拓展拔高2　指数、对数、幂值的比较大小VIP

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。拓展拔高2指数、对数、幂值的比较大小【高考考情】指数与对数是高中一个重要的知识点,也是高考必考考点,其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点,主要考查指数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对数函数和幂函数的性质,一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置.视角一临界值法比较大小[例1](1)(2023·上饶模拟)已知a=log53,b=212,c=7-0.5,则a,b,c的大小关系为(A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a【解析】选C.因为1=log55>log53>log55=log5512=12,即12<a<1,b=c=7-0.5=(17)

12<(14)即0<c<12,所以b>a>(2)已知a=log52,b=1log0.10.7,c=0.70.3,则A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】选A.因为log51<log52<log55,所以0<a<12因为b=1log0.10.7=log0.70所以b>1,因为0.71<0.70.3<0.70,所以0.7<c<1,所以a<c<b.思维升华临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值,如常考虑a,b,c与特殊数字“0”“1”“12”的大小关系迁移应用(2023·南开模拟)已知a=20.2,b=1-2lg2,c=2-log310,则a,b,c的大小关系是()A.b>c>a B.a>b>cC.a>c>b D.b>a>c【解析】选B.由题意可得:a=20.2>20=1,b=1-2lg2=1-lg4,且0<lg4<1,则0<b<1,因为log310>log39=2,则c=2-log310<0,所以a>b>c.视角二含变量问题的比较大小[例2](1)(一题多法)x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【解析】选D.解法一(特值法):取z=1,则由2x=3y=5得x=log25,y=log35,所以2x=log225<log232=5z,3y=log3125<log3243=5z,所以5z最大.取y=1,则由2x=3得x=log23,所以2x=log29>3y.综上可得,3y<2x<5z.解法二(作差法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,则x=lgklg2,y=lgklg3,因为k>1,所以lgk>0,所以2x-3y=2lgklg2-lgk·(2lg3-3lg2)lg2·lg3=lgk·lg98lg2·lg3>0,故2x所以3y<2x<5z.解法三(作商法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1.则x=lgklg2,y=lgklg3,所以2x3y=23·lg3lg2=lg95z2x=52·lg2lg5=所以5z>2x>3y.解法四(函数法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,则x=lnkln2,y=lnkln3,设函数f(t)=tlnklnt(则f(2)=2lnkln2=2x,f(3)=3lnkln3=3y,ff'(t)=lnk·ln易得当t∈(e,+∞)时,f'(t)>0,函数f(t)单调递增.因为e<3<4<5,所以f(3)<f(4)<f(5).又f(2)=2lnkln2=2×2lnk2ln2=所以f(3)<f(2)<f(5),即3y<2x<5z.(2)已知实数x,y,z∈R,且满足lnxex=yey=-zez,y>1,则xA.y>x>z B.x>z>yC.y>z>x D.x>y>z【解析】选A.因为lnxex=yey则lnx>0,-z>0,即x>1,z<0,令f(x)=x-lnx,x>1,则f'(x)=1-1x>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,有f(x)>f即lnx<x,从而当x>1,y>1时,yey=lnx令g(t)=tet,t>1,g'(t)=1-te则由x>1,y>1,yey<xex得y>x>1,所以y思维升华(1)若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解.(2)涉及不同变量但结构相似的式子相等时,细心挖掘问题的内在联系,构造函数,分析并运用函数的单调性求解作答.迁移应用(2023·大理模拟)已知实数a,b,c满足lnaea=lnbb=-lncc<0,则aA.b<a<c B.c<b<aC.a<b<c D.c<a<b【解析】选C.由题意知a>0,b>0,c>0,由lnaea=lnbb=-lncc设f(x)=lnxx(则f'(x)=1-当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因为ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号,故ea>a(0<a<1),又lna<0,所以lnaea>lnaa所以f(b)>f(a),则b>a,即有0<a<b<1<c,故a<b<c.视角三构造函数比较大小[例3](1)(2020·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2【解析】选B.令f(x)=2x+log2x,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上单调递增.又2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log22b,所以f(a)<f(2b),所以a<2b.(2)已知a=2(2-ln2)e2,b=ln22,c=1eA.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】选B.a=2-ln2e22=lne令f(x)=lnxx,所以a=f(e22),b=f(2),f'(x)=1-所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(e)=lnee=c,所以a<c,b又b=ln22=2ln24=ln44=f所以f(4)<f(e22),所以b<a,所以b<a思维升华某些数或式子的大小关系问题,看似与函数的单调性无关,细心挖掘问题的内在联系,抓住其本质,将各个值中的共同的量用变量替换,构造函数,利用导数研究相应函数的单调性,进而比较大小.迁移应用(2023·潍坊模拟)已知a=20222024,b=20232023,c=20242022,则a,b,c的大小关系为()A.b>c>a B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c【解析】选D.因为lnalnb=2构造函数f(x)=lnxx+1(x≥e2),f'(x令g(x)=(x+1)-xlnx,则g'(x)=-lnx<0,所以g(x)在[e2,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(e2)=1-e2<0,故f'(x)<0,所以f(x)在[e2,+∞)上单调递减,所以f(2022)>f(2023)>0⇒lnalnb=ln20222023ln20232因为lnblnc=2构造函数h(x)=lnxx-1(x≥e2),h'