5

.-AADE_己

SAAOE5，

..AF_4£F_4

•~AE~3EF~3f

.SAA*-J4

SAAOEAE3

.o_4o=

万网=1。，

k=20.

故选：A.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、三角形面积以及相似

三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和相似三角形的性质.

3.如图，在矩形ABCD中，AD=10,在BC边上取一点E,连接AE、DE,使得DE

=AD,H为AE中点，连接DH,在DE上取一点F,连接AF,将AAEF沿着AF翻折

得到AAGF,且GF_LAD于M,连接GD,若AE=4百，则点F到直线DG的距离为

G

A.275B.述C.拽D.在

354

【答案】B

【分析】

根据三线合一得出。H_LAE,根据矩形的性质及同角的余角相等易证AABE〜ADHA,

然后根据相似三角形的性质即可求得BE的值，根据勾股定理可求得的值；过点E

作于点P,则四边形ABEP为矩形，易证ADMF〜ADPE,再根据相似三角形

的性质可设MF=4x,DM=3x,DF=5x,根据折叠的性质可得GB=EF=10-5x,

AG=AE=4^/5,AM=AD-DM^lO-3x,GM=GF-MF=EF-MF=l0—9x,然

后根据勾股定理即可求得x的值，最后根据面积公式即可得出答案.

【详解】

解：-.AD=DE,"是的中点

:.DH±AE

•.•四边形ABC。为矩形

ZBAE+ZEAD=90°,ZEAD+ZADH=90°

:.ZBAE=ZHDA

♦;NB=ZAHD=90。

:.AABE~ADHA

,BEAE

"HA~AD

■.■AD=10,AH=-AE=-x4y/5=2y/5,AE=4下

22

:.BE=4

AB=^AE--BE-=J（4V5）2-42=8,EC=BC-BE=1。-4=6

过点E作£P_LAD于点P,则四边形ABEP为矩形

G

:.PE=AB=8,PD=EC=6

GF±AD

:.NDMF=NDPE=90。

■.ZMDF^ZPDE

:.ADMF-ADPE

DM__PD_6_3

"MF~PE-8-4

设MF=4X,DM=3X,DF=5X

•••△AEF沿着AF翻折得至[]△AGF,

，GB=EF=10—5x,AG=AE=4y/5,AMAD-DM^lO-3x,

GM=GF—MF=EF—MF=lO—9x

在RAAMG中，AM2+MG2=AG2

BP(10-3x『+00_9x『=(4君『

2

解得：x=2(舍去)或x=]

:.MD=3X=2,GF=10-5X=—,MG=10-9X=4

3

GD=y)MG2+MD2="+2?=2石

设F到GD的距离是h,根据面积公式得SXGFD=^GFMD=^GDh

.-.-x—X2=-X2A/5/?

232

:.h=—\[5

3

故选B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、矩

形的判定及性质，熟练掌握性质定理及添加合适的辅助线是解题的关键.

4.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,0),D为AO上一点，连接BD,CD,

OB,CD与OB相交于点E,取EC的三等分点F(EF>FC),连接OF并延长，交BC

于点G,已知SABOD：SABOC=2：3,反比例函数y=.(k>0)经过D,G两点，贝!]k

X

的值为()

Ocx

A8A/21„2A/21「8729「2729

255255

【答案】A

【分析】

过点G分别作无轴的垂线，垂足分别为M、A1,设CN=a,GN=b,根据相似三角形

的性质表示出。点坐标，根据反比例性质列方程求出a、b值即可.

【详解】

解：过点G分别作无轴的垂线，垂足分别为M、N,

•SABOD：S^BOC=2：3,

：.OD:BC=2:3,

U：OA//BC,

:.LODEs△BCE,ZAOC=ZGCN,

.DE_OP_2

**EC-BC-3?

•・•OC=BC=3,

：.OD=2,

・・・EC的三等分点为点尸(EF>FC),

.FC_1

•・而一"

同理，器W,CG=I

ZAOC=ZGCN,ZDMO=ZGNC=90°,

:•丛ODMs丛CGN,

.GN_GC_CN_1

DM~OD~OM~^9

设CN=a,GN=b,则0M=4〃，DM=4b,

k

二•反比例函数y=—[k>0)经过O,G两点,

x

4〃x40=(a+3)。，

解得，a=g，GN=4GC。-CN。=得,

则上的值为：弓+3"得=笫，

故选：A.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是通

过设参数，根据相似三角形性质表示点的坐标，依据反比例函数性质列方程.

AF1

5.如图，正方形ABCD,点F在边AB上，且)=不，CEXDF,垂足为点M,且交

FB2

AD于点E,AC与DF交于点N,延长CB至G,使BG=《BC,连接CM.有如下结

万1

论：①AE=BF；②AN=4AD；③/ADF=NGMF；®SAANF=-SAABC,上述结论

49

中，正确的是()

A.①②B.①③C.①②③D.②③④

【答案】C

【分析】

①正确.证明AAO尸名ADCE(ASA),即可判断.②正确.利用平行线分线段成比例定

理，等腰直角三角形的性质解决问题即可.③正确.作GHLCE于设AF=DE=a,

BF=2a,则AB=CO=BC=3a,EC=Ma,通过计算证明CH即可解决问题.④

AFFN1

错误.设/的面积为加，由A/〃CO,推出一=—=—,bAFNs丛CDN,推出

(3DD^/3

△ADN的面积为3m,△DCN的面积为9m,推出△ADC的面积=△ABC的面积=12根，

由此即可判断.

【详解】

•・•四边形A8CO是正方形，

：.AD^AB=CD^BC,ZCDE=ZDAF^9Q0,

■:CELDF,

：.ZDCE+ZCDF=ZADF+ZCDF=90°,

ZADF=NDCE,

在△AO/与△OCE中，

ZDAF=ZCDE

<AD=CD,

ZADF=NDCE

：.AADF^ADCE(ASA),

：.DE=AF,

：.AD-DE=BC-AFfBPAE=BF,

故①正确；

'：AB//CDf

.AF_AN

**CD-GV?

'：AF：FB=1：2,

.'.AF：AB=AF：CD=1：3,

.AN_1

，9CN~39

.AN_1

**AC-4?

9：AC=y[lAD,

:,AN=J^AD；

4

故②正确；

作GH上CE于H,设AF=DE=a,BF=2a,则A3=CO=3C=34,EC=Ma,

由△CMOsaCQE,可得

10

由^GHCs4CDE,可得CH=2^a,

20

：.CH=MH=^CMf

•：GH上CM,

：.GM=GC,

：.ZGMH=ZGCHf

•：NFMG^/GMH=9。。,ZDCE+ZGCM=90°,

：.ZFMG=NDCE,

ZADF=ZDCE,

：.ZADF=ZGMF；

故③正确，

设^ANF的面积为m,

'：AF//CD,

.AFFN]

△AFNsMDN,

"CD~DN~3

：.AADN的面积为3m,ADCN的面积为9m,

：.^ADC的面积=△ABC的面积=12利,

•e•SAANF：SAABC=1：12,

故④错误,

故选：C.

【点睛】

本题是一个综合性的题目，综合考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角

形全等的判定与性质等知识.

6.勾股定理是几何中一个重要定理.著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证

了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②，ZACB=90°,BC=2AC,E,F,G,H,I

MN

都在矩形MNOP的边上，则工的值为（）

（图①）（图②）

【答案】A

【分析】

如图所示，延长54交PM于J，过/作火_LAB于K,设2C=2AC=2a,由题意可知,

AC=CD=DE=AE=a,BH=HI=CI=BC=2a,由勾股定理可得，AB=

^BC2+AC2=A/5O＞可得&8=23=R7=4/=石4,再利用相似三角形的性质分别用

含。的代数式表示“N，MP,即可得到答案.

【详解】

解：如图所示，延长54交PM于J,过/作于K,

N

设BC=2AC=2a,

由题意可知，AC=CD=DE=AE=a,BH=HI=CI=BC=2a,

由勾股定理可得，AB=7BC2+AC2=y/5a^

C.AB—BG—FG—AF—^5a.

・.・NAK/=NAC3=90。，ZCAB=ZIAK9

：.△AK/s/\AC3,

.AI_IK_AK

I*AB-BC-AC

ATAC+CI

：.IK=—xBC=xBC=聿x2a=还a

ABAB岛5

6R

：.MP=MJ+JP=IK+AF=笺•a+y/5a=哈

：.AK=^-xAC=AC+CIxAC^^-xa=36

-----a,

ABAB45a5

同理可得：&\EJsXBAC,

.AJAE

**BC-BA?

：.AJ=—xCB=^^a,

BA5

同理可得：AABC^AHIN,

.BC_IN

•・瓦—方‘

3=生/田=生*2。=迪。

AB后a5

・A/TA7TATAT<ATAT2^/^3>/54^/59^5

・・MN—MI+IN—AJ+AK+IN------aH-------a-\-------a=------a,

5555

9-

.MN9

•・而—1函一行，

-------a

5

故选：A.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握

利用相似三角形的性质寻求边与边之间的关系是解题的关键.

7.如图，点M是正方形A3CD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、对角线

BD交CM于点、N,现有以下结论：①NAMD=150。；②MA2=MN-MC;③

其中正确的结论有()

,/XBMC3

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】

①根据等边三角形得/CMB=60。，再根据等腰三角形的性质得ZCMD=15°,

最后根据周角的定义即可得出结论；②证明△MNDsAMDC,列比例式即可得出结论；

③过点M作于G,设MG=x,根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分

别计算2C、AG,2G的长，根据面积公式计算即可得出结论.

【详解】

解：•••△M2C是等边三角形，

ZMBC=ZMCB=ZCMB=60°,BM=BC,

:四边形ABC。是正方形，

ZABC=ZBCD=ZBAD=ZADC=90°,AB^BC,

：.ZABM=ZDCM=30°,

'：AB=BM,

：.ZAMB=ZBAM=^x(180°-30°)=75°,

同理：/CMD=/CDM=75。,

：.ZAMr>=360o-750-75o-60°=150°；

故①正确；

:四边形ABC。是正方形，

・・・N8DC=45。,

ZMDN=ZCDM-ZBDC=75°-45°=30°,

u

：ZCMD=ZCMDfNMDN=NDCM=3。。,

:•△MNDsAMDC,

,MNDM

C.DNP^MN-MC,

ZBAD=ZADCfZBAM=ZCDMf

：.ZMAD^ZMDA,

：.MA=DM,

:.MA2=MN^MC,

故②正确；

过点M作MGLA3于G,

设MG—x,

RtABGM中,ZGBM=30°,

.9.BM=BC=AB=2x,BG=^3x,

•9.AG=2x-y/3x,

.../皿核产=2XMX2一6

S、BMCXBCBGBG上xA/3

2

故③错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形

的判定与性质，勾股定理、平行线的性质等知识；设出未知数，表示出各边长是解题的

关键.

8.如图，在RSABC中，ZBAC=90°,以其三边为边分别向外作正方形，延长EC,

DB分别交GF,AH于点N,K,连结KN交AG于点M,若SI$2=2,ACM,则AB

7

A.2B.V2C.25/2D.-

【答案】A

【分析】

先证AASC附△FCN,根据全等三角形的性质可得A2=PN；再证△BCKs/XACB,根

据相似三角形的性质可得KC=\BC2.设五边形ACFNM的面积为S,可得Sx+S^S正方

4

形ACFG-AC2=16,S2+S=S梯形CFNK===2{CK+NF),设BC=y,可得方程组

x2+16=y2

16-2(^y2+x]=2,解方程组即可求解.

【详解】

ZACB+ZCAN=90°,ZFCN+ZCAN=90°,

：.ZACB=ZFCN,

在△48(?和4FCN中,

ZBAC=/NFC=90°

<AC=CF,

ZBCA=/NCF

：.AABC^AFOV,

：.AB=FN；

ZBAC=ZKBC=90°f

：.LBCKsAACB,

,ACBC

••沃=商'

1

KC=-BC29；

4

设五边形ACFNM的面积为S,

•・,515=2,

J(Si+S)-(S+S)=2,

设A3=x,BC=y,

由勾股定理可得，x2+16=y2,

•Si+S2=S正方形ACFG=AG=16,S?+S=S梯形CFNK=

久CK+NF).CF=g(CK+NF)x4=2(CK+NF),SI-S2=2,

/.(Si+S)-6+S)=16-2(%+西=16-24』］=2,

x2+16=j2

-16-2(—y2+^^1=2，

\x=2\x=2x=-6x=-6

解得'[y=2君’[=-26’jy=2&T=

•・h、y都为正数，

卜=2

%=25

BPAB=2,BC=2布.

故选A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与

性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.

9.如图平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在％轴负半轴上，边CD与x轴交于点

k

E,连接AE,A£7/y轴，反比例函数y=-(%>0)的图象经过点A及AZ)边上一点

x

F,AF=4FD,^DA=DE,OB=2,则Z的值为()

【答案】C

【分析】

根据题意得到A4DE和AABE是等腰直角三角形，设AE=y,则

DM=AM=EM=^AE=^y,即可得到七-2»),进而通过三角形相似对得出厂点的坐

7373

标为［y-2,-y),即可得至！J%=(y—2)>=(《>一2)^>,解方程即可求得上的值.

【详解】

解：作ZM7_LA£:于V,FN1AE于N,

•••四边形ABCD是矩形，

AD=BC,ZADE=ZBCD=90°,

­.DA=DE,

二.AADE是等腰直角三角形，

:.NDAE=ZAED=45。,M是AE的中点，

:.DM=AM=EM=-AE,/BAE=45°,

2

AE//y轴，

:.ZAEB=90°,

,AASE是等腰直角三角形，

BE=AE，

设A^=y,贝ljDM=AM=EM=gAE=gy,

♦：OB=2,

/.OE=y-2,

.\A(y-2,y),

\'FN//DM,

.AN_NF_AF

\AF=4FD,

AN_FN_4

「=『二《，

—y—y

22

2

：.AN=NF=-y,

5

23

-EN=y--y=-y,

F(|y-2,|y),

V反比例函数y=A(左>0)的图象经过点A、尸，

尤

73

-'-k=(y-2)y=(-y-2)-y,

解得y=5或>=。(舍去)，

:.k=(y-2)y=15,

本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函

数图象上点的坐标特征，表示出A、尸的坐标是解题的关键.

10.如图所示，G、E分别是正方形A3CZ）的边AB、8c上的点，且AG=CE,AE±EF,

AE=EF,现有如下结论：①BE=DH；②AAGE出AECF；③NFCD=45。；④

AAGE^ACHF.其中，正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】

由N3EG=45。知N8EA>45。，结合NAEF=90。得NHECV45。，据此知HC<EC,即

可判断①；求出NGAE+NAEG=45。，推出NGAEnN/EC,根据&4S推出

△GAE^ACEF,即可判断②；求出NAGE=NECF=135。，即可判断③；求出/庄。

<45°,根据相似三角形的判定得出AGB石和不相似，即可判断④.

【详解】

解：♦・•四边形ABCD是正方形，

：.AB^BC=CDf

VAG=GE,

：・BG=BE,

：./BEG=45。,

：.ZBEA>45°,

*.*ZAEF=90°,

・・・ZHEC<45°,

：.HC<EC,

：.CD-CH>BC-CE,即DH>BE,故①错误；

°：BG=BE,N5=90。，

：.ZBGE=ZBEG=45°,

：.NAG£=135。，

・・・NGAE+NAEG=45。，

VAEXEF,

JZAEF=90°,

*.*/BEG=45。,

：.ZAEG+ZFEC=45°f

：.ZGAE=ZFEC,

在^GAE和aCEF中，

VAG=CE,

ZGAE=ZCEF,

AE=EF,

：.AGAE^ACEF(SAS)),

・••②正确；

，NAGE=NECF=135°,

：.ZFCD=135°-90°=45°,

•••③正确；

；NBGE=/BEG=45。,ZAEG+ZFEC=45°,

：.ZFEC<45°,

ZFHC=90°+ZFEC<135°,

NFHC片NAGE,

"AGE和△FCH不相似，

•••④错误；

故选C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形

的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大.

二、填空题

11.如图，在RSABC中，ZACB=90°,将△ABC沿AB翻折得△ABC,过点。作

CA的垂线，交CA延长线于点F点D为边BC上一点，过点D作DEJ_BC,垂足为点

E,连接CD,交AB于点M,若DC平分NEDC,CE=CF=6,CT=4,则AM=.

【答案】二生

3

【分析】

延长交R7的延长线于R,连接CC交于J,过点C作CTLB。于T.首先证明

四边形ECFR是正方形，利用全等三角形的性质证明DE=DT,FC=CT=4,再想办法

求出JC,AJ,证明=可得结论.

【详解】

解：延长ED交R7的延长线于R,连接CC交于J,过点C作CTL8。于T.

BEC

:.ZREC=NCFR=ZECF=90。,

「•四边形ECER是矩形，

•.CE=CF,

二•四边形EC%是正方形，

•「CD平分NXDC,CELDE,CT1EC,

/.ZCDE=ZCDT,ZCED=ZCTD=90°,

•.CD=CD,

/.\CDE=^CDT(AAS),

:.CE=CT.DE=DT,

ZCTC=ZF=90°,CF=CE=CT,CC=CC,

:.Rt△CCT=RtLCCF(HL),

,-.FC=CT=4,

在RtZXCFC中，CCWCF?+CF?=《6+4?=2如，

由翻折的性质可知，CJ=JC=屈，

•・•ZACJ=ZFCC,ZCJA=ZF=90°,

:.\CJA^\CFC,

.CJ_AJ

••赤一而‘

,A/13AJ

••-=—，

64

,„,_2713

..AJ=------,

3

ZDCE=ZDCT,ACCT=Z.CCF,

:.ZJCM=45°,

：.JM=CJ=yf\3,

:.AM=JM+AJ=y/13+^^-=^^-.

33

故答案为：巫.

3

【点睛】

本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，解直角三角形等知识,解题的关键是想添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，

学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

12.如图，边长为3的等边三角形ABC中，点M在直线BC上，点N在直线AC上,

且/BAM=NCBN,当BM=1时，AN=—.

【答案】2或4或9=或19

24

【分析】

先根据等边三角形的性质可得^ABC=ZACB=60°,AB=BC=AC=3,再分①点”在

边2C上，点N在边AC上，②点M在边2C上，点N在边AC延长线上，③点M在边

CB延长线上，点N在边AC上，④点〃在边CB延长线上，点N在边AC延长线上四

种情况，然后根据三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质即可得.

【详解】

解：•.•△ABC是边长为3的等边三角形，

ZABC=ZACB=60°,AB=BC=AC=3,

由题意，分以下四种情况：

①如图，当点〃在边8C上，点N在边AC上时，

NBAM=NCBN

在AABN和ABCW中，\AB=CB

AABM=NBCN

:.AABM=^BCN(ASA),

:.BM=CN=1,

:.AN=AC-CN=3-1=2；

②当点M在边BC上，点N在边AC延长线上时,

如图，过点、N作ND//AB,交5c延长线于点0,

:.ZD=ZABM=60°,

・；ZDCN=ZACB=60。,

「.△CDN是等边三角形，

:.CN=DN=CD,

"BAM=/DBN

在△叫/和△EW中，\小

ZABM=ZD

「.△ABA/DN,

DNBDBC+CDBC+DNnrlDN3+DN

…BMABABAB13

3

解得ON=],

3

:.CN=-

29

39

.\AN=AC+CN=3+-=-；

22

③当点M在边CB延长线上，点N在边AC上时，

如图，过点、N作NDHAB,交3c于点。，

/CDN=ZABC=60。=ZACB,

「.△CON是等边三角形，

:.CN=DN=CD,

\-ZCDN=ZABC=6Q°f

ZBDN=ZABM=120°,

(ZDBN=ZBAM

在皿V和△丽中’[ZBDN=ZABM

:.#DN~^ABM,

DNBDBC-CDBC-DNpnDN3-DN

…BMABABAB13

3

解得ON=T，

4

:.CN=-,

39

:.AN=AC-CN=3——=-；

44

④如图，当点M在边CB延长线上，点N在边AC延长线上时,

\-ZABC=ZACB=6Q°,

s.ZABM=ZBCN=120°,

ZBAM=/CBN

在△ABM和城区中，\AB=CB

NABM=/BCN

:.^ABM=^BCN(ASA),

:.BM=CN=\,

.•.M=AC+C7V=3+1=4；

99

综上，AN的值为2或4或|■或彳，

24

故答案为：2或4或19或J9.

24

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判

定与性质等知识点，正确分四种情况讨论是解题关键.

13.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且

3(0,6),/。钻=30。，C为线段A3上一点，BC:C4=1:2,若M为y轴上一点，且

OM:OB=1:2,设直线AM与直线0c相交于点N,则QV的长为.

【答案】空或2将

【分析】

CD4DAC

过点。作。轴于。，证明得到初=万=弁，求出CO和AD,

BOAOAB

得到点C坐标，求出直线0C的解析式，再求出点M的坐标，分两种情况，联立解析

式，求出点N坐标，利用勾股定理得到ON的长.

【详解】

解：过点C作COLc轴于。，则/AOC=/AOB=90。，

5L,：ZCAD=ZBAO,

：.AACD^AABO,

.CDADAC

,•茄一茄一茄，

VB(0,6),

：.OB=6,

N042=30。，

：.AB=2OB=12,

'-AO=JAB，-OB。=6也,

VBC：CA=1：2,

：.AC=-2-XAB=8,

1+2

：.BC=AB-AC=4,

.CDAD8

,,6-65/3-12,

解得：CD=4,AD=473,

：.OD=OA-AD=2>/3,

•,.C(254),

设直线oc的解析式为产质，将C代入，

贝|J4=2G左，解得：k=^~,

3

•••直线oc的解析式为>=半-

OM：05=1：2,08=6,

：.0M=3,

的坐标为(3,0)或(-3,0),

当M(3,0)时，记为点的，设直线AW的解析式为尸or+b,

出

6y/3a+b=0a=------

则i,c，解得：，6,

b=3

b=3

•••直线的解析式为尸-3x+3,

6

2石6A5

y=--------Xx=-----

35

联立直线AM和直线OC的解析式得，,解得：<

一旦+312

6

当MG3,0)时，同理求得直线AM的解析式为、=3工-3,

6

联立得--%X,解得：卜=一2四-

A/3,y=-4

y=——x-3

[-6

-\N(-273,-4),

/•ON=,卜2商+(-4)2=2币,

综上：ON的长为字或2近，

故答案为：字或2疗.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数与二元一次方程组，勾股定理，有一定

难度，解题的关键是根据题意画出图形，分类讨论解决问题.

14.如图，在菱形ABCD中，ZDAB=60°,AB=3,点E在边AD上，且DE=1,点

F为线段AB上一动点（不与点A重合），将菱形沿直线EF折叠，点A的对应点为点N,

当点A，落在菱形的对角线上时，AF的长为—.

【答案】2或5-岳

【分析】

分两种情况进行讨论:①当点4在BD上时，可以证明△A'DE^^FBA',对应边成比例,

可求出A尸的长；②当点4在AC上时，可得AEA尸是等边三角形，进而可求AF的长.

【详解】

解：①当点4在B。上时，如图，

ZEA'F=ZDAB^60°,

：.ZDA'E+ZFA'B=120°,

VZA=60°,AB=AD,

是等边三角形，

ZDBA=ZADB=60°,

：.ZA'FB+ZBA'F=120°,

：.ZDA'E=ZBFA',

：.AA'DEsAFBA',

.DEDA!EA

ArB~FB~FA"

*：AB^AD^DB=3,DE=1,

：.EAr=EA=AD-DE=2,

设刚'=刚=羽DAr=y,

则34=3-y,BF=3-x,

12

・=y=

*93-y3-xx，

解得X=5-y/13；

②当点4在AC上时，如图：

由折叠可知：EF垂直平分

ZAOF=90°,

•••四边形ABC。是菱形，ZDAB=60°,

：.ZDAC=ZBAC=3O°,

：.ZAFE=6Q°,

•••△EAF是等边三角形，

/.AF=AE=AD-DE=2.

综上所述：AF=5-JB或2.

故答案为：2或5-历.

【点睛】

本题考查了翻折变换、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握

菱形的性质.

15.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE,以BE为对角线作正方

形BGEF,边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H,连结AF,有以下五个结论：

®ZABF=ZDBE-,②AAEFS^BE；③诙_13£＞；®2BG2=BH.BD；⑤若

CE:DE=1:3,则如:斯=17:16,你认为其中正确是（填写序号）

DEC

G

耳

【答案】①②③④

【分析】

①四边形2GEF和四边形A2CD均为正方形，BD,3E是对角线，得NABD=NFBE=

45°,根据等式的基本性质确定出Z4BF=NDBE；②再根据正方形的对角线等于边长

的0倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且

夹角相等的两个三角形相似即可判断；④根据两角相等的两个三角形相似得到

△EBHsADBE,从而得到比例式，根据代换即可作出判断；③由相似

三角形对应角相等得到NBA尸=/即£=45。，可得出A尸在正方形A8CD对角线上，根

据正方形对角线垂直即可作出判断.⑤设CE=x,DE=3x,贝i]BC=CZ)=4x,结合8/=

BH,BD,求出BH,DH,即可判断.

【详解】

解：①：四边形BG斯和四边形A3CD均为正方形，BD,2E是对角线，

ZABD=ZFBE=45°,

又,:ZABF=45°-ZDBF,ZDBE=45°-ZDBF,

/.ZABF=ZDBE,

.,.选项①正确；

②,/四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，

：.AD=AB,BF=BE,

：.BD=y/2AB,BE=72BF,

.••巴=股=应

ABBF

又"：ZABF二ZDBE,

:・AABFSADBE,

...选项②正确；

④：四边形BGE尸和四边形A2CD均为正方形，BD,BE是对角线,

ZBEH=ZBDE=45°,

又,：/EBH=/DBE,

.'.△EBHSADBE,

:=,即8序=8”・8£）,

BEBH

又,：BE=&BG,

23G2=BH.BD,

选项④确；

③由②知：AABFSADBE,

又；四边形ABC。为正方形，8。为对角线,

ZBAF=/BDE=45。,

.'.AF在正方形另外一条对角线上，

：.AF±BD,

.••③正确，

⑤：CE:DE=l:3,

.•.设CE=x,DE=3x,贝i]8C=CD=4x,

；•BE=VCE2+BC2=Jd+（4x）2=历x,BD=472%

"：BE^=BH-BD,

22

D„_BE_llx170

Dil=------==--------X

BD4岳8

DH=BD-BH=4sl2x-丑回x=也也尤,

88

故⑤错误，

综上所述：①②③④正确,

故答案是：①②③④.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质,

熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键.

k

16.如图，已知如AAOB,ZABO=90。，点A(15,0),反比例函数y=—(x>0)经过点8,

x

交43于点C,若BC:OB=3:2,则左的值是.

【答案】18

【分析】

过点B作BDLx轴于D,过点。作CELBD于E,CF±x轴于点F,易证△BOD^ACBE,

KT^——=——=—，设BE=3a,EC=3b,则0D=2aBD=2b.易得四边形EDFC

ODBDOB2f

为矩形，则F0=CE=3。，FC=ED=BD-BE=2b-3a,得到B(2m2b),C(3/7+2o,

2b~3a).由待定系数法可得：k=2ax2b=4ab,k=(36+2〃)(2。-3〃)，等量代换可得：

4ab=(3。+2〃)(2。一3〃)，整理得到：b=2a.于是得到30=4。，EC=6a,FC=a；

CFBE1

易证△BECsACFA,可得---=---=-,求出FA—2a,从而OA—OD+FD+FA=10a,

FAEC2

由点A(15,0),可得04=15,〃的值可求，8点坐标可得，用待定系数法上值可求.

【详解】

解：过点3作轴于。，过点C作CEL8。于区CfU无轴于点R如图，

：.ZOBD+ZEBC=90°.

・；BD_LOD,

AZOBD+ZBOD=90°.

ZB0D=ZEBC.

・：/ODB=NBEC=9。。,

：.△BODsMBE.

,BEECBC_3

OD~BD~OB~2"

・••设BE=3〃，EC—3b,则0£)=2a,BD—2b.

u

：BD±DFfCELBD,CFLAD,

・・・四边形EDFC为矩形.

:.FD=CE=3b,FC=ED=BD—BE=2b—3a.

：.B(2m2b),C(3b+2〃，2b~3a).

将3,C坐标分别代入解析式y=X(x>0)中得:

X

k=2ax2b=4ab,k—(30+2。)(2b—3a).

4ab=(3b+2a)(20一3〃).

整理得到：b=-\a(不合题意，舍去)或6=2°.

EC—6a,FC=o.

9：EC//AD,

：.ZBCE=ZA.

・・•ZBEC=ZCFA=90°f

：.ABEC^ACM.

.CF_BE

•・启一拓—5'

,\FA=2CF=2a.

1点A(15,0),

：.OA=15,

：.OD+FD+FA^15.

/.10a=15.

3

解得：。=万.

・・・。。=3,BD=6.

：.B(3,6).

.••)=3x6=18.

故答案为：18.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形相似的判定与性质，矩形的

判定与性质，待定系数法确定函数的解析式.利用点的坐标表示出相应线段的长度是解

题的关键.

17.如图，点A是边长为2的正方形。EFG的中心，在“SC中，ZABC=90°,AB^2,

BC=4,DG〃3C,点P为正方形边上的一动点，在3P的右侧作/P3H=90°且

BH=2PB,则AH的最大值为.

【答案】25

【分析】

连接3D,连接2G并延长到。，且使GD'=3G,易得ADPB〜△UHB,由此可得当

点P在。G上运动时，点〃在过点。'且