25届（新教材QG版）数学新考案基础课47双曲线

基础课47双曲线考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养双曲线的定义和标准方程了解2023年新高考Ⅱ卷T2023年天津卷T2023年北京卷T★★★逻辑推理数学运算直观想象双曲线的几何性质了解2023年新高考Ⅰ卷T2023年全国甲卷（文）T2023年全国乙卷（理）T★★★逻辑推理数学运算直观想象命题分析预测从近几年高考的情况来看，双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，试题难度中等偏上，预计2025年命题热点在综合小题和解答题，复习要做到全面高效一、双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫作①双曲线集合P={MMF1−MF2|=2a1.若④2a<F12.若⑤2a=F13.若⑥2a>F1二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程xy图形性质范围x∈−∞,−y∈−∞,−对称性对称轴：⑦x轴,y轴；对称中心：⑧原点顶点A1−A10性质渐近线⑨y⑩y离心率e=⑪caa,b,c的关系c2=实、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长A线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长B(a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长1.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.2.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b3.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则PF4.等轴双曲线的渐近线互相垂直且离心率e=5.焦半径公式：若Px0,y0是双曲线x2a2−y2题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）平面内到点F10,−4,（2）平面内到点F10,−4,（3）方程x2m−y2（4）若方程x2k+1−y22.（易错题）已知方程x22+m−【易错点】本题需要根据焦点的位置进行分类讨论，这是容易忽视致错的地方.[解析]①当焦点在x轴上时，2+m>01+m>0解得m>−1题组2走进教材3.（人教A版选修①P121·练习T1改编）已知双曲线的焦点分别为F10,−6,F2[解析]设双曲线的方程为y2a2−x2b4.（苏教版选修①P99·T8改编）若双曲线x2a2−y[解析]由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±bax，点3,−4在渐近线上，故题组3走向高考5.[2023·北京卷]已知双曲线C的焦点为−2,0和2,0，离心率为2[解析]令双曲线C的实半轴长、虚半轴长分别为a,b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c=2，由双曲线C的离心率为2，得ca=2，解得a=2考点一双曲线的定义及应用［自主练透］1.已知圆C1：x+32+y2=1和圆C[解析]如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A,根据两圆外切的条件,得MC1−∵MA∴M即MC∴点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大,与C1的距离小）,其中a=1,故圆心M的轨迹方程为x22.已知F1,F2分别为双曲线C：x2−y2=2的左、右焦点,点[解析]不妨设点P在双曲线的右支上,则PF1−PF∴P∴S3.[2024·北京校考]已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点,P是C左支上一点.A0,A.297 B.10 C.86 [解析]设双曲线左焦点的坐标为F1−3,0，根据双曲线的定义可知AP+PF=AP+PF1+2a，所以当AP+PF1的值最小时，AP+PF所以y=26×−2+3=26，故P−2,26，则故选A.双曲线定义应用的三种类型及解题策略求方程通过对题设条件分析、转化，明确动点满足双曲线的定义，便可直接求解其轨迹方程焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义、正弦定理或余弦定理，结合PF1−求最值利用PF【注意】1.不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；2.“常数”小于F13.确定焦点所在的坐标轴位置，否则容易漏解或错解.考点二双曲线的标准方程［师生共研］典例1求分别满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是F1−5,0（2）虚轴长为12，离心率为54（3）以椭圆x28+（4）与双曲线x2−2[解析]（1）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，根据双曲线的定义得，a=3,c=5,则（2）设双曲线的标准方程为x2a2由题知2b=12，ca=54,由c2所以双曲线的标准方程为x264−（3）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c=设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1a>0（4）设与双曲线x22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程为x22求双曲线的标准方程的方法1.定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.待定系数法：先确定焦点在x轴上还是在y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,那么可将双曲线方程设为Ax2+By2=1.已知A0,7,B0,−7,C12,2,以C[解析]因为A0,7,B所以AC=122+7因为A,B都在椭圆上，所以AF+AC=故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支，又2c=AB=14,2a=AF−BF=2，即2.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b[解析]由双曲线性质可知，P2,P3关于原点对称，所以P2,P3一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限的图象且P13,1，P22,3，3>2所以双曲线C的方程为x2考点三双曲线的简单几何性质［多维探究］渐近线典例2（1）已知双曲线x2a2−yA.x±2y=0 B.x±2[解析]由e=ca=1+ba2（2）[2024·山东模拟]已知双曲线C：y2a2−xA.y=±2x B.y=±5x [解析]由已知得，双曲线的焦点在y轴上，双曲线的焦距2c=45,解得c=25,双曲线的实轴长2a=4,解得涉及双曲线渐近线的常用结论1.求双曲线x2a2−y2b2.已知渐近线方程为y=±ba【注意】两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.求离心率的值（范围）典例3（1）[2024·黑龙江质检]若双曲线x2a2−yA.[10,+∞) B.1,10 C.[解析]由题意知，双曲线的渐近线方程为y=±bax，要使直线3x+y=故选C.（2）[2023·新高考Ⅰ卷]已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F[解析]依题意，设AF2=2m，则在Rt△ABF1中，9m2+2a所以AF1=4a,AF故cos∠F所以在△AF1F2中，cos∠求双曲线离心率（或其范围）的两种常用方法与双曲线有关的最值、范围问题典例4（1）已知O为坐标原点,直线x=a与双曲线C：x2a2−y2bA.4 B.8 C.16 D.32[解析]由题意知，双曲线的渐近线方程为y=±bax,∵直线x=a与双曲线C的两条渐近线分别交于D,联立x=a故Da联立x=a故Ea∴ED=2b∵双曲线C：∴其焦距为2c=当且仅当a=b=22（2）[2024·浙江质检]已知双曲线x24−y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,A.18,42 C.30−65[解析]如图，不妨取第一象限的点P，设△PF1F2的内切圆分别与直线PF1,F1F2,PF又F1F2=K所以K2,0,设∠因为kP所以tan2α解得0<tanQK为内切圆的半径，不妨设r=在Rt△QF1F1当QM与F1F2的方向相同时，QM⋅F1F2=6r，当与双曲线有关的最值、范围问题1.点在双曲线上,求相关式子（目标函数）的取值范围,常转化为函数的最值问题解决；2.求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和基本不等式求最值的方法,在使用基本不等式求最值时,要检验等号是否成立.1.[2024·遵义模拟]过双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点FA.2x±y=0 B.3x±[解析]如图所示，设直线OM，ON为双曲线的渐近线，F′由题意可知FM⊥OM，因为MN+MF=故△OFN为等腰三角形，即∠FOM=∠MON=∠F′ON，故2.[2024·无锡模拟]已知点P在双曲线C：x2a2−y2b2=1aA.2 B.3 C.2 D.5[解析]双曲线C：x2a2如图，设双曲线上的点Px0,y0，则x02a2−y02b2=1，即b2x02−a2y02=a2b3.已知在数列{an}中，an>1n∈N∗，点A.[12,+∞) B.(12,+∞) C.[2[解析]由题意可得，双曲线2y2−因为点an,an+由an>1可知{an2}为递减数列，且可得an+1−an<0，且an+2由双曲线的性质以及{an}为递减数列可知，{kn}为递减数列，即kn≤k1，且随着a1增大，直线A1A椭圆、双曲线的第三定义椭圆、双曲线的第三定义：平面内到两定点A1−a,0，A2a当常数e2−11.以焦点在x轴上的椭圆和双曲线为例，由第三定义易得如下结论：【结论1】若过原点的直线交椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0于A【结论2】若过原点的直线交双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>02.以焦点在x轴上的椭圆和双曲线为例，由第三定义易得有关中点弦的如下推论：【推论1】若AB为椭圆C：x2a2+y2b2=【推论2】若AB为双曲线C：x2a2−y2b2=典例已知过原点的直线交椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0于A[解析]设Px1,y1,Ax2因为点A,P在椭圆上，所以x两式作差得x1即y1所以kPA变式设问若将典例中的条件“过原点的直线交椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0于A,B两点，P是椭圆C上异于A,B两点的任意一点”改为“不过原点的直线交椭圆C[解析]设Ax1,y1,Bx2,y因为点A,B在椭圆上，所以x两式作差得x1即y1所以kOP深度训练1已知A，B，P为双曲线x2−y24=1上不同的三点，且满足PA+PB=2PO（O为坐标原点），直线[解析]由PA+PB=