2024届上海市高考模拟测数学试卷03（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2上海市2024届高考数学模拟测试卷03一、填空题1．已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为.〖答案〗〖解析〗由题意，复数，在复平面内所对应的点的坐标为．故〖答案〗为：．2．双曲线的焦距为.〖答案〗〖解析〗由已知=1，=4，所以=5，所以焦距为，故〖答案〗为．【『点石成金』】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题．3．函数的定义域为．〖答案〗〖解析〗由题设，所以此函数的定义域为．故〖答案〗为：4．已知随机变量，且，则.〖答案〗12〖解析〗随机变量，，，则.故〖答案〗为：125．已知，且，则．〖答案〗〖解析〗已知，由倍角公式得，由，，解得，则.故〖答案〗为：.6．已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数．〖答案〗3〖解析〗由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，解得：.故〖答案〗为：37．设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的体积为〖答案〗〖解析〗由棱锥为正三棱锥，得，，而⊥，⊥，由勾股定理得，即圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的体积为.故〖答案〗为：.8．在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是．（请填入全部正确的序号）①；②；③；④．〖答案〗②③④〖解析〗对于①，取，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，当，要证，即证，即，即证，而恒成立，当时，，所以，故③正确.对于④，，所以，故④正确.故〖答案〗为：②③④.9．有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有种.〖答案〗60〖解析〗从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法，所以不同安排方式共有（种）.故〖答案〗为：6010．已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为．〖答案〗3〖解析〗当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，取得最小值，解得，．故〖答案〗为：3．11．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为．〖答案〗〖解析〗由，则，以为原点建立坐标系，可设、，由点在圆上运动，设，则，，可得，由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数，此时存在最大值，因为，当时，的最大值为，即有最大值，因为恒成立，所以，即实数的取值范围为．故〖答案〗为：．12．已知，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为.〖答案〗〖解析〗由题意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8个子集，故集合有且只有三个元素，则，又，当时，，此时集合只有两个元素，不满足题意；当时，，此时集合有且只有三个元素，满足题意；当时，，此时集合有且只有三个元素，满足题意；当时，易知集合中不只三个元素，不满足题意；综上，可取的值是4或5，即n的可能值的集合为.故〖答案〗为：.二、选择题13．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为，所以它的一个样本空间为.故选：B.14．已知直线和平面，则下列判断中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则〖答案〗C〖解析〗A：若，则两直线平行或异面或相交，故A错误；B：若，当直线在平面内时，则直线不平行于平面，故B错误；C：若，设过的平面与相交于，则，又因为，，所以，所以，所以，故C正确；D：若，则或或，故D错误；故选：C.15．设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（

）．A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，，，即且，，且，两边都除以，得，可得．对于A，由，可得，故A项不正确；对于B，由于，所以不成立，故B不正确；对于C，因为，所以，可得．结合，可得，故C正确；对于D，根据且，当，时，，此时不成立，故D不正确．故选：C．16．已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（

）①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同；②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为；③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内．A．①③ B．②④ C．①② D．③④〖答案〗D〖解析〗由方程知：A：当时，椭圆方程为，当时，椭圆方程为，化简为，即，所以①错误；B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为：，因为，所以，所以，所以②错误；C：月相外边缘的离心率为：，而，所以当时，最大，即月相外边缘的离心率第8天时取最大值，所以③正确；D：农历初六至初八，即时，即，此时月相外边缘离心率：，即，因为，，所以，，所以，故④正确.综上所述，正确的有③④.故选：D.三、解答题17．如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．(1)求证：面面；(2)求二面角的余弦值大小．(1)证明：为棱中点，为正三角形，.又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，而平面，面，面，面面；(2)解：由(1)得面，面，，是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值为．

方法二：以为原点，建立直角坐标系如图：则，，，设平面、平面的法向量分别为，，可以是可以是，二面角的余弦值为．18．设函数，为常数.(1)若为偶函数，求的值；(2)设，，为减函数，求实数的取值范围.解：(1)因为为偶函数，且，所以即，即所以对一切成立，所以(2)因为，且所以，任取，因为，所以且又在区间上为减函数，所以即，所以又，所以.19．在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号12345考前预估难度测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．解：(1)因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，所以估计240人中有人实测答对第5题．(2)的可能取值是0,1,2，；；．的分布列为：012．(3)将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．定义统计量，其中为第题的预估难度.并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．.因为，所以该次测试的难度预估是合理的．20．贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.

(1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程；(2)若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；(3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：．(1)解：焦点为，准线为；(2)解：将代入，化简得（*），方程（*）的判别式，化简得，解得；(3)证明：设，设抛物线在点处的切线方程为，由，消去并化简得，，，，解得，故切线方程为，，，即，同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为：，，联立，解得，即，同理可得，，因为，，，所以．21．若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.解：(1)函数是上的“弱增函数”，理由如下：显然，是上的严格增函数，对于函数，，当时，恒成立，故是上的严格减函数，从而是上的“弱增函数”.(2)记，由题意得，，由是上的“弱增函数”可得函数是上的严格增函数，而是上的严格减函数，函数图像的对称轴为，且是区间上的严格增函数，令，则，当，即时，解得或，当时，，则函数在上单调递减，即函数是区间上的严格减函数，由是上的“弱增函数”，得，所以，所以的最大值为1.(3)，由是“弱增数列”得，即.又因为d是偶数，所以，从而.故，由得，所以当时，，即，故若，则不存在和，使得.从而.若，解得，满足；若，解得，满足；若，解得，不满足.当时，，故不存在大于5的正整数，使得.综上，所有可能的值为和.上海市2024届高考数学模拟测试卷03一、填空题1．已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为.〖答案〗〖解析〗由题意，复数，在复平面内所对应的点的坐标为．故〖答案〗为：．2．双曲线的焦距为.〖答案〗〖解析〗由已知=1，=4，所以=5，所以焦距为，故〖答案〗为．【『点石成金』】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题．3．函数的定义域为．〖答案〗〖解析〗由题设，所以此函数的定义域为．故〖答案〗为：4．已知随机变量，且，则.〖答案〗12〖解析〗随机变量，，，则.故〖答案〗为：125．已知，且，则．〖答案〗〖解析〗已知，由倍角公式得，由，，解得，则.故〖答案〗为：.6．已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数．〖答案〗3〖解析〗由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，解得：.故〖答案〗为：37．设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的体积为〖答案〗〖解析〗由棱锥为正三棱锥，得，，而⊥，⊥，由勾股定理得，即圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的体积为.故〖答案〗为：.8．在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是．（请填入全部正确的序号）①；②；③；④．〖答案〗②③④〖解析〗对于①，取，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，当，要证，即证，即，即证，而恒成立，当时，，所以，故③正确.对于④，，所以，故④正确.故〖答案〗为：②③④.9．有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有种.〖答案〗60〖解析〗从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法，所以不同安排方式共有（种）.故〖答案〗为：6010．已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为．〖答案〗3〖解析〗当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，取得最小值，解得，．故〖答案〗为：3．11．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为．〖答案〗〖解析〗由，则，以为原点建立坐标系，可设、，由点在圆上运动，设，则，，可得，由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数，此时存在最大值，因为，当时，的最大值为，即有最大值，因为恒成立，所以，即实数的取值范围为．故〖答案〗为：．12．已知，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为.〖答案〗〖解析〗由题意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8个子集，故集合有且只有三个元素，则，又，当时，，此时集合只有两个元素，不满足题意；当时，，此时集合有且只有三个元素，满足题意；当时，，此时集合有且只有三个元素，满足题意；当时，易知集合中不只三个元素，不满足题意；综上，可取的值是4或5，即n的可能值的集合为.故〖答案〗为：.二、选择题13．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为，所以它的一个样本空间为.故选：B.14．已知直线和平面，则下列判断中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则〖答案〗C〖解析〗A：若，则两直线平行或异面或相交，故A错误；B：若，当直线在平面内时，则直线不平行于平面，故B错误；C：若，设过的平面与相交于，则，又因为，，所以，所以，所以，故C正确；D：若，则或或，故D错误；故选：C.15．设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（

）．A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，，，即且，，且，两边都除以，得，可得．对于A，由，可得，故A项不正确；对于B，由于，所以不成立，故B不正确；对于C，因为，所以，可得．结合，可得，故C正确；对于D，根据且，当，时，，此时不成立，故D不正确．故选：C．16．已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（

）①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同；②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为；③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内．A．①③ B．②④ C．①② D．③④〖答案〗D〖解析〗由方程知：A：当时，椭圆方程为，当时，椭圆方程为，化简为，即，所以①错误；B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为：，因为，所以，所以，所以②错误；C：月相外边缘的离心率为：，而，所以当时，最大，即月相外边缘的离心率第8天时取最大值，所以③正确；D：农历初六至初八，即时，即，此时月相外边缘离心率：，即，因为，，所以，，所以，故④正确.综上所述，正确的有③④.故选：D.三、解答题17．如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．(1)求证：面面；(2)求二面角的余弦值大小．(1)证明：为棱中点，为正三角形，.又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，而平面，面，面，面面；(2)解：由(1)得面，面，，是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值为．

方法二：以为原点，建立直角坐标系如图：则，，，设平面、平面的法向量分别为，，可以是可以是，二面角的余弦值为．18．设函数，为常数.(1)若为偶函数，求的值；(2)设，，为减函数，求实数的取值范围.解：(1)因为为偶函数，且，所以即，即所以对一切成立，所以(2)因为，且所以，任取，因为，所以且又在区间上为减函数，所以即，所以又，所以.19．在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号12345考前预估难度测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．解：(1)因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，所以估计240人中有人实测答对第5题．(2)的可能取值是0,1,2，；；．的分布列为：012．(3)将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．定义统计量，其中为第题的预估难度.并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．.因为，所以该次测试的难度预估是合理的．20．贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物