江苏省泰州市姜堰区励才实验学校2023-2024学年八年级上学期竞赛数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区励才实验学校八年级（上）竞赛数学试卷一、选择题（24分）1．（4分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm2．（4分）化简（a﹣1）•的结果是（）A． B． C．﹣ D．﹣3．（4分）已知如图，长方形ABCD，AB＝8，BC＝6，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（）A． B．7 C．8 D．4．（4分）若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2 B． C． D．a2+b2＝2h25．（4分）a、b、c是三个大于3的质数，则下列判断中一定正确的是（）A．a+b+c是偶数 B．a2+b2+c2是偶数 C．a+b+c是3的倍数 D．a2+b2+c2是的倍数6．（4分）设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则+[]+…+[]＝（）A．132 B．146 C．161 D．666二、填空题（30分）7．（5分）在不大于100的正整数中，所有偶数的平方和比所有奇数的平方和大．8．（5分）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为15cm，AB＝7cm，则它的“优美比”k＝．9．（5分）若三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，则x+y+z的值是或．10．（5分）如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上6根相等长度的钢P1P2，P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为．11．（5分）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为．12．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于．三、简答题（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)13．（12分）若a、b均为整数，当时，代数x2+ax+b的值为0，求ab的算术平方根．14．（12分）已知实数a、b满足：，且|b|+b＞0，求的值．15．（12分）给定一个5×5方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）中的连续3个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格），如果开始时所有25个小方格均为白色，请问：能否经过8次这样的操作，使得5×5方格网恰好变为黑白相间（如图所示），且任何一个小方格在前4次操作中至多变色1次？如果能，请给出一种操作方案（直接画出第4，5，6，7次操作后的方格网颜色）；如果不能，请给出证明．16．（12分）一筐苹果，若分给全班同学每人3个，则还剩下25个；若全班同学一起吃，其中5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，则恰好用若干天吃完，问筐内最多共有多少个苹果．17．（12分）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，+＝2023，求×的最大值．18．（16分）已知：△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，连接BD并延长至点E，连接AE、CE，使∠BEC＝∠BAC．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，求证：AE+CE＝BE；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：；（3）如图3，在（2）的条件下，在BE上截取BF＝CE，连接CF，点G在EF上，连接AG，且∠EAG＝75°，∠BAG＝∠ACF，，求AG的长．19．（20分）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°时，则PA+PB+PC取得最小值．（1）如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．（2）如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB'，连接CB'，求证：CB'过△ABC的费马点．（3）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区励才实验学校八年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（24分）1．（4分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．2．（4分）化简（a﹣1）•的结果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】代数式（a﹣1）•有意义，必有1﹣a＞0，由a﹣1＝﹣（1﹣a），把正数（1﹣a）移到根号里面．【解答】解：原式＝﹣＝﹣．故选：D．【点评】本题考查了根据二次根式性质的运用．当a≥0时，a＝，运用这一性质可将根号外面的因式“移”到根号里面．3．（4分）已知如图，长方形ABCD，AB＝8，BC＝6，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（）A． B．7 C．8 D．【分析】由长方形顶点A、C重合折叠可知，AC与PQ相互垂直平分，不妨设AC与PQ相交于点O，再证得△POC相似△ADC，进一步利用三角形相似的性质解答即可．【解答】解：如图，AC与PQ相交于点O，OC＝AC＝＝5，∵顶点A、C重合，∴AC与PQ相互垂直平分，∴∠POC＝90°，而∠D＝90°，∠OCP＝∠DCA，∴△POC∽△ADC，∴，即PO＝＝，得，因此．故选：A．【点评】此题主要利用矩形的性质，对称的性质以及三角形相似的判定与性质解决问题．4．（4分）若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2 B． C． D．a2+b2＝2h2【分析】根据三角形的面积求法，可将斜边的高h用两直角边表示出来．【解答】解：∵ab＝ch∴h＝∴＝∴＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理和直角三角形的面积求法．5．（4分）a、b、c是三个大于3的质数，则下列判断中一定正确的是（）A．a+b+c是偶数 B．a2+b2+c2是偶数 C．a+b+c是3的倍数 D．a2+b2+c2是的倍数【分析】根据质数的定义，整除的定义，举反例判断即可得到结论．【解答】解：∵a、b、c是三个大于3的质数，∴其和一定是奇数，它们的平分和也一定是奇数，∴A，B不符合题意；∵对于质数5，7，11，5+7+11＝23不是3的倍数，∴C不符合题意，故只能选D，事实上，非3的倍数的平分除以3余1，故三个大于3的质数的平方和必是3的倍数，故选：D．【点评】本题考查了质数与合数，熟练掌握质数的定义是解题的关键．6．（4分）设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则+[]+…+[]＝（）A．132 B．146 C．161 D．666【分析】先计算出1.52，2.52，3.52，4.52，5.52，即可得出[]，[]，[]…[]中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，6个6，从而可得出答案．【解答】解：1.52＝2.25，可得出有2个加数为1；2.52＝6.25，可得出有4个加数为2；3.52＝12.25，可得出有6个加数为3；4.52＝20.25，可得出有8个加数为4；5.52＝30.25，可得出有10个加数为5；则剩余6个数全为6．故[]+[]+[]+…+[]＝1×2+2×4+3×6+4×8+5×10+6×6＝146．故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，难度较大，注意根据题意找出规律是关键．二、填空题（30分）7．（5分）在不大于100的正整数中，所有偶数的平方和比所有奇数的平方和大5050．【分析】根据题意，得出式子1002﹣992+982﹣972+……+22﹣12，然后根据平方差公式变形计算即可．【解答】解：由题意，得1002﹣992+982﹣972+……+22﹣12．＝（100﹣99）（100+99）+（98﹣97）（98+97）+……+（4﹣3）（4+3）+（2﹣1）（2+1）＝199+195+191+……+7+3＝＝＝5050，∴所有偶数的平方和比所有奇数的平方和大5050．故答案为：5050．【点评】本题考查了有理数的混合运算，平方差公式，熟练掌握有理数的混合运算法则，平方差公式是解题的关键．8．（5分）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为15cm，AB＝7cm，则它的“优美比”k＝或．【分析】分两种情况：AB为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k．【解答】解：当AB腰时，则底边＝15﹣2×7＝1cm；此时，优美比k＝；当AB为底边时，则腰为（15﹣7）÷2＝4cm；此时，优美比k＝；故答案为或．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．9．（5分）若三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，则x+y+z的值是21或26．【分析】先判断出，x，y，z中必有一个是11，令x＝11，进而确定出y＝1+，进而求出z＝2或3或4或5，再求出y的值，即可得出结论．【解答】解：∵三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，∴x，y，z中必有一个是11，令x＝11，则11yz＝11（11+y+z），即：y（z﹣1）＝11+z，∴y＝1+，∵y是质数，∴z﹣1＝1或2或3或4，∴z＝2或3或4或5，∵z是质数，∴z＝4不符合题意，舍去，当z＝2时，y＝13，∴x+y+z＝11+13+2＝26，当z＝3时，y＝7，∴x+y+z＝11+7+3＝21，当z＝5时，y＝4，y不是质数，舍去，即：x+y+z的值是21或26，故答案为：21，26．【点评】此题主要考查了质数与合数，整除问题，确定出z＝2或3或4或5是解本题的关键．10．（5分）如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上6根相等长度的钢P1P2，P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为12°．【分析】设∠BAC＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP6P7，∠AP7P6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设∠BAC＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P6P7，∴∠A＝∠AP2P1＝x，∴∠P2P1P3＝2x，∴∠P3P2P4＝3x，…，∠P7P8P6＝7x，∴7x＜90°且8x≥90°，则11.25°≤∠BAC＜（）°，故∠BAC的最大值约为12°．故答案为：12°．【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．11．（5分）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为8．【分析】连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出OH，再根据轴对称的性质可得∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，OP1＝OP＝OP2，从而可得∠P1OP2＝90°，然后利用三角形的面积公式可得△OP1P2的面积为，根据垂线段最短可得当点P与点H重合时，OP取得最小值，△OP1P2的面积最小，由此即可得．【解答】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，∵，且MN＝6，∴OH＝4，∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，OP1＝OP＝OP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°，∴△OP1P2的面积为，由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH＝4，∴△OP1P2的面积的最小值为，故答案为：8．【点评】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．12．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于12．【分析】过F作FN⊥AM于N，通过证明S1+S2+S3+S4＝Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．【解答】解：过F作FN⊥AM于N，设EF与AM交于点K，连接PF，∴∠FNA＝90°＝∠ABC，∴∠FAN+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠FAN，又∵AF＝AB，∴Rt△ANF≌Rt△BCA（HL），∴FN＝AC，同理可求Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝SRt△ABC．由Rt△NFK≌Rt△CAT可得：FK＝AT，∠FKN＝∠ATC，∴KE＝FT，∠FTP＝∠MKE，又∵∠FPT＝∠M＝90°，Rt△FPT≌Rt△EMK（AAS），∴S3＝S△FPT，同理可得Rt△AQF≌Rt△ACB，Rt△ABC≌Rt△EBD，∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC，∵Rt△ABC≌Rt△EBD，∴S4＝SRt△ABC，∴S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4＝SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC＝SRt△ABC×3＝×2×4×3＝12．故答案为：12．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．三、简答题（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)13．（12分）若a、b均为整数，当时，代数x2+ax+b的值为0，求ab的算术平方根．【分析】把x的值代入代数式，使其值为0，根据a，b均为整数，求出a与b的值，代入原式计算，求出结果即可．【解答】解：当x＝﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，可得4﹣2+（﹣1）a+b＝0，即（a﹣2）+4﹣a+b＝0，∵a，b均为整数，∴a﹣2＝0，4﹣a+b＝0，解得：a＝2，b＝﹣2，则ab＝2﹣2＝，∴ab的算术平方根为．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（12分）已知实数a、b满足：，且|b|+b＞0，求的值．【分析】先根据二次根式有意义的条件得出a﹣2≥0，2﹣a≥0，求出a＝2，进而得出b2＝1，再根据已知|b|+b＞0，进而得出b＝1，然后把a，b的值代入代数式，找出规律进行计算即可．【解答】解：由题意，得a﹣2≥0，2﹣a≥0，∴a≥2，a≤2，即a＝2，∴b2＝1，又∵|b|+b＞0，∴b＞0，∴b＝1，∴……+＝＝＝＝＝＝2024．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式的加减运算，数式规律问题，实数的运算，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式的加减运算，实数的运算，找出分式中的规律是解题的关键．15．（12分）给定一个5×5方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）中的连续3个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格），如果开始时所有25个小方格均为白色，请问：能否经过8次这样的操作，使得5×5方格网恰好变为黑白相间（如图所示），且任何一个小方格在前4次操作中至多变色1次？如果能，请给出一种操作方案（直接画出第4，5，6，7次操作后的方格网颜色）；如果不能，请给出证明．【分析】从8次操作后的图形倒推来看，能否形成5×5白色方格图形．【解答】解：可以，操作如下：（1）经过4次操作可染成如下：（2）继续操作，所以经过8次操作可以变成如图所示的图形．【点评】本题主要考查了染色问题，掌握其基本原理是解题的关键．16．（12分）一筐苹果，若分给全班同学每人3个，则还剩下25个；若全班同学一起吃，其中5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，则恰好用若干天吃完，问筐内最多共有多少个苹果．【分析】设全班共有x个同学，全班同学恰好n天吃完，利用苹果的总个数＝全部同学每天吃苹果的个数×吃的天数，可得出（2x﹣5）n＝3x+25，变形后，可得出n＝+×，结合n为正整数，可得出x的最大值，再将其代入（3x+25）中，即可求出结论．【解答】解：设全班共有x个同学，则苹果共有（3x+25）个，∵5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，∴全班同学每天吃1×5+2（x﹣5）＝（2x﹣5）个，设全班同学恰好n天吃完，∴（2x﹣5）n＝3x+25，∴n＝＝+×，∵n为正整数，∴为奇数，∴要使x最大，则＝1，∴x＝35，∴筐内最多共有3x+25＝3×35+25＝130（个）苹果．答：筐内最多共有130个苹果．【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出吃的天数是解题的关键．17．（12分）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，+＝2023，求×的最大值．【分析】已知+＝2023，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证E＝9，8时均无解，当E＝7时，＝1246，＝777，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解．【解答】解：首先，×的和一定时，差越小积越大，所以越大，×的乘积越大，验证E＝9，8时均无解，当E＝7时，＝1246，＝777，此时符合题意且积最大，此时积为1246×777＝968142．∴×的最大值为968142．【点评】本题考查了整数问题的综合运用，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解．18．（16分）已知：△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，连接BD并延长至点E，连接AE、CE，使∠BEC＝∠BAC．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，求证：AE+CE＝BE；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：；（3）如图3，在（2）的条件下，在BE上截取BF＝CE，连接CF，点G在EF上，连接AG，且∠EAG＝75°，∠BAG＝∠ACF，，求AG的长．【分析】（1）在BE上截取BH＝CE，连接AH，证明△ABH≌△ACE（SAS），得出∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，证明△HAE为等边三角形，得出AE＝HE，即可证明结论；（2）在BE上截取BH＝CE，连接AH，证明△ABH≌△ACE（SAS），得出∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，证明△HAE为等腰直角三角形，得出，即可证明结论；（3）连接AF，过点A作AM⊥EF于点M，根据解析（2）的证明得出△ABF≌△ACE（SAS），∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，证明△FAE为等腰直角三角形，求出∠AGE＝180°﹣∠EAG﹣∠AEG＝60°，∠FCE＝60°，根据直角三角形的性质结合勾股定理求出，最后在Rt△AGM中根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理求出结果即可．【解答】（1）证明：在BE上截取BH＝CE，连接AH，如图1所示：∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABH＝∠ACE，∵AB＝AC，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠HAC+∠CAE＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝60°，∴△HAE为等边三角形，∴AE＝HE，∴BE＝BH+HE＝CE+AE，即AE+CE＝BE；（2）解：（1）中结论不成立；，理由如下：在BE上截取BH＝CE，连接AH，如图2所示：∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABH＝∠ACE，∵AB＝AC，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠HAC+∠CAE＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝90°，∴△HAE为等腰直角三角形，∴，∴，故答案为：；（3）解：连接AF，过点A作AM⊥EF于点M，如图3所示：∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CE，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，∴△FAE为等腰直角三角形，∴，∵∠EAG＝75°，∴∠AGE＝180°﹣∠EAG﹣∠AEG＝60°，∴∠ABG＝∠ACE，∠BAG＝∠ACF，∴∠ABG+∠BAG＝∠ACE+∠ACF，即∠ABG+∠BAG＝∠FCE，∵∠ABG+∠BAG＝∠AGE＝60°，∴∠FCE＝60°，∵∠BFC＝∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°﹣60°＝30°，∴，∴，∵△FAE为等腰直角三角形，AM⊥EF，∴，∵∠AGM＝60°，∠AMG＝90°，∴∠GAM＝90°﹣60°＝30°，∴，∵AG2＝AM2+GM2，∴，解得：或（舍去），∴AG的长为．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明△ABH≌△ACE．19．（20分）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°时，则PA+PB+PC取得最小值．（1）如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝150°；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．（2）如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB'，连接CB'，求证：CB'过△ABC的费马点．（3）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．【分析】（1）由旋转的性质得AP′＝AP＝3，CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，∠CAP′＝∠BAP，再证△PAP′是等边三角形，得∠AP′P＝60°，PP′＝AP＝3，然后证∠CP′P＝90°，进而得出结论；（2）在CB'上取点P，使∠BPC＝120°，连接AP，再在PB'上截取PE＝PB，连接BE．由此可以证明△PBE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PB＝BE，∠PBE＝60°，∠BEB'＝120°，而△ABB'为正三角形，由此也可以得到AB＝B'B，∠ABB'＝60°，现在根据已知的条件可以证明△ABP≌△B'BE，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A'P'B处，连接PP'，证△PBP′是等边三角形，得PB＝PP′，∠P′PB＝∠P