第二章　第一节　等式与不等式的性质VIP

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第一节等式与不等式的性质【课标解读】【课程标准】梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.【核心素养】数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法不等式的性质是高考的重点,常以选择题的形式出现.预测2025年备考特别要重视性质的运用,明确其成立的前提,灵活运用估值法,适当关注与实际问题的结合.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.两个实数比较大小的方法作差法a-b>0⇔a>2.等式的性质性质1对称性:如果a=b,那么b=a;

性质2传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;

性质3可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5可除性:如果a=b,c≠0,那么ac=b3.不等式的基本性质性质性质内容对称性a>b⇔b<a;a<b⇔b>a

传递性a>b,b>c⇒a>c;

a<b,b<c⇒a<c

可加性a>b⇔a+c>b+c

移项法则a+b>c⇔a>c-b可乘性a>b,c>0⇒ac>bc;

a>b,c<0⇒ac<bc

同向可加性a>b,c>d⇒a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd

同正可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)

微点拨(1)注意不等式成立的条件.(2)注意不等式性质的单向与双向性,即是否具有可逆性.常用结论1.证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质(1)若a>b>0,m>0,则ba<b+ma+m,ba>(2)若ab>0,则a>b⇔1a<1基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号13421.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)a>b⇔ac2>bc2.(×)提示:(1)由不等式的性质,ac2>bc2⇒a>b;反之,c≠0时,a>b⇒ac2>bc2,故(1)错.(2)a=b⇔ac=bc.(×)提示:(2)由等式的性质,a=b⇒ac=bc;反之,c≠0时,ac=bc⇒a=b,故(2)错.(3)若ab>1,则a>b.(×提示:(3)a=-3,b=-1,则ab>1,但a<b,故(3)错(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.(2.(2022·上海高考)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+c B.a+c>b+dC.ac>bd D.ad>bc【解析】选B.对于A,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误,对于B,因为a>b>c>d,即a>b,c>d,所以由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正确,对于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误,对于D,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误.3.(必修第一册P43习题2.1T3(2)改形式)已知M=(x-3)2,N=(x-2)(x-4),则()A.M<N B.M>N C.M≤N D.M≥N【解析】选B.因为M-N=(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0,所以M>N.4.(错用不等式的性质致误)已知1≤a≤4,-1≤b≤2,则3a-b的取值范围是()A.[-13,1] B.[-1,8] C.[-1,13] D.1【解析】选D.因为1≤a≤4,-1≤b≤2,所以-2≤-b≤1,3≤3a≤12,所以1≤3a-b≤13.【核心考点·分类突破】考点一不等式的基本性质1.(多选题)(2023·张家口模拟)若a>b,则下列不等式中正确的有()A.a-b>0 B.2a>2b C.ac>bc D.a2>b2【解析】选AB.对于A,因为a>b,所以a-b>0,故A正确;对于B,因为a>b,且指数函数y=2x在R上单调递增,所以2a>2b,故B正确;对于C,若c<0,则ac<bc,故C错误;对于D,当a=1,b=-2时,a2<b2,故D错误.2.(多选题)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是()A.xy>yz B.xy>xz C.xz>yz D.x|y|>|y|z【解析】选ACD.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符号无法确定.对于A,由题意得x>z,若y<0,则xy<0<yz,故A不成立;对于B,因为y>z,x>0,所以xy>xz,故B成立;对于C,因为x>y,z<0,所以xz<yz,故C不成立;对于D,当|y|=0时,x|y|=|y|z,故D不成立.3.已知实数a>b>c,abc≠0,则下列结论一定正确的是()A.ab>ac B.ab>bc C.1a<1c D.ab+bc>【解析】选D.由题可知,a≠0,b≠0,c≠0.对于A,若a>b>c>0,则ab<ac,故A错误;对于B,若a>0>b>c,则ab<bc,故B错误;对于C,若a>0>b>c,则1a>1c,故C错误;对于D,ab+bc>ac+b2⇔ab-ac>b2-bc⇔a(b-c)>b(b-c),因为a>b,b-c>0,所以a(b-c)>b(b-c),故ab+bc>ac+4.(多选题)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是()A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2 D.ab>ac【解析】选BCD.因为c<a<b,且ac<0,所以c<0,a>0,b>0,a-c>0,b-a>0,所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2<ab2,ab>ac.解题技法解决此类题目常用的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件;(2)利用特殊值排除法;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.考点二两个数(式)的比较大小[例1](1)若a<0,b<0,则p=b2a+a2b与q=a+A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q【解析】选B.p-q=b2a+a2b-a-b=b2-a2a+a2-=(=(b因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,故p=q;若a≠b,则p-q<0,故p<q.综上,p≤q.(2)已知c>1,且x=c+1-c,y=c-c-1,则x,yA.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定【解析】选C.易知x>0,y>0,又xy=c+1-cc-c-(3)若a=ln33,b=ln22,则a与b的大小关系是【解析】因为a=ln33>0,b=ln2所以ab=ln33·2ln2=2ln33ln2=所以a>b.答案:a>b解题技法1.作差法比较大小的一般步骤:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.2.作商法比较大小的一般步骤:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论.注意作商前要先判断正负,一般要比较的两数(式)均为正数,可考虑使用作商法.对点训练1.若a,b∈[0,+∞),A=a+b,B=a+b,则A,B的大小关系是(A.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B【解析】选B.由题意,得B2-A2=-2ab≤0,所以B2≤A2.又A≥0,B≥0,所以A≥B.2.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为.

【解析】eπ·πeee·又0<eπ所以(eπ)π-e<1,即e即eπ·πe<ee·ππ.答案:eπ·πe<ee·ππ考点三不等式性质的应用考向求代数式的取值范围[例2](1)(2023·杭州模拟)若实数x,y满足x+y≥1,5x+2A.[1,+∞) B.[3,+∞) C.[4,+∞) D.[9,+∞)【解析】选A.设2x+y=m(x+y)+n(5x+2y),则m+5n=2,m+2n=1,解得m=n=13,故2x+y=13(x+y)+13(5x+2y),由x+y≥1,5x+2y≥2,(2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则ca的取值范围是【解析】因为a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c.因为a>b>c,所以-2a-c<a,即3a>-c,解得ca将b=-2a-c代入b>c中,得-2a-c>c,即c<-a,得ca<-1,所以-3<ca答案:(-3,-1)解题技法根据不等式的性质求取值范围的策略(1)严格运用不等式的性质,注意其成立的条件.(2)建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.提醒:同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围.对点训练1.已知a∈(-3,-2),b∈(2,4),则ba的取值范围是【解析】因为a∈(-3,-2),所以1a∈(-12,-13),故13<-又因为2<b<4,所以23<-b则-2<ba<-2答案:(-