自测（1）《第10章空间直线与平面》章节测试（60分钟）

【解析版】自测（1）《第10章空间直线与平面》章节测试（60分钟）一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、已知a，b为两条不同的直线，α为一平面，且a∥α，b⊂α，则直线a与b的位置关系是__________________【答案】平行或异面；【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，∵b⊂α，∴a、b没有公共点，∴a、b平行或异面.2、如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是【答案】2eq\r(2)；【解析】∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，∠A′O′B′＝45°，∴Rt△O′A′B′的直角边长是eq\r(2)，∴Rt△O′A′B′的面积是eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴原平面图形的面积是1×2eq\r(2)＝2eq\r(2).3、对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是____________【答案】矩形【解析】如图所示.∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，∴MN∥AC且MN＝eq\f(1,2)AC，PQ∥AC且PQ＝eq\f(1,2)AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形.又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形.4、如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．【答案】45°；【解析】过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD.则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.答案：45°5、如图所示，在矩形ABCD中，AD＝2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使得点A′在平面EBCD上的射影在CD上，且直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，则线段AE的长为________.【答案】eq\f(4\r(3),3)【解析】如图所示，过A′作A′H⊥CD于H，连接EH，由题意，得A′H⊥平面EBCD.因为直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，所以∠A′DH＝30°.又因为A′D＝2，所以A′H＝1，DH＝eq\r(3)，设A′E＝x，则EH＝eq\r(x2－1).在四边形DAEH中，可得AD2＋(AE－DH)2＝EH2，所以22＋(x－eq\r(3))2＝x2－1，所以x＝eq\f(4\r(3),3).6、已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的个数是________.①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB；③l⊄α，A∈l⇒A∉α；④A∈l，l⊂α⇒A∈α.【答案】3【解析】利用三个基本事实知①②④正确，若l∩α＝A，显然有l⊄α，但是A∈α，③错误7、空间四边形ABCD(每条边长、对角线长都相等)，已知E是棱BC的中点，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为【答案】eq\f(\r(3),6)；【解析】如图所示，取CD的中点F，连接EF，AF，则EF∥BD.于是∠AEF即为异面直线AE与BD所成的角．设正四面体的棱长为1，则AE＝AF＝eq\f(\r(3),2)，EF＝eq\f(1,2).在△AEF中，cos∠AEF＝eq\f(EF2＋EA2－AF2,2EF·EA)＝eq\f(\r(3),6).即AE与BD所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6).8、下列三个说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线a在平面α外，bα，则a∥α；③若a∥b，bα，则a与α内任意直线平行．其中正确的有________．【答案】②；【解析】直线a在平面α外，包含直线a与α相交、直线a与α平行两种情况，①不正确；由直线和平面平行的判定定理知②正确；③中a与α内的直线可能平行，相交、异面，③不正确．9、平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CD＝34，则CP＝____________________【答案】16或272；【解析】当AB与CD交点P位于α，β之间时，如图．由题意知：AC∥BD，eq\f(AP,BP)＝eq\f(CP,PD)＝eq\f(8,9).又CP＋PD＝CD＝34，∴CP＝16.当交点位于BA延长线上时，AC∥BD.∴eq\f(AP,BP)＝eq\f(CP,DP)＝eq\f(8,9)，eq\f(CP,CP＋34)＝eq\f(8,9)，CP＝272.答案：16或27210、已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是________．【答案】10；【解析】△ABC中，由三角形中位线性质得EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AC，△ADC中，HGeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AC，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))HG，四边形EFGH为平行四边形．∴EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.答案：10二、选择题（共4小题每小题4分，满分16分）11、已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合【答案】C【解析】∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)；由公理3实可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误；12、如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有()A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】过点P分别作BD，AB的平行线，这两条直线都符合题意；13、平面α与平面β平行的条件可以是()A．α内有无数条直线都与β平行B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C．α内的任何直线都与β平行D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α【答案】C；【解析】对A，若α内的无数条直线都与β平行，平面α与平面β不一定平行，也可能相交，A错；对B，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，B错；对C，“α内的任何直线都与β平行”可等价转化为“α内的两条相交直线与β平行”，根据面面平行的判定定理，C正确；对D，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，D错.14、α和β是两个不重合的平面，下列条件中可判定α与β平行的是()A．l为直线，且l∥α，l∥βB．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【答案】D；【解析】A错，当α与β相交时，若l不在α内，也不在β内，但l与交线平行时，也有l∥α，l∥β；B错，若此三点位于平面β两侧时，α与β相交；C错，l与m相交时，α与β平行，不相交时，α与β不一定平行；D正确；答案：D；三、解答题（共4小题，满分44分）15、（本题8分）如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.【证明】方法1（纳入平面法）：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法2（辅助平面法）：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内；【说明】证明点、线共面常用方法：1、纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；2、辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；16、（本题10分）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.【解析】当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝eq\f(1,2)PB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA＝eq\f(1,2)PB，∴PF∥MA且PF＝MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.17、（本题满分12分）如图所示，在空间四边形ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点.求证：（1）直线EF∥平面ACD；（2）平面EFC⊥平面BCD.【证明】（1）∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD.∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又∵EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD；18、（本题满分14分）如图，点P在四边形ABCD所在平面外，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2；（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝eq\r(AD2＋PD2)＝eq\r(5)，故cos∠DAP＝eq\f(AD,AP)＝eq\f(\r(5),5).∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).（2）证明∵AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD.又∵BC∥AD，∴PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴PD⊥平面PBC.（3）解过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面