3.1.1　函数的概念(一)

3.1.1函数的概念(一)第三章§3.1函数的概念及其表示1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言

和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.学习目标请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟)，大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现：函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的.也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西，它只是一个名称，它就在我们身边，比如路程随时间的变化而变化；一天中温度随时间的变化而变化；天宫二号在发射过程中，上升的高度随时间的变化而变化，可以说这种变量关系无处不在，而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美.导语随堂演练课时对点练一、函数的概念二、函数的三要素三、构建问题情境内容索引一、函数的概念问题1

阅读课本P60上的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？提示它们有相同的解析式，也就是对应关系.它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同.问题2请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别.提示是函数.由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象.问题3

通过对4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？提示不同点：问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系.共同点：①都有两个非空的实数集，分别用A，B来表示；②两个实数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.知识梳理函数的概念概念一般地，设A，B是非空的

，如果对于集合A中的

，按照某种

的对应关系f，在集合B中都有

的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域

的取值范围值域与x的值相对应的

的值的集合{f(x)|x∈A}实数集任意一个数x确定唯一确定xy注意点：(1)A，B是非空的实数集；(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集；(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数.例1

(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值√√解析按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义.(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是A.0 B.1 C.2 D.3√解析①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是.反思感悟(1)判断一个对应关系是否为函数的方法(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.跟踪训练1

已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是A.y＝x2

B.y＝x＋1C.y＝x－1 D.y＝|x|.√解析只有y＝|x|是符合题意的对应关系.二、函数的三要素问题4

初中我们学习过哪些函数？提示一次函数、二次函数和反比例函数.问题5

你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？提示一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是

；当a<0时，它的值域是

，对应关系实际上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；反比例函数f(x)＝

(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝

(k≠0).例2

(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为________________________，值域为______________.解析根据y＝f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}.{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}{y|－4≤y≤3}(2)若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，则函数的值域为________.{0,1}解析由x∈{－1,0,1}，代入f(x)＝x2，解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根据集合的互异性，函数的值域为{0,1}.反思感悟关于函数的三要素(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围.(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围.(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y.跟踪训练2

函数y＝f(x)＝

的值域是A.R

B.{y|－1≤y≤1}C.{－1,1} D.{－1,0,1}√三、构建问题情境例3

已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.解设矩形的长为x，周长为f(x)，反思感悟构建问题情境的步骤(1)综合考虑构建具体的实际问题.(2)赋予每个变量具体的实际意义.(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题.解某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍，其中x的取值范围A＝{x|x≥0}，y的取值范围B＝{y|y≥0}，1.知识清单：(1)函数的概念；(2)函数的三要素；(3)构建问题情境.2.方法归纳：定义法、图象法.3.常见误区：函数概念的理解.课堂小结随堂演练1.对于函数f：A→B，若a∈A，b∈A，则下列说法错误的是A.f(a)∈B

B.f(a)有且只有一个C.若f(a)＝f(b)，则a＝b

D.若a＝b，则f(a)＝f(b)1234√12342.下列对应或关系式中是A到B的函数的是A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：√1234B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.12343.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2021的公共点有A.0个

B.1个C.0个或1个 D.以上答案都不对√12344.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为__________.{－2,0,4}课时对点练基础巩固1234567891011121314151.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有①y是x的函数；②对于不同的x值，y值也不同；③函数是一种对应，是多对一或一对一，不是一对多.A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③16√123456789101112131415解析由函数的定义知，y是x的函数，故①正确；对于不同的x值，y值可以相同，例如y＝|x|，当x＝1，－1时，y值均是1，故②错误；由函数的定义知，函数是一种对应，是多对一或一对一，不是一对多，故③正确.所以对于函数y＝f(x)，说法正确的有①③.162.下列图形中不是函数图象的是12345678910111213141516解析

A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义.√123456789101112131415163.(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是解析根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确.√√√123456789101112131415164.德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式、图象、表格还是其他形式，已知函数f(x)由表格给出，则

的值为xx≤11<x<2x≥2f(x)123A.0 B.1 C.2 D.3√1234567891011121314155.设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是A.{1} B.{－1} C.{－1,1} D.{－1,0}16解析若集合A＝{－1,0}，则0∈A，但02∉B.√123456789101112131415166.(多选)下列四种说法中，正确的有A.函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素√√√解析由函数定义知，A，C，D正确，B不正确.123456789101112131415167.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么

的值等于__.2123456789101112131415168.如图，表示函数关系的是________.(填序号)①②④解析由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数.123456789101112131415169.根据图中的函数图象，求出函数的定义域和值域.解图(1)，定义域为{x|0≤x<3}，值域为{y|0≤y≤1或y＝2}；12345678910111213141516解图(2)，定义域为{x|x≥－2}，值域为{y|y≥0}；12345678910111213141516解图(3)，定义域为R，值域为{y|－1≤y≤1}.1234567891011121314151610.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝

x∈{x|x>0})来描述.解直角三角形的面积为5，设一条直角边长为x，其中，x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}.对应关系f把每一个直角三角形的一条直角边长x，123456789101112131415综合运用1611.已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为A.5 B.4 C.3 D.2√解析根据对应关系为y＝3x＋1,3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，由题意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，所以k＝3.1234567891011121314151612.若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x2，x∈{－1,0,1,2}为同族函数的有A.5个

B.6个

C.7个

D.8个√解析由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0,1,4}，定义域中0是肯定有的，正、负1至少含有一个，正、负2至少含有一个，它的定义域可以是{0,1,2}，{0,1，－2}，{0，－1,2}，{0，－1，－2}，{0,1，－2,2}，{0，－1，－2,2}，{0,1，－1，－2}，{0,1，－1,2，－2}，共有8种不同的情况.13.下列构建的问题情境中的变量关系不可以用同一个解析式来描述的是A.某商品的售价为2(单位：元/件)，销量为x(单位：件)，销售额为y(单位：元)，那么y＝2x.

其中，x的取值范围是A＝N，y的取值范围是B＝

.对应关系f把商品的每一个销量

x，对应到唯一确定的销售额2xB.把y＝2x(x∈N)看成是一次函数，那么它的定义域是N，值域是B＝

.对应关系f把

定义域中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数2xC.某物体做匀速运动，速度为2(单位：米/秒)，运动时间为x(单位：秒)，路程为y(单位：米)，

那么y＝2x.其中，x的取值范围是A＝{x|x≥0}，y的取值范围是B＝{y|y≥0}.对应关系f把物

体的每个时间x，对应到唯一确定的路程2xD.某品牌汽车的装货量为2(单位：吨/台)，汽车数量为t(单位：台)，运载量为z(单位：吨)，

那么z＝2t，其中，t的取值范围是A＝N，z的取值范围是B＝

.对应关系f把每一个

汽车数量t，对应到唯一确定的运载量2t12345678910111213141516√1234567891011121314