平面向量讲义高考数学一轮复习

知识点一平面向量的概念【基础指数框架】1.平面向量的相关概念（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）向量的表示：用有向线段或表示，但注意有向线段与向量并不等价.（3）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作或.（4）零向量：大小为，方向任意的向量.（5）单位向量：大小为，方向任意的向量.（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的两个向量，基线包括平行或共线两种情况.（7）相等向量：大小相等，方向相同的两个向量.（8）相反向量：大小相等，方向相反的两个向量.【例题分析】例1．（2024春•中山市月考）下列说法正确的是A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则例2．（2024春•杨浦区校级期中）下列说法错误的是A．若，，则 B．若，，则 C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D．若，都是单位向量，则例3．（2024春•广西月考）下列说法错误的是A． B．，都是单位向量，则 C．若，则 D．零向量方向任意

例4．（2024春•聊城期中）对于任意两个向量，则下列命题中正确的是A． B． C．若与共线，则存在唯一的实数，使得 D．若，满足，且与同向，则例5．（2024春•河北区校级月考）关于向量，下列命题中正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【变式训练】1．（2024春•太和县校级月考）关于平面向量，下列说法正确的是A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的2．（2024春•保定期中）下列结论正确的是A．平行向量的方向都相同 B．单位向量都相等 C．零向量与任意向量都不平行 D．两个单位向量之和可能仍然是单位向量3．（2024春•回民区月考）设，是两个非零向量，则下列描述正确的有A．若，则存在实数，使得． B．若，则． C．若，则，反向． D．若，则，一定同向4．（2024春•五华区校级月考）如图，在中，向量是A．共线向量 B．相等的向量 C．模相等的向量 D．有相同起点的向量5．（2024春•福建月考）下列说法正确的是A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向知识点二平面向量的线性运算【基础指数框架】1.平面向量的线性运算（1）向量的加法：首尾相连，由头指尾，即；（2）向量的减法：起点相同，由后指前，即；（3）向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做数乘，记作．它的长度和方向规定如下：=1\*GB3①；=2\*GB3②时，的方向与的方向相同；当时，与的方向相反；时，．（4）常见结论=1\*GB3①,当与共线且同向时，当与共线且反向时，.=2\*GB3②,当与共线且反向时，当与共线且同向时，.=3\*GB3③在中，记,，，.=4\*GB3④在中，记,，中点为，则.【例题分析】例1．（2024春•潮安区校级期中）已知四边形为正方形，则下列等式中成立的是A． B． C． D．例2．（2024春•东莞市期中）A． B． C． D．例3．（2023春•潮阳区校级期中）在四边形中，，，，则四边形的形状是A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形

例4．（2023春•顺德区校级期中）已知，，，则A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线【变式训练】1．（2024春•电白区期中）化简的结果等于A． B． C． D．2．（2024春•宝安区月考）在中，A． B． C． D．03．（2023春•东莞市校级月考）下列各式中结果为零向量的是A． B． C． D．4．（2023春•龙华区校级期中）如图，在正六边形中，A． B． C． D．

知识点三平面向量的基本定理【基础指数框架】1.平面向量基本定理：如果是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,使得；2.平面向量的共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使．3.三点共线：若点三点共线，点不在所在直线上，则存在唯一的与，使得,且.【例题分析】例1．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，例2．（2024•汕头模拟）已知四边形是平行四边形，，，则A． B． C． D．例3．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则A． B． C． D．例4．（2023•花都区校级模拟）如图，在中，点为线段的中点，点，分别是线段上靠近，的三等分点，则A． B． C． D．

例5．（2024•福田区校级模拟）点是平行四边形的中心，为的中点，若，则A．1 B． C． D．【变式训练】1．设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2024•番禺区校级模拟）已知在中，点在边上，且，则A． B． C． D．3．（2024•顺德区模拟）在中，，若，线段与交于点，则A． B． C． D．4．（2024•中山市校级模拟）中，为中点，设向量，，，则A． B． C． D．5．（2020•海南）在中，是边上的中点，则A． B． C． D．6．（2023春•顺德区校级期中）已知，，，则A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线

知识点四平面向量的数量积【基础指数框架】1.（为与的夹角，夹角必须有公共起点）；2.若，则；3.，即；4.在上的投影为；在上的投影向量为；5.若与所称之角为锐角，则且与不共线；若与所称之角为钝角，则且与不共线.【例题分析】例1．（2022•甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．例2．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则．例3．（2020•新课标Ⅰ）设，为单位向量，且，则．例4．（2024•新高考Ⅱ）已知向量，满足：，，且，则A． B． C． D．1例5．（2020•新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，A． B． C． D．例6．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则．例7．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则．例8．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则．例9．（2021•甲卷）若向量，满足，，，则．例10．（2023•赤坎区二模）已知向量，满足，，则A． B． C． D．

例11．（2024•广东模拟）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为A． B． C． D．例12．（2023•深圳一模）已知，为单位向量，且，则与的夹角为A． B． C． D．例13．（2020•北京）已知正方形的边长为2，点满足，则；．例14．（2024•白云区模拟）已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则A． B．2 C． D．【变式训练】1．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求．2．（2021•浙江）已知非零向量，，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是A． B． C． D．4．（2022•乙卷）已知向量，满足，，，则A． B． C．1 D．25．（2024•潮阳区模拟）若都为非零向量，且，，则向量的夹角为A． B． C． D．

6．（2024•东莞市一模）在中，，，，则A． B．16 C． D．97．（2023•广州二模）已知两个非零向量，满足，，则A． B． C． D．8．（2023•乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则A． B．3 C． D．59．（2023•甲卷）向量，，且，则，A． B． C． D．10．（2024•湛江一模）已知向量，均为单位向量，，若向量与向量的夹角为，则A． B． C． D．11．（2024•海珠区模拟）已知单位向量与的夹角为，则与的夹角为A． B． C． D．12．（2024•荔湾区模拟）已知，，则在上的投影向量为A． B． C． D．13．（2024•罗湖区模拟）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为A． B． C． D．

知识点五平面向量的坐标运算【基础指数框架】1.平面向量的正交分解与坐标运算（1）设，，则=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥.（2）在平面直角坐标系中，已知点，，.（3）夹角问题：，.【例题分析】例1．（2022•乙卷）已知向量，，则A．2 B．3 C．4 D．5例2．（2022•港澳台）已知向量，．若，则A． B． C． D．例3．（2020•新课标Ⅰ）设向量，，若，则．例4．（2024•新高考Ⅰ）已知向量，，若，则A． B． C．1 D．2例5．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则A． B． C． D．

例6．（2023•北京）已知向量，满足，，则A． B． C．0 D．1例7．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则A． B． C．5 D．6例8．（2021•港澳台）已知向量，，则的最大值是A．7 B．5 C．4 D．1例9．（2021•新高考Ⅰ•多选）已知为坐标原点，点，，，，，则A． B． C． D．【变式训练】1．（2023•上海）已知向量，，则．2．（2022•甲卷）已知向量，．若，则．3．（2021•乙卷）已知向量，，若，则．4．（2021•乙卷）已知向量，，若，则．5．（2021•甲卷）已知向量，，．若，则．6．（2023•甲卷）已知向量，，则，A． B． C． D．7．（2023•港澳台）设向量，，若，则A．5 B．2 C．1 D．08．（2024•佛山模拟）已知平面向量，，则在上的投影向量为A． B． C． D．

知识点六以向量为背景的多结论问题【基础指数框架】1.若求平面向量的数量积，常见的处理方法有以下四种：（1）方法一：定义直接展开：；（2）方法二：线性运算代换：若，则；（3）方法三：建系坐标代换：若，则；（4）方法四：利用三角函数进行代换：在中，为直角，，在任意中，可利用正弦定理进行转换;适用条件：=1\*GB3①若已知、和夹角，可用方法一；=2\*GB3②若、与存在未知数且能线性代换，可用方法二；=3\*GB3③若存在直角三角形、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、直角梯形等特殊图形，可用方法三；=4\*GB3④若存在直角三角形或知道两角一边，可利用方法四.2.以平面向量的数量积为背景的最值问题常见处理方法（1）方法一：三角函数法：若代数式可化为的性质，可利用三角函数的值域进行求解；（2）方法二：基本不等式法：若代数式可化为的形式，可利用基本不等式进行求解；（3）方法三：二次函数法：若代数式可化为的形式，可利用二次函数进行求解；（4）方法四：投影法：若中，已知或，则或可利用向量投影进行求解；注意事项：=1\*GB3①不管使用哪种方法求最值，均需讨论最值何时能取到；=2\*GB3②若换元，则需注意新变量的取值范围.3.常见结论在中，记,，，，.（1）.（2）若，则.（3）若，或者平分与的夹角，则.【例题分析】题型一：利用三角函数求最值例1．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，点P在平面ABC内，，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．例3.已知矩形的边长，，点,分别在边，上，且，则的最小值为_______.题型二：利用基本不等式求最值例1．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（

）A． B． C． D．例2．（2023·全国·高一专题练习）在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．例3．（2023春·广东云浮·高一校考阶段练习）在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（

）A． B． C． D．

例4．（2022秋·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知面积为6的直角中，为斜边上的两个三等分点，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．题型三：利用二次函数求最值例1．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．6例2．（2023·全国·高一专题练习）是边长为6的等边三角形，点，分别在边，上，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．例3．（2023·全国·高一专题练习）边长为2的正六边形中，M为边CD上的动点，则的最小值为（

）A． B．6 C．4 D．例4．（2021春·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在矩形中，点E是的中点，点F在上．(1)若点F是上靠近C的三等分点，设，求的值；(2)若，求的最值．

例5．（2023春·江苏盐城·高一盐城中学校考阶段练习）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，，．(1)求角A和DE的长；(2)若M是线段BC上的一个动点（包括端点），求的最值．题型四：利用投影法求最值例1．（2023春·广东佛山·高一佛山市第三中学校考阶段练习）如图，正六边形边长为1，记，从点这六点中任取两点为的起点和终点，则的最大值为___________.例2．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）已知是边长为1的正六边形的边上的任意一点，则的取值范围是________.例3．（2022·上海·统考模拟预测）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是__________.知识点七奔驰定理与四心问题【基础指数框架】1.奔驰定理：已知为内任意一点，则有.推论：若为内任意一点，且，则_____________________________.2.三角形内心：=1\*GB3①定义：三角形内接圆圆心，三角形内角角平分线的交点，内心到三角形各边距离相等.=2\*GB3②性质：若为三角形的内心，则.证明：由奔驰定理知，即.3.三角形外心：=1\*GB3①定义：三角形外接圆圆心，三角形各边的垂直平分线的交点，到顶点距离相等（）.=2\*GB3②性质：若为三角形的外心，则.证明：由奔驰定理知，即.4.三角形重心：=1\*GB3①定义：三角形三条中线的交点，重心将中线分为的线段.=2\*GB3②性质：若为三角形的重心，.5.三角形垂心