专题16相似三角形的性质（3个知识点4种题型1个中考考点）（解析版）-初中数学北师大版9年级上册

专题16相似三角形的性质（3个知识点4种题型1个中考考点）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.相似三角形中对应线段比的性质定理（难点）知识点2.相似三角形的周长比、面积比（重点）知识点3.相似多边形的性质（拓展）【方法二】实例探索法题型1.利用相似三角形的性质求线段的长度题型2.利用相似三角形的性质解面积问题题型3.利用相似三角形的性质解决实际问题题型4.动态探究题【方法三】差异对比法易错点1：弄错相似比的前后项出错易错点2：误认为相似三角形的面积比等于相似比出错【方法四】仿真实战法考法.相似三角形的性质【方法五】成果评定法【学习目标】了解相似三角形的性质：相似三角形对高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能运用相似三角形的性质解决简单的问题。类比相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，猜想相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体验类比思想。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.相似三角形中对应线段比的性质定理（难点）1.性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．【例1】如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是的高，BC=60厘米，AH=40厘米，求正方形DEFG的边长．AABCDEFGHP【答案】24．【解析】设正方形的边长为，，．，，正方形的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．【变式1】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，BE、B1E1分别是它们的对应中线，且．求B1E1的长．【答案】4．【解析】解：，、分别是对应中线， 即，【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．【变式2】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，,的平分线A1D1的长为6，求的平分线的长．【答案】8．【解析】解：，、分别是、的平分线， 即，即的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．2.性质定理的证明【例2】求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、的高．求证：．证明：，，；又、分别是、的高，，，．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．【变式1】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是边、的中线．求证：． 证明：， ，； 又、分别是边、的中线，，， ，，，．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．【变式2】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、 的角平分线．求证：． 证明：， ，，； 又、分别是、的角平分线， ，， ，．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．知识点2.相似三角形的周长比、面积比（重点）相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例3】若∽，与的相似比为1:2，则与的周长比为( )（A）1:4 （B）1:2 （C）2:1 （D）【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【变式1】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是 ．【答案】．【解析】两三角形的相似比为，则周长比为，设大三角形周长为，小三角形周长为，则，所以，所以大三角形的周长为．【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【变式2】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，它们的周长分别为48和60，且，，求BC和A1B1的长．【答案】．【解析】解：，；又，．【总结】本题考查相似三角形的性质．【变式3】如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长．AABCDP【答案】．【解析】解：梯形，，，，即，，．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．【例4】如图，在中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值．AABCDE【答案】．【解析】解：，，，，，，．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【变式】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值．AABCDEFG【答案】．【解析】解：，，， ，， ，，，， 是中线，,．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．知识点3.相似多边形的性质（拓展）1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例。2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。3.相似多边形对应对角线的比等于相似比。4.相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。【例5】（2023秋·全国·九年级专题练习）两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应高之比为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求得相似多边形的相似比，再由相似多边形对应高的比等于相似比即可求得结果．【详解】解：∵两个相似多边形的面积之比为，∴相似比是，又∵相似多角形对应高的比等于相似比，∴对应边上高的比为．故选：A．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是关键．【变式1】（2023秋·九年级课前预习）两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可．【详解】∵两相似多边形的面积比是，∴两相似多边形的相似比为：，∴两相似多边形的周长比为：，∵较小多边形的周长为，∴较大多边形的周长为：．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似多边形．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比的性质，是解题的关键．【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则．【答案】【分析】设，，求出小正方形的边长，可得结论．【详解】解：如图，设，，则，，，故答案为．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式3】（2022秋·九年级单元测试）观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？

【答案】能，【分析】先得出两个相似图形的相似比，再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：能．求解过程如下：七边形与七边形相似，且其相似比等于，七边形与七边形的面积比为，则，．故七边形的面积为．【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相抵图形面积比等于相似比的平方．【方法二】实例探索法题型1.利用相似三角形的性质求线段的长度1.如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．AABCPQ【答案】．【解析】解：，，，，，，，，，，，，．【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．2.如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且，将沿DE翻折，使点A落在BC上的点F上．（1）求证：∽；（2）求BF的长．AABCDEF【答案】（1）略；（2）5．【解析】（1）证明：翻折成．，，是等边三角形，，，，，，．由（1）知，，又，，，，，．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等于相似比是解决本题的关键．题型2.利用相似三角形的性质解面积问题3.如图，在中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点K．若，，矩形DEFG的周长为76cm，求矩形DEFG的面积．AABCDEFGHK【答案】．【解析】解：设， 矩形，，,又是高，，, ，, ，，，，．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．4.如图，点D、E分别在的边AB和AC上，DE//BC，，，．求的值．AABCDE【答案】36．【解析】解：，，，．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．5.如图，在中，D是AB上一点，若，，，，求的面积．AABCD【答案】．【解析】解：，，，，又，．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．6.如图，在中，，，D、E分别为垂足．若，，求四边形DEAB的面积．AABCDEF【答案】3．【解析】解：，． ，，． ，，， ，，又， ，，，， ，．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．题型3.利用相似三角形的性质解决实际问题7.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【答案】甲同学方案好，理由略．AABCDEFABCDEFGH【解析】解：,又，在中，．按甲的设计：设，正方形，， ,，，， ，； ②按乙的设计：过点作交于点，得，, 设，则，正方形，， ，，，，，，；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．8．（2022·陕西西安·校考模拟预测）张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一长方形的笔记本和一根笔直的长约厘米的木条．测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里（笔记本封面所在平面在竖直平面内），另一位同学沿笔记本边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端与边在一条直线上．这时让木条的一端与点重合．用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与边交于点．经测量点到地面的距离为米，笔记本的长厘米，宽厘米，厘米．一位同学从点的正下方走向树的底部共走了步，若该同学每一步的长为厘米，请求出这棵树的高度．

【答案】米【分析】根据题意补全图形，利用，可得，又因为，得出比例式，解出即可．【详解】解：如图，

根据题意可知，（米），米，米，米，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得，∵，∴，∴，∴，解得，答：这棵树的高度为米．【点睛】此题考查了相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．题型4.动态探究题9．（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：在正方形纸片的边上选取一点E，沿对折纸片，得到；操作二：继续沿着对折纸片，并展开，得到折痕，连接；根据以上操作，如图1，与的位置关系是_______，_______°；（2）迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：将矩形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点H，过点E作于M．①如图2，当点E为中点时，与的数量关系是_________；②改变点E在上的位置，使点G、H仍分别落在边、上（均不与端点重合），①的结论是否仍然成立？并说明理由；（3）拓展应用在（2）的探究中，若．直接写出DE的长．【答案】（1），；（2）①；②成立，理由见解析；（3）．【分析】（1）如图，由翻折知，,于是,，，得证，求证，得，作角的计算求得结论；（2）①，由折叠知，，结合平行得证，于是，可证，于是；②成立；求证四边形是矩形，得．求证≌，得；（3）；如图，中，由勾股定理，求得，于是；求证，所以，求得，，得，，于是．【详解】解：（1），如图，由翻折知，,∴,，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．（2）①由折叠知，．∵，∴．∴．∴．由题意得：，∴四边形是矩形，∴．∴．∴．∴．②成立；理由：由题意得：，∴四边形是矩形，∴．又经过折叠，，∴．在和中，，，，∴≌，∴（3）如图，中，由勾股定理，，∴．解得，．∴．∵，∴．∴．∴，．∴．∴．∴．【点睛】本题考查矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称知识；运用全等三角形，相似三角形工具寻求线段之间的数量关系是解题的关键．10．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）（1）问题发现，如图1，在中，，点是边上一动点（不与点重合），，连接．

(1)①求的值；②求的度数．(2)拓展探究，如图2，在中，．点是边上一动点（不与点重合），，连接，请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①1；②(2)，，理由见解析【分析】（1）根据已知条件推出，根据全等三角形的性质得到，，于是得到；（2）根据已知条件得到，由相似三角形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质得到结论；【详解】（1），，，，，，，，在与中，，，，，，故答案为：1，；（2），；理由是：，，，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．（2023·江苏南通·校考三模）（1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：；（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交于点，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或．【分析】（1）先证明，，结合公共边从而可得结论；（2）延长，交于，如图：设，则，由，可得，证明，再利用相似三角形的性质可得答案；（3）分两种情况讨论：当时，延长交于，过作于，如图：设，，则，证明，可得，再证明，即①，由，可得②，联立①②可解得，可得答案；当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：设，，则，同理可得：，即，由得：，可解得，从而可得答案．【详解】（1）证明：将沿翻折到处，四边形是正方形，，，，，，；（2）解：延长，交于，如图：

设，则，在中，，，解得，，，，，，即，，，（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：

设，，则，∵，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分线，∴E到，的距离相等，设这个距离为，∴，，即①，，，，，在中，，②，联立①②可解得，（不符合题意的根舍去）；（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：

设，，则，同理，同理可得：，即，由得：，可解得，（不符合题意的根舍去）同理可得：，，综上所述，的长为或．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形，菱形，正方形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．【方法三】差异对比法易错点1：弄错相似比的前后项出错1.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.

【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，

∴，∴.

∵AB∥EF，AD∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF=AB=1.8m.

∴m.易错点2：误认为相似三角形的面积比等于相似比出错2.已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【答案与解析】∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE．∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．∵AE︰BE=1:2，∴S△ADE:S△BCE=1:4．

∵S△ADE=1，∴S△BCE=4．

∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6．

∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．

【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．【方法三】仿真实战法考法.相似三角形的性质1．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，∴这两个三角形对应边的比为1：4，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．3．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54 B．36 C．27 D．21【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周长是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．4．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．【方法四】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2023•泸县一模）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，∴其相似比为2：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．2．（2023•沙坪坝区校级开学）若两个相似三角形的相似比为1：9，则这两个三角形的周长之比为（）A．1：3 B．1：9 C．1：27 D．1：81【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：9，∴这两个三角形的周长之比为1：9，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．3．（2022秋•槐荫区期末）若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81【分析】根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方．【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，两个相似三角形的面积之比为1：9，∴它们对应边上的中线之比为1：3．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，开平方是解题关键．4．（2022秋•阜平县期末）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△DEF与△ABC的相似比为（）A．1：2 B．1：3 C．4：1 D．1：16【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4∴＝，∴＝，∴△DEF与△ABC的相似比为4：1．故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比叫相似比是解答此题的关键．5．（2023•红花岗区校级一模）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方．6．（2023•秀屿区校级开学）已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的面积为20，则△DEF的面积为（）A．5 B．40 C．80 D．无法计算【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝6，∴AB：DE＝3：6＝1：2，∴面积的比为1：4，∵△ABC的面积为20，∴△DEF的面积为80，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2023•江安县一模）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（）A． B． C． D．【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，∴S△ABC：S△ADE＝1：4，∵△ABC∽△ADE，∴，∴或（不符合题意，舍去）∵，∴．故选：B．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．8．（2023•玉屏县三模）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为（）A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的相似比的定义写出答案即可．【解答】解：把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比是＝，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的有关定义，难度较小．9．（2023•禅城区校级三模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】根据相似多边形的性质得最长边的长为三角形的周长×，依此列式计算即可求解．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，∴它的最长边的长为36×＝16．故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．10．（2022秋•阜宁县期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝5：3，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝5：3，∴＝，A正确；∴＝，B错误；∴＝，C错误；∴OA：OC＝5：2，D错误；故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•南开区期末）若△ABC∽△DEF，且，若△ABC的面积为8，则△DEF的面积为2．【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可解．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且，∴，∴，故答案为：2．【点评】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．（2023秋•宝应县校级月考）两个相似三角形的相似比是2：3，周长的差为15cm，则它们的周长分别为30cm，45cm．【分析】由两个相似三角形相似之比为2：3，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可得它们的周长比为2：3，又由周长之差为15cm，即可求得答案．【解答】解：∵两个相似三角形相似之比为2：3，∴它们的周长比为2：3，设它们的周长分别为2xcm，3xcm，∵周长之差为15cm，∴3x﹣2x＝15，解得：x＝15，∴它们的周长分别为：30cm，45cm．故答案为：30cm，45cm．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比是解此题的关键．13．（2022秋•平陆县期末）已知△ABC∽△A'B'C'且＝，则S△ABC：S△A'B'C'为．【分析】因为△ABC∽△A'B'C'且＝，所以根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，＝，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形各比值的关系是解题的关键．14．（2023•石城县模拟）如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG，阴影部分面积记为S，若，S△ABC＝16，则S＝9．【分析】根据平行的性质可知S△ABC＝S△EFG，AC∥EG，进而可证得△FMN∽△EFG∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论．【解答】解：∵等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG，∴S△ABC＝S△EFG，AC∥EG，∴△MFN∽△EFG∽△ABC，∴，∵，∴，∵△FMN的面积记为S，S△ABC＝16，∴，解得S＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质证得阴影三角形与原来的三角形相似．15．（2023•肃州区三模）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC＝，AC＝5，那么△DBF的面积等于．【分析】过A作AH⊥BC于H，由旋转的性质，平行线的性质，等角对等边得到AB＝AC，由等腰三角形的性质，勾股定理求出AH，得到△ABC的面积，由△BDC∽△ABC，求出CD＝2，由△AFD∽△BFE，推出DF：EF＝AD：BE＝3：5，得到DF：DE＝3：8，因此S△BFD＝×S△ABC＝×＝．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，∵△ABC绕点B旋转得到△EBD，∴∠EBD＝∠ABC，∠E＝∠FAD，DE＝AC，BE＝AB，∴∠EBF＝∠DBC，∵△BDC∽△ABC，∴∠DBC＝∠BAD，∴∠EBF＝∠BAD，∴AD∥BE，∴∠DAF＝∠EBF，∠E＝∠ADF，∵∠E＝∠FAD，∴∠DAF＝∠EBF＝∠E＝∠ADF，∴EF＝BF，AF＝DF，∴FE+DF＝AF+BF，∴DE＝AB，∴AB＝AC＝5，∵AH⊥BC，∴BH＝BC＝，∵AB＝5，∴AH＝＝，∴△ABC的面积＝BC•AH＝，∵△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝DC：BC，∵BC＝，AC＝5，∴：5＝CD：，∴CD＝2，∵AD∥BE，∴△AFD∽△BFE，∴DF：EF＝AD：BE＝3：5，∴DF：DE＝3：8，∴S△BFD＝×S△ABC＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，旋转的性质，关键是证明△AFD∽△BFE，得到DF：DE＝3：8，得到S△BFD＝×S△ABC．16．（2023•叶县模拟）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为2.4或．【分析】设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝6﹣x，由折叠的性质得到A′D＝AD＝x，分两种情况：△A′DC∽△BAC或△A′DC∽△ABC，即可解决问题．【解答】解：设AD＝x，∴CD＝AC﹣AD＝6﹣x，∵折叠△ADE得到△A′DE，∴A′D＝AD＝x，当△A′DC∽△BAC时，∴A′D：AB＝CD：AC，∴x：4＝（6﹣x）：6，∴x＝2.4；当△A′DC∽△ABC时，∴A′D：AB＝DC：BC，∴x：4＝（6﹣x）：5，∴x＝，∴AD长是2.4或．故答案为：2.4或．【点评】本题考查相似三角形的性质，折叠问题，关键是注意要分两种情况讨论，由相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，即可解决问题．17．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为48．【分析】先判断△ABC的形状，再计算△ABC的面积，最后利用相似三角形的性质得结论．【解答】解：法一、∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝×6×8＝24．∵△ABC∽△DEF，∴两个三角形的相似比为＝．∵△ABC的周长为6+8+10＝24，∴△DEF的周长＝2×24＝48．故答案为：48．法二、∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝×6×8＝24．∵△ABC∽△DEF，∴两个三角形的相似比为＝．∴△DEF的三边长分别为12、16、20．∴△DEF的周长＝12+16+20＝48．故答案为：48．【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质、勾股定理的逆定理是解决本题的关键．18．（2023•邗江区校级二模）如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是0＜CP≤2．【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到CP的长的取值范围．【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA，此时0＜PC＜8；如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，此时0≤PC＜8；如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB，当点G与点A重合时，由相似三角形的性质得CA2＝CP×CB，即42＝CP×8，∴CP＝2，∴此时，0＜CP≤2；综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤2．故答案为：0＜CP≤2．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•西安期末）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，求△A'B'C'的周长．【分析】由△ABC的三边长分别为6，8，10，可判定△ABC是直角三角形，又由和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，可得相似比为1：3，则可求得另两条边的长，继而求得周长．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为6，8，10，且62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的最大角是90°，∵和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：10：30＝1：3，∴另两条边的长分别为：6×3＝18，8×3＝24，∴周长为：18+24+30＝72．【点评】此题考查了相似三角形的性质以及勾股定理的逆定理．注意相似三角形的对应边成比例、对应角相等．20．（2022秋•礼泉县期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积．【分析】利用相似三角形的性质求出△ABC的面积，可得结论．【解答】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，∴，又∵△ADE的面积是1，∴S△ABC＝4S△ADE＝4，∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．21．（2022秋•东港市期中）如图，矩形ABDE中，AB＝3cm，BD＝7cm，点C在边ED上，且EC＝1cm，点P在边BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PD的长．【分析】根据矩形的性质及CE＝1cm，可得出DC及BD的长，设DP＝xcm，则BP＝（7﹣x）cm，由∠B＝∠D＝90°可得出存在△CDP∽△ABP和△PDC∽△ABP两种情况，再利用相似三角形的性质可求出x的值，此题得解．【解答】解：∵四边形ABDE为矩形，AB＝3cm，BD＝7cm，EC＝1，∴DC＝DE﹣CE＝BA﹣CE＝2cm，BD＝AE＝7cm．设DP＝xcm，则BP＝（7﹣x）cm．∵∠B＝∠D＝90°，∴存在两种情况．①当△CDP∽△ABP时，＝，即＝，∴x＝；②当△PDC∽△ABP时，＝，即＝，整理，得：x2﹣7x+6＝0，解得：x1＝1，x2＝6．∴当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，PD的长为cm或1cm或6cm．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及矩形的性质，分△CDP∽△ABP和△PDC∽△ABP两种情况，求出PD的长是解题的关键．22．（2021秋•大荔县期末）如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．【分析】根据相似三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，因为AF是∠BAC的平分线，所以∠BAF＝∠CAF，然后根据三角形外角的性质求得∠AGD＝∠AFC，即可判定△AGD∽△AFC，根据相似三角形的性质求得＝＝，即可求得AG：GF＝2：1．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝∠CAF，∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC，∴∠AGD＝∠AFC，∴△AGD∽△AFC，∴＝＝，∴AG：GF＝2：1．【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键．23．（2022秋•襄都区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，BE⊥AB于B，点D为射线BE上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似．（1）求AD的长；（2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比．【分析】（1）根据勾股定理求出BC，分△ABD∽△ACB、△ABD∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可；【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝＝＝，当△ABD∽△ACB时，＝，即＝，解得：AD＝3；当△ABD∽△BCA时，＝，即＝，解得：AD＝3；（2）当△ABD∽△ACB时，面积比＝（）2＝；当△ABD∽△BCA时，面积比＝（）2＝3，则△ABD与△ABC的面积比为或3．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．24．（2022秋•成武县期中）已知