第13讲曲线与方程

第13讲曲线与方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.2．会求简单曲线的方程.知识点1曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程（适合某种条件的点的轨迹方程），这条曲线叫做方程的曲线.提醒：有些函数的解析式可以看成一种特殊的方程，不过，曲线的方程不一定时函数.知识点2求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质1.求动点M轨迹方程的一般步骤：（1）设动点M的坐标为（x,y）；（2）写出M要满足的几何条件，并将改几何条件用M的坐标表示出来；（3）化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.提醒：（1）求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上；求曲线的方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．（2）判断点P是否在曲线C上，只需将点P的坐标代入C的方程，若成立，则P在C上，否则P不在C上．拓广：已知点P在已知曲线上，动点M随P的变化而变化，形成轨迹，把P称作主动点，点M称作被动点.求动点M轨迹方程的“相关点法（代入法）”步骤：（1）设点：M的坐标为，点P的坐标为（x0,y0）；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用x,y表示x0,y0；（3）代入（换）：将x0,y0代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程.2.根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，一般要注意两类性质：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如圆的半径、图形的对称性等；一类是与坐标系有关的性质，如圆的圆心、图形的范围等．考点一：曲线与方程的概念例1.（2223高三·全国·课后作业）已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（

）.A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据充分性和必要性的定义，以及曲线与方程的关系，进行判断即可.【详解】当点在曲线上时，有，所以由点在曲线上，可以推出点在曲线上；当点在曲线上时，有，所以由点在曲线上推不出点在曲线上，所以“点在曲线上“是”点在曲线上“的充分非必要条件.故选：A【变式11】（2324高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（

）A．曲线C上的点的坐标都适合方程B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程【答案】B【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可.【详解】由于“坐标满足方程的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”互为逆否命题，所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”是正确的，故B对，D错；对于点集而言，不满足，但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合），故A、C错误.故选：B.【变式12】（2122高二·全国·课后作业）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，下列命题正确的是（

）A．曲线C上的点的坐标都满足方程B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程C．坐标不满足方程的点都不在曲线C上D．曲线C是坐标满足方程的点的轨迹【答案】B【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.【详解】对于A，若坐标满足方程的点都在曲线C上，则方程的曲线可能只是曲线C的一部分，此时曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程，故A选项中的命题错误.对于B，命题"不在曲线C上的点的坐标都不满足程“与已知条件中的命题互为逆否命题.因为互为逆否命题的两个命题真假相同，所以B选项中的命题正确.对于C，由A选项的分析过程得，曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程，但这些点在曲线C上，故C选项中的命题错误.对于D，由A选项的分析过程可知，D选项中的命题错误.故选：B.【变式13】（2021高二上·上海徐汇·期中）如果曲线上的任意一点的坐标都是方程的解，那么下列命题正确的是（

）A．曲线的方程是 B．曲线上的点都在方程的曲线上C．方程的曲线是 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上【答案】B【分析】由曲线方程的定义，结合集合的包含关系进行逻辑判断即可.【详解】设所有在曲线上的点构成集合，所有以方程的解为坐标的点构成集合，则原题等价于.A选项等价于，不正确；B选项等价于，正确；C选项等价于，不正确；D选项等价于，不正确.故选：B.考点二：点与曲线的位置关系例2.（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知点在曲线上，则在点，，，中，也在该曲线上的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由点在曲线上，即，将其它点坐标代入曲线方程，同样能使方程成立，即可知都在曲线上，进而确定正确选项.【详解】由在该曲线上，知：，∴，故，，，都在曲线上.故选：D.【变式21】（2122高二·全国·课后作业）若曲线C的方程为，则下列各点中，在曲线C上的点是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】利用点与曲线的关系即可求解.【详解】对于A，将代入方程，所以点在曲线上，故A正确；对于B，将代入方程，所以点不在曲线上，故B不正确；对于C，将代入方程，所以点不在曲线上，故C不正确；对于D，将代入方程，所以点不在曲线上，故D不正确；故选：A.【变式22】（2016高二·全国·课后作业）方程表示的图形经过点，，，中的（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】本题先根据，排除，两点，再将，两点代入满足方程，即可判断选项.【详解】由方程，可知，两点不符合题意；对于点，，则有；对于点，．故选：C．【变式23】（2021高二·全国·课后作业）设曲线和的交点为P，那么曲线必定（）A．经过P点 B．经过原点C．不一定经过P点 D．经过P点和原点【答案】A【分析】根据交点的性质，运用代入法进行判断即可.【详解】设曲线和的交点为P的坐标为，因此有且，因此，所以曲线必定经过P点，故选：A考点三：根据点与曲线的关系求参数例3.（2122高二·全国·课后作业）若点在方程的曲线上，则．【答案】2或【分析】将点代入方程，从而解出答案.【详解】将点代入方程得解得：或故答案为：2或.【变式31】（2021高二上·北京·期中）已知曲线x2+my﹣3＝0过点（1，1），则m＝．【答案】2【分析】把点的坐标代入曲线方程，求解m即可．【详解】曲线x2+my﹣3＝0过点（1，1），可得1+m﹣3＝0，可得m＝2．故答案为：2．【变式32】（1920高二·全国·课后作业）点在曲线上,则a=.【答案】【解析】将点坐标代入曲线方程直接计算可得结果.【详解】将点P的坐标代入方程中可得故答案为：【变式33】（1920高二·全国·课后作业）已知点A(a，2)既是曲线上的点，也是直线上的点，则m=.【答案】【解析】由于点A(a，2)既是曲线上的点，也是直线上的点，所以从而可求出的值【详解】解：由点A既在曲线上，也在直线上，则故答案为：考点四：由方程研究曲线的图形例4.（2324高二上·上海·课后作业）画出下列方程相应的曲线图形．(1)；(2)．【答案】(1)图形见解析(2)图形见解析【分析】（1）（2）首先将方程变形，即可得到方程表示的为两条直线，从而画出图形.【详解】（1）因为，则，所以或，即方程表示两条直线和，图形如下所示：

（2）因为，所以，所以或即方程表示两条直线和，图形如下所示：

【变式41】（2122高二上·贵州遵义·期末）设方程表示的曲线是（

）A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线C．一个圆 D．一条直线【答案】D【分析】先化简题给方程，即可得到其表示的曲线为一条直线.【详解】由，可得，则由，可得，则方程表示的曲线是一条直线.故选：D【变式42】（2014高三·全国·专题练习）方程表示的曲线是（）A．—个圆 B．两个圆C．一个半圆 D．两个半圆【答案】D【分析】方程可化为，去绝对值分，两种情况解决即可.【详解】方程可化为，因为，所以或，若时，则方程为；若时，则方程为，故选：D【变式43】（2324高二上·广东深圳·阶段练习）关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（

）A．①②⑥ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑥【答案】B【分析】将、和代入曲线方程可确定①②③的正误；根据的范围，结合当时，可确定曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，知④⑤⑥正误.【详解】对于①，将代入曲线方程得：，曲线关于点对称，①正确；对于②，将代入曲线方程得：，曲线关于直线轴对称，②正确；对于③，将代入曲线方程得：，与曲线方程不同，曲线不关于直线对称，③错误；对于④⑤⑥，由知：，，则曲线为封闭图形；在曲线上取一点，当时，，，即点在圆外，曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，⑤正确，④⑥错误.故选：B.考点五：求轨迹方程例5.（2324高二上·河南郑州·阶段练习）（1）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．（2）如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据条件，建立方程，化简即可求出结果；（2）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，，再利用点在圆上，根据相关点代入法即可求得的轨迹方程.【详解】（1）设d是点M到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合，则，将上式两边平方，并化简，得，即，所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．（2）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，，因为点在圆上，所以，把，代入上述方程，得，即所求轨迹方程为.【变式51】（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足的点P的轨迹方程．【答案】(1)圆心坐标为，圆C的半径为1．(2)【分析】（1）将圆的一般方程配成标准方程，即可求解圆心，利用相切即可求解半径，（2）根据两点间的距离公式即可列等式，化简即可求解.【详解】（1）圆C的标准方程为，所以圆C的圆心坐标为．又圆C与y轴相切，所以，即，故圆C的半径为1．（2）设，则，．由于，则，整理得点P的轨迹方程为：．经检验，上的点都符合条件．【变式52】（2023高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．【答案】【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，根据，得到，，利用代入法求解.【详解】解：设动点Q的坐标，点P坐标，则，因为，所以，，解得，，代入得，整理得，所以动点Q的轨迹方程为．【变式53】（2324高二上·陕西宝鸡·期末）如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程.【答案】【分析】求解直线OA的方程，设出F的坐标，转化求解C的坐标，由向量共线，求解即可．【详解】OA的方程为：，设，所以，可得，F在线段OC上，所以，,得，整理得F的轨迹方程为：.考点六：由方程研究曲线的性质例6.（2324高二上·上海宝山·阶段练习）已知曲线的方程为，下列说法中正确的序号是.①无论取何值，曲线都关于原点中心对称；②无论取何值，曲线关于直线和对称；③存在唯一的实数使得曲线表示两条直线；④当时，曲线上任意两点间距离的最大值为.【答案】①②④【分析】①将曲线上任意一点关于原点的对称点坐标代入，看是否满足方程即可；②将曲线上任意一点关于直线的对称点坐标代入，看是否满足方程即可；③由联想完全平方与平方差公式，可得情况，将二次式变形为两个一次因式的乘积为的形式，验证可知；④当时，结合曲线对称性分类研究曲线上任意一点到原点的距离范围，再转化为两点间距离的最大值即可.【详解】①设曲线上任意一点，则成立.由，得点关于原点的对称点也在曲线上.故无论取何值，曲线都关于原点中心对称，①正确；②设曲线上任意一点，则成立.由，得点关于的对称点也在曲线上.又，即点关于的对称点也在曲线上.故无论取何值，曲线关于直线和对称，②正确；③当时，曲线方程为，方程可变形为，即曲线表示两条直线，或；当时，曲线方程为，方程可变形为，即曲线表示两条直线，或，故使得曲线表示两条直线的实数不唯一，故③不正确；④当时，，设曲线上任意一点，当时，则，即，当时，则，即，即，由①所得曲线关于原点对称性可知，当时，；当时，.综上，对于曲线上任意一点，都有，即曲线上任意两点间距离小于或等于圆的直径，又存在两点两点都在曲线上，且，故曲线上任意两点间距离最大值为，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】结论点睛：从方程数的形式研究曲线的对称性，关键在于设出曲线上任意一点，求解其对称点，将坐标代入验证方程是否仍然成立.常用两点的对称关系有：（1）和关于轴对称；（2）和关于轴对称；（3）和关于原点对称；（4）和关于直线对称；（5）和关于直线对称.【变式61】（2324高二上·河南焦作·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是（

）A．曲线关于轴对称 B．曲线关于轴对称C．曲线关于坐标原点对称 D．曲线经过坐标原点【答案】A【分析】由点到直线的距离公式再结合题意可得.【详解】设动点，曲线是平面内到两定点，距离之比等于常数，所以，显然也满足方程，故曲线关于轴对称，不关于轴、原点对称，且不过原点.故选：A.【变式62】（多选）（2324高二上·江苏南通·期末）已知曲线，则（

）A．关于原点对称 B．关于轴对称C．关于直线对称 D．为的一个顶点【答案】ACD【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可.【详解】A:用和替换方程中的和，化简后方程不变，故曲线E关于原点对称，故A正确；B：用替换方程中的y，方程变为，与原方程不同，故E不关于轴对称，故B错误；C：用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程不变，故E关于直线对称，故C正确；D：用替换y，同时用替换x，方程不变，故E关于直线对称，联立，解得或,由顶点的定义知，是E的一个顶点，故D正确.故选：ACD.【变式63】（2324高二上·北京西城·阶段练习）曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则的最小值是；其中，所有正确结论的序号是.【答案】①②④．【分析】将所求点用直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，然后根据方程研究性质即可求解①②③，利用消元法，然后利用函数的单调性求最值即可判断④．【详解】设动点的坐标为，曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，，当时，，曲线过坐标原点，故①正确；将中的用代入该等式不变，曲线关于轴对称，故②正确；令时，，故曲线与轴只有1个交点，故③不正确；，，解得，若点在曲线上，则，故④正确．故答案为：①②④．考点七：两曲线的交点问题例7.（2223高二·全国·课堂例题）已知曲线的方程是，曲线的方程是，判断与是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由．【答案】与有三个交点，交点坐标为、、【分析】联立两曲线的方程，求出方程组的公共解，即可得出结论.【详解】解：联立两个方程得方程组，解方程组可得或或，因此与有三个交点，且交点坐标为、、.【变式71】（2021高二·全国·课后作业）曲线与曲线的交点个数是．【答案】【分析】联立方程，方程组解的个数即为交点个数．【详解】由可得，，所以或，所以交点个数是．故答案为：．【变式72】（1718高二下·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的值为.【答案】2【分析】曲线为以原点为圆心，2为半径的半圆轴及上侧，从而根据曲线与直线有且只有一个公共点，可求实数m的值．【详解】曲线为以原点为圆心，2为半径的半圆轴及上侧，与直线L：轴有且只有一个公共点，如图：由图象可知，，故答案为：2．【变式73】（2122高二·全国·课后作业）判断直线与曲线是否相交，如果相交，求出交点的坐标．【答案】相交，交点坐标为：和.【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可.【详解】将直线方程与曲线方程联立得：，解得，或，当时，；当时，，因此直线与曲线相交，交点坐标为：和.1．（2021高二上·吉林辽源·阶段练习）已知曲线C的方程为x2＋2x＋y－1＝0，则下列各点中，在曲线C上的点是（

）A．(0，1) B．(－1，3)C．(1，1) D．(－1，1)【答案】A【分析】将点的坐标依次代入曲线方程中验证即可【详解】解：对于A，当时，，所以此点(0，1)在曲线上；对于B，当时，，所以点(－1，3)不在曲线上；对于C，当时，，所以点(1，1)不在曲线上；对于D，当时，，所以点(－1，1)不在曲线上，故选：A2．（2223高二下·四川达州·期中）方程表示的曲线是（

）A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆【答案】A【分析】方程可化为，根据圆的概念即可得到对应曲线.【详解】由方程，两边平方得，即，所以方程表示的轨迹为一个圆，故选：A.3．（2324高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解.【详解】，设为线段中点，，设，则，即．则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；故线段中点的轨迹所围成图形的面积为.故选：D4．（2324高二上·北京·阶段练习）数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线：，（如图所示），给出下列三个结论①曲线关于直线对称；②曲线上任意一点到原点的距离都小于；③曲线围成的图形的面积是.其中，正确结论的序号是（

）A．① B．①② C．①③ D．②③【答案】C【分析】根据点的对称性可判断①，由曲线方程知曲线关于原点，，轴对称，当，时，可得，可得，所以可得曲线为为圆心，为半径的半圆，由此可做出曲线的图像，从而通过运算可判断命题②③的真假．【详解】设点在曲线上，则，关于直线对称的点，将代入曲线中得，因此在曲线上，故①正确，曲线可知曲线关于原点，，轴对称，当，时，可得，可得，所以可得曲线为为圆心，为半径的半圆，曲线上任意点到原点的距离的最大值为，曲线上任意一点到原点的距离都小于或等于，故命题②错误；根据对称性可知曲线围成的图形的面积为4个半圆的面积加上边长为的正方形的面积，即，故命题③正确；故选：C5.（2324高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为.【答案】【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案.【详解】设，则，即，整理得：.∵三点构成三角形