2025版一轮高考总复习数学第一章　集合、常用逻辑用语与不等式第二节　常用逻辑用语

第二节常用逻辑用语1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题推出关系p⇒qpqp⇔q条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件p是q的充分必要条件，简称充要条件提醒（1）A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且BA；（2）A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且AB.2.全称量词和存在量词类别全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题叫做全称量词命题含有存在量词的命题叫做存在量词命题类别全称量词存在量词命题形式“对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p（x）”“存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）”3.全称量词命题和存在量词命题的否定名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立简记∀x∈M，p（x）∃x∈M，p（x）否定∃x∈M，p（x）∀x∈M，p（x）提醒对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.（×）（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（√）（3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（√）（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（√）2.已知命题p：∀x∈R，x＞sinx，则p的否定为（）A.∃x∈R，x＜sinx B.∀x∈R，x≤sinxC.∃x∈R，x≤sinx D.∀x∈R，x＜sinx解析：C对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论，p：∀x∈R，x＞sinx，则p的否定为：∃x∈R，x≤sinx.故选C.3.（2023·天津高考2题）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析：B由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b时，a2＋b2≠2ab.由a2＋b2＝2ab，得（a－b）2＝0，所以a＝b.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形.解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形.5.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，则m的取值范围是（3，＋∞）.解析：因为“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，所以（m，＋∞）是（3，＋∞）的真子集，由图可知m＞3.1.充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；（3）若A＝B，则p是q的充要条件.2.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.1.设x∈R，则“x＞0”是“2x＞2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B若2x＞2，则x＞1，因为（1，＋∞）⫋（0，＋∞），所以由结论1得“x＞0”是“2x＞2”的必要不充分条件.故选B.2.若“∀x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是（－∞，－8]∪[0，＋∞）.解析：由结论2得∃x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）.全称量词命题与存在量词命题考向1含量词命题的否定及真假判定【例1】（1）已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（）A.p：∀x∉R，x≠－1或x≠2B.p：∀x∈R，x≠－1且x≠2C.p：∀x∈R，x＝－1且x＝2D.p：∃x∉R，x＝－1或x＝2（2）下列命题为真命题的是（）A.∃x∈R，ln（x2＋1）＜0B.∀x＞2，2x＞x2C.∃α，β∈R，sin（α－β）＝sinα－sinβD.∀x∈（0，π），sinx＞cosx答案：（1）B（2）C解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“∀x∈R，x≠－1且x≠2”.（2）∵x2＋1≥1，∴ln（x2＋1）≥0，故A是假命题；当x＝3时，23＜32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin（α－β）＝sinα－sinβ，故C是真命题；当x＝π6∈（0，π）时，sinx＝12，cosx＝32，sinx＜cosx，故D是假命题解题技法1.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法（1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.（2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题.考向2含量词的命题的应用【例2】已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A.（－18，0） B.（0，1C.（18，＋∞） D.（1，＋解析：C因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得a>0，Δ=1－解题技法由命题的真假求参数的方法（1）全称量词命题可转化为恒成立问题；（2）存在量词命题可转化为存在性问题；（3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.1.（2024·石家庄模拟）已知命题p：∃x∈（0，＋∞），lnx＝1－x，则命题p的真假及p依次为（）A.真；∃x∈（0，＋∞），lnx≠1－xB.真；∀x∈（0，＋∞），lnx≠1－xC.假；∀x∈（0，＋∞），lnx≠1－xD.假；∃x∈（0，＋∞），lnx≠1－x解析：B当x＝1时，lnx＝1－x＝0，故命题p为真命题；因为p：∃x∈（0，＋∞），lnx＝1－x，所以p：∀x∈（0，＋∞），lnx≠1－x.2.若命题“∃x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（）A.－1 B.0C.1 D.3解析：A由题意，∃x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因为函数h（x）＝x2－2x在（－1，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a可取的最小整数值是－1.充分条件、必要条件的判定【例3】（1）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2）（2023·全国甲卷7题）设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：（1）B（2）B解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B.（2）甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.解题技法充分条件、必要条件的两种判定方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.1.已知a，b都是实数，那么“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：A方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆⇔方程（x－1）2＋（y－b）2＝a＋1表示圆⇔a＋1＞0⇔a＞－1.由a＞2能推出a＞－1，但是a＞－1推不出a＞2，故“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”的充分不必要条件.2.记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B若数列{an}是等差数列，则S3＝a1＋a2＋a3＝3a2；当数列{an}的前n项和满足S3＝3a2时，数列不一定是等差数列，如：a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5；所以“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的必要不充分条件，故选B.充分、必要条件的探究与应用【例4】已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为[0，3].解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴1－m≥－2，1+m≤10，1－m≤1+m，解得0≤m≤3（变条件）本例中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.解：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，∴P⫋S.∴[－2，10]⫋[1－m，1＋m].∴1－m≤－2，1+m>10或1－m＜－2，解题技法应用充分、必要条件求解参数范围的方法（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解；（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.设p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[2，＋∞）.解析：由题意知{x｜1＜x＜2}⫋{x｜（x－a）（x－1）≤0}，则a＞1，即{x｜1＜x＜2}⫋{x｜1≤x≤a}，从而a≥2.1.命题“∃x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（）A.∀x∈R，1＜f（x）≤2B.∃x∈R，1＜f（x）≤2C.∃x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2解析：D存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0B.对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜bC.若2x为偶数，则x∈ND.π是无理数解析：B对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x∉N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.3.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.4.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有实根；q：函数f（x）＝（2－a）x为增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1）⫋（－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.5.（2023·北京高考8题）若xy≠0，则“x＋y＝0”是“yx＋xy＝－2”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：C法一因为xy≠0，且xy＋yx＝－2⇔x2＋y2＝－2xy⇔x2＋y2＋2xy＝0⇔（x＋y）2＝0⇔x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“xy＋yx＝－法二充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以xy＋yx＝－yy＋y－y＝必要性：因为xy≠0，且xy＋yx＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“xy＋yx＝－6.（多选）使2x≥1成立的一个充分不必要条件是（A.0＜x＜1 B.0＜x＜2C.x＜2 D.0＜x≤2解析：AB由2x≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、7.（多选）已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，则下列说法正确的是（）A.p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”B.q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1＞0”C.若p为假命题，则a的取值范围是（－∞，－5）D.若q为真命题，则m的取值范围是（－2，2）解析：ADA、B选项，p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.8.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题p是假命题（填“真”或“假”）.解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以p为假命题.9.能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是－1（答案不唯一）（写出一个即可）解析：由于当x＞0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋1x10.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为（－∞，－2].解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.11.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B.∀x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D.∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2解析：D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”.12.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）解析：C选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.13.（多