2024届上海市高考模拟测数学试卷02（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2上海市2024届高考数学模拟测试卷02一、填空题1．已知集合，全集，则．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗为：2．现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为．〖答案〗〖解析〗由题设，数据集（从小到大排列）中共有10个数据，则，所以该组数的第25百分位数为第三个数.故〖答案〗为：3．设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则．〖答案〗〖解析〗由题设，即，所以.故〖答案〗为：4．已知函数为偶函数，则函数的值域为.〖答案〗〖解析〗函数（）是偶函数，，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为．故〖答案〗为：．5．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为.〖答案〗〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为：，∴以抛物线的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，∴圆的方程为；，故〖答案〗为：.6．已知x，y的对应值如下表所示：02468113若y与x线性相关，且回归直线方程为，则．〖答案〗1〖解析〗根据表格可知，，，因为y与x线性相关，且回归直线方程为，所以，得，解得.故〖答案〗为：17．已知，且，则．〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得或，因为，，所以.故〖答案〗为：8．已知m是与4的等差中项，且，则的值为．〖答案〗40〖解析〗由题意得，解得，则二项式的通项为，令则有，故，故〖答案〗为：.9．若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是.〖答案〗〖解析〗从正方体的12条面对角线中，随机选取两条的试验有个基本事件，由于任意两个面的4条对角线中有2对异面直线，因此能成异面直线的对数是，所以它们成异面直线的概率是.故〖答案〗为：.10．已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是.〖答案〗〖解析〗①当时，在上单调递增，所以，因此满足题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减（i）当时，在上单调递增，所以，则，，所以，，，，，，或或；（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，；综上，的取值范围为.故〖答案〗为：11．如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则.

〖答案〗2〖解析〗过作垂直于四棱锥底面的截面，如图所示，

由条件可知，为底面正方形的对角线，所以，所以,长度为正四棱柱底面正方形的对角线，所以，长度为正四棱柱底面正方形的对角线的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故〖答案〗为：212．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为.〖答案〗〖解析〗以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系：设，则，则有，，，，，，，设，所以，，又因为，所以，所以或，又因为，所以直线的方程为：，即，同理可得直线的方程为：，即，由，可得，即，因为，，，,即有，，所以点所在双曲线方程为：，所以，所以，所以.故〖答案〗为：二、选择题13．若：，：，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件〖答案〗B〖解析〗由题意可得：：，显然可以推出，但不能推出，所以是的必要非充分条件.故选：B.14．某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（

）A．350 B．400 C．450 D．500〖答案〗B〖解析〗依题意，，而服从正态分布，因此，所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为.故选：B15．如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（

）．A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点〖答案〗B〖解析〗，作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为，在处的导数都等于，在上，,单调递增，在上，单调递减，因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.故选：B.16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（

）A．存在等差数列，使得是的“M数列”B．存在等比数列，使得是的“M数列”C．存在等差数列，使得是的“M数列”D．存在等比数列，使得是的“M数列”〖答案〗C〖解析〗对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故A为真命题；对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故B为真命题；对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，设等差数列的公差为，∵、均为严格增数列，则，故，取满足，可知必存在，使得成立，当时，对任意正整数，则有；对任意正整数，则有；故不存在正整数，使得，故C为假命题；对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故D为真命题；故选：C.三、解答题17．在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求角，并计算的值；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．解：(1)由，得，则，又，所以或.当时，；当时，.(2)若为锐角三角形，则，有，解得.由正弦定理，得，则，所以，其中，又，所以，则，故当时，取到最大值1，所以的最大值为.18．如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．(1)证明：连接，因为、分别为、的中点，所以且，又因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．(2)解：因为三角形与梯形所在的平面互相垂直，，又平面平面,平面，所以平面，又平面，所以，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示则，，,．所以，，由题意知，平面的法向量，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19．为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．(1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；(2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．解：(1)从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为，将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为，事件的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”．则，(2)情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，设该代表队必答环节的得分为，，，，，，，则的分布为：此时得分期望情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，设该代表队必答环节的得分为，,，，，，，则的分布为：此时得分期望由于，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题．20．已知椭圆.(1)已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；(2)已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；(3)设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.解：(1)由题意得，，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；(2)设右焦点，左焦点，因为四边形是正方形，不妨设点在第一象限，则，所以，由，得，正方形的内切圆的圆心为，半径为，所以所求圆的方程为；（3）设直线的倾斜角为，斜率为，则直线的斜率为，设，则，联立，得，同理可得，由得，即，整理得，注意到且，则要使上述关于的一元二次方程有正数解，只需要，解得，所以b的最大值为.21．已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.(1)函数，是否为函数﹖请说明理由；(2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；(3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.解：(1)是函数，理由如下，对任意，，，故(2)（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减，由，即，得，又，，则，（构造时，等号成立），所以；（ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增，由，同理可得，又，，则，（构造时，等号成立），所以；综上所述：所求取值范围为；（3）显然为上的严格增函数，任意，不妨设，此时，由为函数，得恒成立，即恒成立，设，则为上的减函数，，得对恒成立，易知上述不等号右边的函数为上的减函数，所以，所以的取值范围为，此时，法1：当时，即，由，而，所以为上的增函数，法2：，因为，当，，所以为上的增函数，由题意得，，.上海市2024届高考数学模拟测试卷02一、填空题1．已知集合，全集，则．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗为：2．现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为．〖答案〗〖解析〗由题设，数据集（从小到大排列）中共有10个数据，则，所以该组数的第25百分位数为第三个数.故〖答案〗为：3．设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则．〖答案〗〖解析〗由题设，即，所以.故〖答案〗为：4．已知函数为偶函数，则函数的值域为.〖答案〗〖解析〗函数（）是偶函数，，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为．故〖答案〗为：．5．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为.〖答案〗〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为：，∴以抛物线的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，∴圆的方程为；，故〖答案〗为：.6．已知x，y的对应值如下表所示：02468113若y与x线性相关，且回归直线方程为，则．〖答案〗1〖解析〗根据表格可知，，，因为y与x线性相关，且回归直线方程为，所以，得，解得.故〖答案〗为：17．已知，且，则．〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得或，因为，，所以.故〖答案〗为：8．已知m是与4的等差中项，且，则的值为．〖答案〗40〖解析〗由题意得，解得，则二项式的通项为，令则有，故，故〖答案〗为：.9．若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是.〖答案〗〖解析〗从正方体的12条面对角线中，随机选取两条的试验有个基本事件，由于任意两个面的4条对角线中有2对异面直线，因此能成异面直线的对数是，所以它们成异面直线的概率是.故〖答案〗为：.10．已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是.〖答案〗〖解析〗①当时，在上单调递增，所以，因此满足题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减（i）当时，在上单调递增，所以，则，，所以，，，，，，或或；（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，；综上，的取值范围为.故〖答案〗为：11．如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则.

〖答案〗2〖解析〗过作垂直于四棱锥底面的截面，如图所示，

由条件可知，为底面正方形的对角线，所以，所以,长度为正四棱柱底面正方形的对角线，所以，长度为正四棱柱底面正方形的对角线的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故〖答案〗为：212．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为.〖答案〗〖解析〗以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系：设，则，则有，，，，，，，设，所以，，又因为，所以，所以或，又因为，所以直线的方程为：，即，同理可得直线的方程为：，即，由，可得，即，因为，，，,即有，，所以点所在双曲线方程为：，所以，所以，所以.故〖答案〗为：二、选择题13．若：，：，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件〖答案〗B〖解析〗由题意可得：：，显然可以推出，但不能推出，所以是的必要非充分条件.故选：B.14．某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（

）A．350 B．400 C．450 D．500〖答案〗B〖解析〗依题意，，而服从正态分布，因此，所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为.故选：B15．如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（

）．A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点〖答案〗B〖解析〗，作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为，在处的导数都等于，在上，,单调递增，在上，单调递减，因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.故选：B.16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（

）A．存在等差数列，使得是的“M数列”B．存在等比数列，使得是的“M数列”C．存在等差数列，使得是的“M数列”D．存在等比数列，使得是的“M数列”〖答案〗C〖解析〗对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故A为真命题；对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故B为真命题；对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，设等差数列的公差为，∵、均为严格增数列，则，故，取满足，可知必存在，使得成立，当时，对任意正整数，则有；对任意正整数，则有；故不存在正整数，使得，故C为假命题；对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，则，取，则，即成立，所以是的“M数列”，故D为真命题；故选：C.三、解答题17．在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求角，并计算的值；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．解：(1)由，得，则，又，所以或.当时，；当时，.(2)若为锐角三角形，则，有，解得.由正弦定理，得，则，所以，其中，又，所以，则，故当时，取到最大值1，所以的最大值为.18．如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．(1)证明：连接，因为、分别为、的中点，所以且，又因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．(2)解：因为三角形与梯形所在的平面互相垂直，，又平面平面,平面，所以平面，又平面，所以，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示则，，,．所以，，由题意知，平面的法向量，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19．为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．(1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；(2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．解：(1)从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为，将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为，事件的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”．则，(2)情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，设该代表队必答环节的得分为，，，，，，，则的分布为：此时得分期望情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，设该代表队必答环节的得分为，,，，，，，则的分布为：此时得