第五章　第二节　三角函数的同角关系、诱导公式

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第二节三角函数的同角关系、诱导公式【课标解读】【课程标准】1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,sinαcosα2.掌握诱导公式,并会简单应用.【核心素养】数学抽象、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题常以角为载体,考查同角三角函数间的关系,诱导公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.预测预计2025年高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,应增强转化与化归思想的应用意识,选择题、填空题、解答题均有可能出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.

(2)商数关系:sinαcosα=tanα(α≠π2+kπ,k2.三角函数的诱导公式(k∈Z)公式角正弦余弦正切一2kπ+αsinαcosαtanα二π+α-sinα-cosαtanα三-α-sinαcosα-tanα四π-αsinα-cosα-tanα五π2-cosαsinα六π2+cosα-sinα微点拨诱导公式的记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限.”其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化常用结论1.平方关系的常用变形:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=±1-cos2α2.商数关系的常用变形:cosαtanα=sinα,cosα=sinα3.和积互化变形:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.4.弦切互化变形:sin2α=sin2αcos2α=cos2αsinαcosα=sinαcosα基础诊断·自测类型辨析改编易错题号12,341.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)使sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()(2)若α∈R,则sin(π2-α)=sinα.((3)若α∈R,则sin2α+cos2α=1.()(4)若α∈R,则tanα=sinαcosα恒成立.提示:因为α∈R,sin(π+α)=-sinα成立,所以(1)错误;因为α∈R,sin(π2-α)=cosα,所以(2)错误;由同角三角函数间的关系可知,(3)正确;因为tanα=sinαcosα在α≠π2+kπ(答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.(必修第一册P183例6变题型)已知α是第四象限角,且sinα=-12,则cosα=【解析】已知α是第四象限角,且sinα=-12所以cosα=1-sin答案:33.(必修第一册P186T15变结论)已知tanα=-2,则2sinα+cosαA.-4 B.-1C.-1 D.-1【解析】选C.2sinα+cosαcosα-4.(记错公式)下列等式恒成立的是()A.cos(-α)=-cosαB.sin(360°-α)=sinαC.tan(2π-α)=tan(π+α)D.cos(π+α)=cos(π-α)【解析】选D.因为cos(-α)=cosα;sin(360°-α)=-sinα;tan(2π-α)=-tanα,tan(π+α)=tanα;cos(π+α)=-cosα,cos(π-α)=-cosα.【核心考点·分类突破】考点一同角三角函数间的关系考情提示同角三角函数的基本关系常与三角函数相关知识融合在一起进行命题,以公式变形为主解决相关运算问题,题型多为选择题、填空题.角度1公式的直接应用[例1](1)(2023·惠州模拟)已知tanα=2,π<α<3π2,则cosα-sinα=(A.55 B.-55 C.355 【解析】选A.因为tanα=sinαcosα=2,且sin2α+cos2α=1,π<α<3π2,所以sinα=-255,cosα=-55,所以cosα-sinα=-55(2)已知cosα=-513,则13sinα+5tanα=【解析】因为cosα=-513<0且cosα所以α是第二或第三象限角.①若α是第二象限角,则sinα=1-cos2α所以tanα=sinαcosα=12此时13sinα+5tanα=13×1213+5×(-125)②若α是第三象限角,则sinα=-1-co=-1213所以tanα=sinαcosα=-此时,13sinα+5tanα=13×(-1213)+5×125综上,13sinα+5tanα=0.答案:0解题技法利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sinαcosα=tanα可以实现角α的弦切互化角度2“弦切互化”问题[例2](1)已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,则cos2A.35 B.-35 C.-3 D【解析】选A.因为sinα+3cosα3cosα-sinα=5,所以tanα+33-tanα=5,解得tanα(2)(2023·黄冈模拟)已知α∈R,sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52,则tanα=【解析】因为sin2α+4sinαcosα+4cos2α=sin2α+4sinα所以3tan2α-8tanα-3=0,解得tanα=3或-13答案:3或-1解题技法利用“弦切互化”求齐次式值的方法(1)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cosα的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tanα的式子,代入tanα的值即可求解.(2)若齐次式为二次整式,可将其视为分母为1的分式,然后将分母1用sin2α+cos2α替换,再将分子与分母同除以cos2α,化为只含有tanα的式子,代入tanα的值即可求解.角度3sinα±cosα,sinαcosα之间关系的应用[例3](1)已知sinα+cosα=-713,α∈(π2,π),则sinα-cosα=(A.1213 B.-1213 C.1713 D【解析】选C.因为sinα+cosα=-713所以(sinα+cosα)2=(-713)2,即sin2α+cos2α+2sinαcosα=(-713)2,2sinαcosα=-所以sin2α+cos2α-2sinαcosα=289169即(sinα-cosα)2=289169因为α∈(π2,π)所以sinα-cosα>0,sinα-cosα=1713(2)已知tanθ+1tanθ=4,则sin4θ+cos4θ=(A.38 B.12 C.34 【解析】选D.由题意得tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin故sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×116=7解题技法“sinα±cosα,sinαcosα”关系的应用sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起,即(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,sinαcosα=(sinα+cosα)2-12对点训练1.(2023·安康模拟)已知tanθ=12,则sin3A.12 B.2 C.16 D【解析】选A.因为tanθ=12,所以=sin3θ+sinθ(sin2θ+co2.(2023·梅州模拟)已知cosα=13,且α为第四象限角,则tanα=【解析】因为α为第四象限角,所以sinα<0,所以sinα=-1-cos所以tanα=sinαcosα答案:-223.(2023·聊城模拟)已知α∈(-π2,π2),且sinα+cosα=55,则tanα【解析】因为sinα+cosα=55,所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=15,所以sinαcosα=-25,所以sin2α+cos2α-2sinαcosα=95=(sinα-cosα)2.又sinαcosα<0,α∈(-π2,π2),所以α∈(-π2,0),所以sinα<0,cosα>0,所以cosα-sinα=355,所以sinα=-5答案:-1【补偿训练】设sin23°=m,则tan67°=()A.-m1-m2C.1m2-m【解析】选D.因为sin23°=m,所以cos67°=m,所以sin67°=1-所以tan67°=1-因为sin23°=m>0,所以tan67°=1-m2考点二诱导公式及其应用[例4](1)(2023·黑龙江模拟)sin495°=()A.1 B.-12 C.32 D【解析】选D.sin495°=sin(360°+135°)=sin135°=sin(180°-45°)=sin45°=22(2)已知x∈R,则下列等式恒成立的是()A.sin(3π-x)=-sinxB.sinπ-xC.cos(5π2+3x)=sin3xD.cos(3π2-2x)=-sin2【解析】选D.sin(3π-x)=sin(π-x)=sinx,sinπ-x2=sin(π2-xcos(5π2+3x)=cos(π2+3x)=-sin3cos(3π2-2x)=-sin2(3)已知sin(α+π12)=13,则cos(α+712π)的值为;sin(1112π-α【解析】cos(α+7π12)=cos(π2+α+π12)=-sin(α+π12sin(1112π-α)=sin[π-(α+π12)]=sin(α+π12)答案:-13解题技法1.诱导公式的两个应用(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了;(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.2.常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α(2)常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π4+θ与提醒:计算含有2π的整数倍的三角函数式时,可直接将2π的整数倍去掉,然后再进行运算.对点训练1.tan(π-A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选B.原式=-tanα·cosα·(-cosα2.(2023·茂名模拟)已知sin(θ-π6)=12,则cos(θ+π3)A.-32 B.-12 C.12 【解析】选B.cos(θ+π3)=cos(θ-π6+π2)=-sin(θ-π6【加练备选】1.(2023·福建三明模拟)已知cos(α+π3)=-513,则sin(7π6-α)-2cos(2π3-αA.-513 B.513 C.-1513 【解析】选A.因为sin(7π6-α)=sin[π+(π6-α)]=-sin(π6-α)=-cos(π3+αcos(2π3-α)=-cos[π-(2π3-α)]=-cos(π3+α)=513,所以sin(7π6-α)-2cos(2π3-α)=2.已知f(α)=sin(则f(-31π3)=【解析】因为f(α)=sin=-sinαcos所以f(-31π3)=cos(-31π3)=cosπ3答案:1考点三诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用[例5](1)已知sin(π-α)+sin(α-π2)=12,则cos(3A.-34 B.34 C.-316 【解析】选A.由已知得sinα-cosα=12,两边平方得1-2sinαcosα=14,解得sinαcosα=38,则原式=sinα1-tan(2)(2023·阳泉模拟)已知sin(α+π6)=33,且α∈(-π4,π4),则sin(π3-【解析】因为α∈(-π4,π4),所以α+π6∈(-π12,5π12),故cos(所以cos(α+π6)=1-(sin(π3-α)=sin[π2-(α+π6)]=cos(α+π6答案:6解题技法同角三角函数间的关系、诱导公式应用的技巧(1)求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.对点训练1.若α∈(0,π),sin(π-α)+cosα=23,则sinα-cosα的值为(A.23 B.-23 C.43 D【解析】选C.由诱导公式得,sin(π-α)+cosα=sinα+cosα=23所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=29则2sinαcosα=-79因为α∈(0,π),所以sinα>0,所以cosα<0,所以sinα-cosα>0,因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=169所以sinα-cosα=432.(2023·成都