人教版八年级数学同步学案：第19章 一次函数

19.1函数

19.1.1变量与函数

「引入课」一次函数的引入

视频助学学习视频【一次函数的引入】

「概念课」变量与函数

学习目标

□理解函数的概念

□了解变量与常量以及自变量的意义

视频助学请先思考引导问题，再看视频【变量与函数】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是变量？什么是常量？（00:00-08:38）

1.变量：在一个变化过程中，数值（发生/不发生）变化的量.

常量：在变化过程中，的量.

2.在本节视频中

（1）卖的大叔说：自从下了地，从小长成大，的个头大小、重量都（发生/

不发生）变化，所以它们都属于（变量/常量）；

（2）开出租的师傅说：在路上行驶的距离和计价器显示的车费都是（变化/

不变化）的，所以它们都属于（变量/常量）；而出租车的起步价是13

元，超过3公里之后每公里收费2.3元，上面这些量都是（变化/不变

化）的，所以它们都属于（变量/常量）.

（3）数学“贾教授”说：圆的面积公式是S=〃/，在这个公式中，、

属于变量，因为它们（会发生/不会发生）变化；属

于常量，因为它（会发生/不会发生）变化.

引导问题2什么是函数？什么是自变量？（08:38-18:20）

3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，有两个（变量/常量）X、y,如果

X每取一个值，y都有的值与它对应，那么无就是,y就是X的

自变量的意义：一个变化过程里的两个变量，（先/后）发生变化的变量就是

自变量.自变量常用X来表示.

举例：生长过程中，的重量和生长时间的关系如下表所示.

生长时间一周两周三周叫周

重量100克200克300克350克

在这个例子中，（生长时间/重量）是自变量.

4.在函数关系中，一个x值可以对应________个y值，而一个y值可以对应_________个比

值.

A.1B.2C.3D.无数E.以上选项都对

5.下列关系式中，y是关于x的函数的是（）？

9-20—2

A.y=x"B.C.x=y

请你说明原因：

6.函数可以看成两个变量间的,所以函数（是/不是）个数

7.在圆的面积公式里S=,S和r分别是什么？（）

A.S是自变量，r是函数B.尸是自变量，S是函数

引导问题3什么是函数的值？（18:20-19:32）

8.函数值的定义：如果％时y=〃，那么就叫做当自变量的值为。时的函数

值.

9.求当一个圆的半径r分别为2、4、6时，对应的面积S的函数值.

线上练习完成视频后相应的【专项练习

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」函数的解析式

学习目标

□知道解析式的格式

□能够根据两个变量间的关系，列出解析式

□能根据两个变量间的关系式，给定一个变量，相应地求出另一个变量的值

视频助学请先思考引导问题，再看视频【函数的解析式】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1函数解析式的格式是什么样的？(00:00-02:03)

1.写成3x-y+l=O格式的是(函数/方程).

写成y=x+3格式的是(函数/方程).

原因是：

引导问题2如何根据两个变量间的关系，列出解析式？(02:03-04:11)

2.李狗蛋有100元钱，羊肉串5元一串，串数x,剩下的零花钱y,写出y与无函数关系

的解析式.

分析：找等量关系：剩下的钱=总钱数一买串的钱

即：剩下的钱=总钱数-x

/.剩下的钱=100-5x

能够列出的解析式即：(0<x<20,x为整

数)

3.田豆包练长跑，已知他每小时匀速跑8切2,他跑出的距离y和跑步时间x的函数解析

式

是下面哪个()？

A.x=8y(y>0)B.y=8x(x20)C.j=—

8x

引导问题3如何根据函数解析式求变量的值？(04:11-06:00)

4.回到李狗蛋买羊肉串的问题，根据剩下的零花钱y和羊肉串的串数光的关系：

y=100-5x(0<x<20,x为整数)，请回答：

(1)如果狗蛋买5串羊肉串，还剩多少钱？

解：把代入y=100-5x,则旷==.

(2)如果狗蛋买了7串羊肉串呢？

解：把代入y=100-5x,则＞==.

买其他的串数，结果以此类推.

5.（1）如果李狗蛋买完羊肉串，最后只剩下10块钱了，那他买了（）串羊肉串？

A.19B.18C.17

分析：把代入y=100_5x,得,解得.

（2）如果李狗蛋买完羊肉串，最后还欠老板15块钱，那他买了多少串羊肉串？请你写

出分析过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」自变量取值范围的实际意义

学习目标

□能够根据函数关系中自变量的实际意义确定自变量的取值范围

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【自变量取值范围的实际意义】讲题.

1.狗蛋能够买“-5”串羊肉串吗？（能/不能）.

狗蛋能够只站在串摊边上看一看，买0串羊肉串吗？（能/不能）.

狗蛋只有100元钱，羊肉串5元一串，狗蛋最多能买串羊肉串.

狗蛋能够买2.3串羊肉串吗？（能/不能）.

综上，狗蛋买羊肉串的问题中，x的取值范围为",x为

2.如图，求y关于x的函数关系的解析式和自变量x的取值范围.

解：列出解析式：________________

x是边长可知：x>0

又根据三角形三边的不等关系：

①两边之和第三边

②两边之差________第三边

可知：'

综上，尤的取值范围是：

3.在面积为36的正方形内画圆，可以碰到正方形的边但不能越过，圆面积S是其半

径r的函数，则自变量厂的取值范围是.

检查梳理看视频【自变量取值范围的实际意义】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍

解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】.

「解题课」保证解析式有意义

学习目标

□保证三种常见函数解析式有意义，并由此确定自变量的取值范围

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【保证解析式有意义】讲题.

1.解析式中有分式，如必须满足：.

解析式中有三次根耳，如y=«,必须满足：.

解析式中有季次等，如y=x°,必须满足：.

X。

2.已知y=——没有意义，则x的值为？()

X—1

A.0B.1C.0和1D.所有负实数，0和1

3.函数y=/1一中自变量的取值范围是什么?

河

解：由题意可知：片0且2—凶20

综上可得：2-国0

解上面的不等式可得：,即为自变量x的取值范围.

4.函数5—+6中自变量的取值范围是什么?()

A.x>2B.2cx<3C.x>3D.任意实数

检查梳理看视频【保证解析式有意义】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过

程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

19.1.2函数的图象

「概念课」函数图象的概念

学习目标

□知道函数图象的概念

□能判断哪些曲线是函数图象或不是函数图象

视频助学请先思考引导问题，再看视频【函数图象的概念】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是函数的图象？(00:00-03:35)

1.函数的概念：对X的每一个确定的值，y都有的值与其对应.

2.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐

标，那么坐标平面内这些点组成的图形就是这个函数的图象.

例如：函数y=f,根据x的值得到其对应的函数值如下表:

X・・・-2-1012・・・

y•・・41014・・・

将每一个x和它对应的y值分别作为点的横、纵坐标：

(…，…)(-2,4)(-1,1)(0,0)(1,1)(2,4)(…，…)

那么坐标平面内所有的点组成的图形就是函数y=f的图形，如下图所示.

引导问题2如何判断一个曲线是不是函数图象？(03:35-05:59)

3.如图，下列图中的曲线不表示y是尤的函数图象的是()？

你能画图说明原因吗？

4.用你自己的话总结：

如何判断一个曲线是不是函数图象?

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」辨别函数图象

学习目标

□能根据变量之间的关系找出相应的函数图象

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【辨别函数图象】讲题.

1.一面冉冉上升的红旗（高度y与时间x的关系），可以用哪幅图象来近似表示？

（）

A.B.

2.一辆在爬坡但在匀速行驶的汽车（速度y与时间x的关系），可以用哪幅图象来表示?

3.下列三幅图象分别对应a、b、c,哪种情况？对应顺序正确的是.

。.狗蛋从A地到8地后，停留一段时间，然后按照相同速度原路返回（离A地的距离

y和时间x的关系）

b.一杯越来越凉的水（水温y和时间x的关系）

c.狗蛋扔出去的水杯（水杯的高度y和时间x的关系）

4.均匀注水,直至水满，水面高度），和时间X的变化规律如图所示，则这个容器的形状

为？

A.

B.

请你说明原因:

检查梳理看视频【辨别函数图象】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

「解题课」读图象找数字

学习目标

□能够从函数图象中找出需要的数字，并知道数字代表的意义

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【读图象找数字】讲题.

I.Linda发烧住院了，下图是Linda最近三天的体温图，你能帮助医生从图象中得到下列

问题的答案吗？

4月7日4月8日4月9日

(1)Linda在4月8日晚上18时的体温大概是度.

(2)这三天当中，Linda在________________体温最低，最低是度.

(3)这三天当中，Linda的体温在________段内一直在下降.

2.狗蛋去医院看望Linda,他出发之后离家的距离S和出发的时间「之间的关系如下图所

示，通过图象你能回答下列的问题吗？

(1)狗蛋等公共汽车对应图中的哪一段？()

A.OAB.ABC.BCD.CD

(2)图象中的CO段对应着狗蛋什么过程？

（3）公交车站离狗蛋家距离千米，医院离狗蛋家距离千米.

（4）求狗蛋坐汽车从医院回家，汽车的平均速度是多少千米每小时？

（5）观察图象中的0A和段，它们的倾斜程度一样吗？如果不一样，请你说明一

下

原因.

检查梳理看视频【读图象找数字】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】.

「解题课」读图象找信息

学习目标

□会通过观察、分析函数的图象，获取常见的有用的信息

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【读图象找信息】讲题.

1.一个函数图象如下图所示，通过观察、分析函数的图象，获取有用的信息并回答下面的

问题.

(1)特殊点:

0(0,4)

①最高点为,即当x=

£(1,2)K(7,2)

时，y有最.值为.F(2,0)

B(-5,0)W(6,0)

最低点为.,即当X=

G(4,-2)

值为

时，y有最.4(-6,-4)

②与y轴的交点为,即当x=.时，y值为

与x轴的交点有,个，分别为:

(2)升降趋势:

函数图象在哪些段内是一直上升的？（)

A.AC段和GK段B.段和尸K段

AC段：当.<x<,时,y随x的增大而.

GK段：当.<x<,时，y随x的增大而.

同理可知CG段：当<%<时，y随x的增大而

(3)自变量的取值范围:

本图象中的函数自变量的取值范围是:

检查梳理看视频【读图象找信息】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习）.

「概念课」描点作图法画图象

学习目标

□掌握画函数图象的方法一一描点法

视频助学请先思考引导问题，再看视频【描点作图法画图象】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1如何使用描点法作出一个函数的图象？(00:00-06:23)

1.正方形面积y与边长x的函数解析式为y=/(x>0),请用描点法画出函数的图

象：

①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.

X0.511.522.533.5

y

②描点：在直角坐标系中，以的值为横坐标，相对应的为纵坐标,

描出表格中数值对应的点.

③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所有描出的各点用连接起来.

2.自己试着画一画：y=x+2是什么形状？

①列表

X-i-0.500.511.522.5

y2

②描点

③连线

-y

6-

5-

4-

3-

2-

1-

1।।।।।1、X

-2-1(J12345

-1-

-2-

3.描点法的注意事项：

(1)列表和描点时不要放过去曜值，比如头尾

(2)要取尽可能多的点

(3)用平滑的曲线连接一一当然连出来可能是直线

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」函数的三种表示方法

学习目标

□了解函数的三种表示方法，会根据具体情况选择适当的方法

视频助学请先思考引导问题，再看视频【函数的三种表示方法】，然后完成引导问题下方的摘要填

空.

引导问题1函数有哪三种表示方法？(00:00-06:54)

1.函数有三种表示方法：、及.

2.一水箱中有水500L,现在往外放水，每分钟放水50L,请用三种不同的方法表示水箱

中剩余水量y(单位：L)关于放水时间t(单位：min)的关系.

(1)y与/的函数解析式为：,这种表示函数的方法称为

(2)(1)中的函数关系可以用表格表示，如下表，这种表示函数的方法称为

t0i234567…

y200150・・・

(3)上述问题中的函数关系可以通过图象表示，请你在下面的坐标系中画出正确的

图象.这种表示函数的方法称为：

5O7(L)

45(r

ob

4OOF

35CJF

3OOFA

25

2Ool-

ob

15A

O

1nl-

C

t(min)

O\~12345678910

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：

19.2一次函数

19.2.1正比例函数

「概念课」正比例函数的概念

学习目标

□理解正比例函数的定义，会判断两个变量是否构成正比例函数

视频助学请先思考引导问题，再看视频【正比例函数的概念】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是正比例函数？(00:00-04:57)

1.每只羊驼有4条腿，设羊驼的个数为x,所有羊驼腿的数量为y,那么y和x的函数关

系式为：.

另有某种动物共有x只，加起来共有y条腿，它们之间的关系式是y=8x,这可能是

什么动物呢？(“兔子”、“娱蚣”或“蜘蛛”)

2.正比例函数：一般地，形如的函数，叫做正比例函数.其中

k叫做.

3.以下几个解析式是正比例函数吗？如果不是，请说明理由.

(1)y=-3x()

1

(2)y=—()

x

(3)y=f()

(4)y-kx()

(5)y=x+l()

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」正比例函数的图象

学习目标

□了解正比例函数图象的特征，并能熟练地作出正比例函数的图象

视频助学请先思考引导问题，再看视频【正比例函数的图象】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1正比例函数的图象有什么特征？(00:00-04:34)

1.请你在下面的直角坐标系中用描点法画出正比例函数y=2x的图象.

(1)列表:

X-3-2-10123

y

(2)描点:

(3)连线:

追问：请你在上面的坐标系中，再通过描点法画出y=尤的图象.

2.发现①：正比例函数y=Ax（女NO）的图象是

发现②：正比例函数的图象必过.

综上：正比例函数的图象是一条经过的.

3.有一个函数的图象如下图所示，它对应下列四个选项中的哪

个解析式呢？（）

A.y=2xB.y=-2x——

c.y-x2D.y=-x2

请你说明原因：

引导问题2如何画正比例函数的图象？（04:34-06:20）

4.经过上面的探索，画正比例函数的图象最少需要取几个点呢？（）

A.1B.2C.3D.4

请你说明原因：

所以，为了方便快速的画出正比例函数的图象，我们正常取哪几个点呢？

①________________

②.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」正比例函数的性质

学习目标

□理解正比例函数的性质，并能用它解决具体问题

视频助学请先思考引导问题，再看视频【正比例函数的性质】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1正比例函数有哪些性质？（00:00-04:53）

1.正比例函数的性质：

性质1：正比例函数是一条经过的.

性质2（正比例函数的图象与k值的正负有关）：

正比例函数图象的位置由上决定，攵>0,直线位于象限；k<0,直线经过

________象限.

性质3（函数的覆懑性?：正比例函数图象变化情况由k值决定，k>0时，直线从左往

右,y随x的增大而；时，直线从左往右

,y随x的增大而.

2.有一个函数的图象如下图所示，它对应下列四个选项中的哪个解析式呢？（）

A.y—x2B.y-x

C.y=x+lD.y=-2x

解决本题使用的是正比例函数的哪个性质？

3.请你完善下面表格中的内容:

y=kx(kw0)

正比例函数

k>0k<0

y

图象X

0JL.

经过的象限

形状（趋势）

增减性

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」I攵I与倾斜程度

学习目标

□了解什么是正比例函数图象的倾斜程度

□理解网与倾斜程度的关系

视频助学请先思考引导问题，再看视频【附与倾斜程度】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是正比例函数图象的倾斜程度？(00:00-02:04)

1.如果直线与y轴贴得越近，倾斜程度越；与x轴贴得越近，倾斜程度越

如图，这两个正比例函数的图象，哪个的倾斜程度更大?

如图，这两个正比例函数的图象，哪个的倾斜程度更大?

A.y=-3xoV

B.y=-x

引导问题2\k\与倾斜程度有什么关系？(02:044)5:32)

4.请你在下面的坐标系中同时画出y=gx、y=x>y=2x、y=4尢的函数图象:

111

一2-1O234

由上面的图象可知：出>0时，女越,那么函数的倾斜程度.

5.请你在上面的坐标系中继续画出y=-；x、y=-x,y=-2x、y=-4x的函数图

象，并回答问题：

①正比例函数y=—的图象的倾斜程度，.（“相同”、

">=—Lx的倾斜程度大”或“y的倾斜程度大”）

22

②正比例函数y=-2x和y=2x的图象的倾斜程度，.相同"、“y=—2x

的倾斜程度大”或“y=2x的倾斜程度大”）

综上可知：正比例函数y="和y=-丘的图象的倾斜程度

6.网与倾斜程度的关系:

陶越大，倾斜程度，网越小，倾斜程度

7.如图所示，勺、芍、&、&从大到小的顺序是

卜.y=k]X

x

l2'y-k2

l3:y-k3x

%:y=k&x

请你说明原因:

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

19.2.2一次函数

「概念课」一次函数及其图象

学习目标

□理解一次函数的定义，掌握一次函数解析式的特点

□理解一次函数的图象是一条直线，会用两点法画一次函数的图象

视频助学请先思考引导问题，再看视频【一次函数及其图象】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是一次函数？一次函数和正比例函数有什么关系？（00:00-04:23）

1.狗蛋手机月话费组成如下：固定月租费20元/月，每分钟通话费0.3元，若每个月的通

话时间为自变量x（分钟），总话费为y（元），则y关于x的函数可表示为（）.

A.y=0.3%B.y=0.3x-20C.y=0.3x4-20

答案是正比例函数吗？（“是"、“不是”）

请说明理由：

2.一次函数的定义：一般地，形如（%、b是,

。0）的函数，叫做一次函数.

例如函数y=0.4x+30中，k=,b=.

3.正比例函数是一次函数的特殊形式：一次函数中，当b时，就是正比例函数.

引导问题2一次函数的图象有什么特征？（04:23-06:00）

4.下列图象中哪个是一次函数y=gx+2的图象？（）

A.B.C.

5.如图，请你观察函数y=gx+2和y=的图象，请比较它们的相同点与不同点:

①相同点：形状都是,且倾斜程度

②不同点：函数y=gx的图象经过特殊点；函数y=；x+2与y轴交于

，即它可以看成由直线y=向个单位得到.

6.一次函数丁=辰+8（％。0）的图象是一条.当b时，图象不经过原

点.

引导问题3怎么画一次函数的图象？（06:00-08:18）

7.两点确定一条直线，画一次函数图象时需要找两个点，为了方便我们正常找与X热的交

息和与y轴的套总.

以直线y=gx+2为例，它与x轴、y轴的交点分别是：、.

8.一次函数＞=依+人仅#0）的图象，与x轴、y轴的交点分别是：（—，0）、（0,

连接这两个交点所成的直线即一次函数y="+》（攵。0）的图象.

9.请你运用上面的方法，在平面直角坐标系中画出一次函数y=1x+2的图象.

仔

4

3

2

I1

-6-5-4-3-223

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」一次函数的性质

学习目标

□理解一次函数的性质，并能用它解决具体问题

视频助学请先思考引导问题，再看视频【一次函数的性质】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1一次函数的增减性取决于什么？（00:00-01:25）

1.对于一次函数y=00）：

当攵＞0时当出＜0时

大而；当________时，y随x的增大而.

引导问题2一次函数的图象有哪些性质？（01:25-06:00）

2.如图所示，观察一次函数y=2x+3和y=2x—3的图象

当b=3时，y=2x+3的图象经过象限，与y轴交于（正/负）半

轴；

当人=一3时，y=2x-3的图象经过象限，与y轴交于（正/负）半

轴.

5.一次函数的性质（请完善下面的表格）:

一次函数y=Ax+h(kwO)

k>0k<0

k、b符号

b>0b<0b>0b<0

yyy

图象

0XoX