自动控制原理考试复习笔记-本科生总结

自动控制原理复习总结笔记

一、自动控制理论的分析方法：

(1)时域分析法；

(2)频率法；

(3)根轨迹法;

(4)状态空间方法；

(5)离散系统分析方法；

(6)非线性分析方法

二、系统的数学模型

(1)解析表达：微分方程；差分方程；传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉

冲响应函数；阶跃响应函数

⑵图形表达：动态方框图(结构图)；信号流图；零极点分布；频率响应曲线；

单位阶跃响应曲线

时域响应分析

一、对系统的三点栗求：

(1)必须稳定，且有相位裕量Y和增益裕量

(2)动态品质指标好。tp、4、o%

⑶稳态误差小，精度高

二、结构图简化——梅逊公式

例1、

解：方法一：利用结构图分析：

E(s)=Rs)—区(s)+y(s)]=凤s)—y(5)]-X、(s)

方法二：利用梅逊公式G(s)=0-----

A

NMQ

其中特征式△=1一»，+»4一也L/+……

Z=11M=1d,ej=\

式中：为所有单独回路增益之和

为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和

^LdLeLf为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和

其中，Pk为第K条前向通路之总增益；

△*为从△中剔除与第K条前向通路有接触的项；

n为从输入节点到输出节点的前向通路数目

对应此例，则有：

通路：P,=G,G2,A,=1

—

特征式：A=1—(G]G,—G|G3)=1+G,G-,+G|G3

则：——也—

R(s)1+G]G2+G]G?

例2:[2002年备考题]

方法二：用梅逊公式

△=1-[-G3G2“|-G|G2G3兄-G4G3%]+。

通路：=G5G6GIG2G3,A]=1

P2=G5,A2=I+G3G2H1P3=G5G6G4G3,A3=1

y(s)PA+2&+鸟4-

于是：MS)△

三、稳态误差

(1)参考输入引起的误差传递函数：旦口=——?——

R(s)\+G.G2H

扰动引起的误差传递函数：黑=-一网一

N(s)\+G,G2H

(2)求参考输入引起的稳态误差气,时。可以用Kp、K、,、K“叠加，也可以用

终值定理：lims.EG)

5->0r—

(3)求扰动引起的稳态误差%时，必须用终值定理：lims・EN(s)

5->0

(4)对阶跃输入：K„=limGo(s),

如小)=a,1(f),则R(s)=%=a

s1+Kp

(5)对斜坡输入：K”lims-G)(s),

.v->0

b

如则H(s)=g,e:

ssr

(6)对抛物线输入：K“=lims2.Go(s),

1Sf0

如也）=；，/,则E（s）=W，。，=小

LSA〃

例3：求：4"，令N（s）=0,求斗&,令R（s）=0

R[s）N[s）

解：结构图化简：

继续化简，有:

当N（s）=0时，求得型=。。。；当R（s）=0时，有

…丫($)

求得

N(s)

例4：

令")=0,求鼎,令称)=0,求晶

为了完全抵消干扰对输出的影响，则Gv(5)=?

解：求用用梅逊公式:

火(S)

"1,A|=1+KG|G2P2=G,GV,A2=1

△=1-[-KG|G?-KG』=1+KG,G2+KG1

则：需=今就同理求得爵…

若完全抵消干扰对输出的影响，则干扰引起的输出应该为零。

即》或故纲J+KGG+GG、所以GJ+KGG

N(s)/?(.v)1+KGd+KGiG,

例5:

其中G(s)=M%，G，(s)=YF,r(t)和n⑴分别是参考输入和扰动

S"2(5+2)

输入。

⑴求误差传递函数G,e(s)=黑和Gne(s)=;

(2)是否存在n1e0和n2,0,使得误差为零？

⑶设r(t)和n(t)皆为阶跃输入，若误差为零，求此时的n1和n2

解：

①*$)=需=-'*(，)=患=&，Ms)为负]

②r(t)=t,要求%,=0.则系统应为II型系统，那么n1+n2=2.

（3）r（t）=1（t）,n（t）=1（t）,要求s=0,则n1+n2=1

E（s）K（s+4）

因为如,则

N（s）s（s+4）（s+2）+K（s+l）

e=lims-E（s）=lims-"7V（.v）=lims-•—=4

1

0.y->0N（s）STON（s）s

E（s）_Ks（s+4）

而事实上:

N（s）s（s+4]s+2）+K（s+1）

e-lims-E（s）-lims-.N（5）=lims-旦，•—=0

s->0s->0N（s），s->0'N（s）s

可见积分环节在G/s)部分中，而不在G2(s)中。

故n1=1,n2=0。就可以实现要求

例6:如图，当=sin（，+15。）_2cos®_20。）时，求稳态输出

解：应用频率法：

0（词二.§，则

JS+7

Y（s）

5----------------►

,S'-1-

55icca

。(/1)=Z-tan'-,^3)=-^Z-tan^

J+7-75O

四、动态指标

⑴二阶系统传递函数的标准形：

y（s）=M

R（s）S?+2弛+修

(2)cos0-,e越大，&越小

(3)t,.=—^=,tp=-^=,学(4=5%或2%)

①n)[-30)nJl—-物n

例7：如图，要求%=0.1s,<r%=30%,试确定参数K,To

R(s)+-Y(s)

----------------------------------►K--------------------►

_s(7X+l)

解・SKKITo；

2222，

R(s)TS+S+KS+S/T+K/Ts+2^a)ns+CDn

则。2^a)-—o由乙,=---=0.1,

T丁P以人常

例8:

求：①选择&,K,,使得。％W20%,ts=1.8秒(△=±2%)

②求K。、K,、Ka,并求出山)=l(f)+f时的稳态误差

R(s)+c+cIY(s)

LA厂£----------------►1------------------r-

_产

Ktsv

4)____纽一-___，2

频率法

一、基本概念:

G(“=〃。=G(/G)，输入是正弦信号，稳态输出。如：r(/)=R|Sin卬，

(

则了⑺=Risingt+N

1+G(/®)1+G(,M)

二、①惯性环节

\G(J^=iK--»

Ts+ly!\+T2co2

NG(池)=-tan-1(Tty),0°--90°

②G(.汝)=­iK，

s(Ts+l)a)yl\+T2(o2

NG(/力-90°-tan-'(T<y),

则：69:0f+8,

。(①)一90。——180。，A(&}oof0

注意：助=g=g

K

③(小+lX/s+l)(如图3)5H

A(69)Z(b(a))=——/二~.-Z一90°-tan-17]69-tan_1T^co求w1。因

。（他）=—180。，故

-1-11-1

-90°-tanT^ty-tanT2a)=-180°=>tan'7j(y+tanT2CD=90°

两边取正切：+,必=oo=><y

\-Tia）T2a）

K(TS+1)

⑤,其中（>T>T,（如图5）

s(7>+I，4+1)2

⑥增益裕量：K=—J—r,相位裕量：7=180。+9（牝），如图6

A（（yJ

1/T1-40dB/se5-^1/T②

-60dB/sec

K（益+1）

T1>T2K=10,作出波德图

m+i）（1s+i）f

例2：

求：(1)写出开环传递函数G0(s)

(2)计算系统的相位裕量和增益裕量

(3)做出G0(s)的Nyquist曲线，并分析闭环系统的稳定性

K（2s+1）

解：①G0（s）=

.r（0.1.v+l）

可见图中。，=2,因为幅频特性曲线在w1=0.5和w2=10时发生转折，显然w=2

时，曲线只在w1=0.5发生转折，而未到w2=10o故w2=10不发生作用，所以

当⑵=CK=I,故G（s）=湍为

-1_1

②相位裕量：/=180°+^（6yc）=tan4-tan2=

因为tan-GoOs）=180。，则

-1_1

tan物=tan0.\a）x=2coi=0.\cox=q=0=K&=oo

三、Nyquist判据

Z为闭环右半平面根数，P为开环G0(s)右半平面根数，N为G0(s)包围7圈数,

顺时针为正，逆时针为负。当符合Z=P+N是系统稳定。其中ZR

「、K（外+1）/

例3：

解：奈氏曲线如下图。N=2,P=0,Z=N+P=2/0,故不稳定。

例4：GO（S）=F^~~如图：N=2,P=0,Z=N+P=2/0,故不稳定。

52（75+1）

例4凰

例5:1+G0(s)=s4+2.J+5.d+6s+10=0,判断系统是否稳定。

分析：判断稳定性，用劳斯判据：

①相邻系数必须为正，不能缺项

如：

l+Go(s)=7：J+./+K=0。显然缺s项，故不稳定。

②劳斯阵列第一列全为正，则系统稳定。如果有一个负数，则变号2次，即系

统有2个有根，不稳定。

③系统如果与虚轴有交点，则劳斯阵有一行全为。，此行的上一行为辅助多项

式，由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标。如

?+3s2+25+6=0,劳斯阵为：

:120

./：360

则由于一行全为零。则系统与虚轴相交。辅助多项式为:

51:000

5°:6

3s2+6=0=.*2=±V2J,则与虚轴的交点为土行人

解：劳斯阵：

541510

260

15110

-_

226_20_

s—-1=2---=10,可见系统不稳定，有两个右根。

2620

.-210-20

51------=-4------=0

例6:1+G（5）=54+253+5s2+105+20=0,

解：劳斯阵:

1520

2100

0（£）20

210因为此处。不能往下计算，换成

s°20

40

当£->0且£〉(时，，10——<0,故系统不稳定。

£

0000

例7:〈2002年备考题〉单位反馈系统，开环传递函数G0(s)=J、

S(5+100)

要求：①画出对数幅频特性，求0,判断系统稳定性。

②加入矫正装置，使g扩大一倍，求矫正后系统传递函数和相位裕量。

解：①开环传递函数应由所给的零极点形式化成时间常数形式：

100

GO(S)=F-------由作图可得g=10,由劳斯判据可知，

(0.015+1)

0.00153+52+100=0,缺项，则系统不稳定。

0.01x10

也可由/6。")=-180°-tan-1

~F=-190°,

o

/=180°+ZG(j®r)=-10,判定系统不稳定。

也可由零极点判断〈画图〉，不稳定。

100(5/6),+1)

②加入矫正装置是-!-s+i即G0'(s)=

52(0.015+1)

NGo'(s]<0-20=-180°+tan-1--tan-10.01x20

-160°

(w1可由图中按比例读出)，则/=180°+ZG(jco'.

20°o

例8：<2001年备考题〉

求：①系统阻尼比匕=0.5时，降,=?

②K-0时，求a%,小ts(△=±2%)

解：①Ms)=4(1+K.)s；

22

R(s)/+5+4(1+勺)5+2^a)ns+con

①〃=,4+4勺

_1__]n勺=_9

:---=-h4

2』房函2

②叱。时,^二号著0=

J=0.25

4

于是/,=---=8s,t.,=•••a%='"

她

例9〈设计型题，较易，主要考概念〉

例9圈

求：G,.(s),①使r(f)=f时，%=0;②使r(f)=g产时，ess<0.01

解：①G《)=窗+l,r>T,〈利用基本概念，不用计算〉

AT（CT+1）x10

②G,（s）=K（⑦+l）,（r>7j,则K,=lim.v2•=10K

a5->052（7i+l）

—=—1―<0.01nK210。

故：ess

K.10K

根轨迹法

一、定义:

K*日（s+zj

〈①〉l+G0（5）=l+^^Oo

fl（s+P,）

j=l

Kn,

其中K”为根轨迹增益。开环放大倍数K=—月一

J=I

闭环特征方程的根随参数K*而变化的轨迹，称为根轨迹o

幅值条件|G0(s)=l

其符合两个条件：.相角条件：NG0(s)=(2Z+lk，(最小相位系绑

或NG0(s)=2攵肛俳最小相位系用

〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹

〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹

〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹

②根轨迹条数=Max(n,m),

起点为开环极点（K.=0）,终点为开环零点（K,foo）

③渐进线条数：（n-m）条，与实轴交点坐标：a,-Z极点'零点

n-m

与实轴夹角：（p\=±侬+1）"。

n-m

④分离点与会合点：使”=0,并使K*>0的点

ds

⑤复数极点出射角：

%=18（尸+£零点至极点的向量辐角■£其他极点至该极点的［穗辐角

对非最小相位系统

=z零点至极点的向量辐角-Z其他极点至该极点的市量辐角

复数零点的入射角：

氏=180。-Z其他零点至该零点的唯辐角+Z极点至该零点的向量辘

对非最小相位系统

%'=一z其他零点至该零点的向量辐角+Z极点至该零点的向量藏

⑥与虚轴交点：

（a）用劳斯判据确定，用辅助方程求得

（b）s=Jo代入闭环特征方程，由实部=0,虚部=0求得

例仙G«）=而。

解：渐进线(3条)：b=(-1)+(-2)(2攵+1)乃=.兀

-3-033

由1+^~t——；=0,则K=-s(s+l)(s+2),

s(s+\\s+2)

K=_J(53+3.y2+2,v)=_,2+6s+2)=o,得

dsds'7

«4=-0.423,K；=0.385

与=-L577,K；=-0.385

与虚轴的交点：方法一

53+3./+2S+K=0,劳斯阵：

53120

523K

3

s。K

要与虚轴有交点，则有一行全零，即2-4=0nK=6

3

辅助方程：3s?+6=0=邑2=±五/

方法二

将5=代入特征方程:（加y+3（jt）2+2（j0）+K=0

实部：K-3心°=>K=6,co=V2,

虚部：2G—369^=0

则与虚部的交点”2=±行'长=6根轨迹如下图

例2：以上附2

解：渐进线一条。出射角内।=18（F+tanT后—tanT迪=140。

pi0

s~+2s+3

分离点与会合点：K*=

s+2

得

NG(s)=Ncr+2+jco-Z(((T4-jcof+2(b+加)+3)

（应用辐角条件）

CD_j2CO+2(769

=tan---------tan=180。

b+2B2+2(T+3

两边取正切:

co2co+2aco12+2。n(y+()2=()2

------=-9-----;-----------n-------

(T+2(y~—co~+2。+3cr+2o'—co~+2b+3

可见是圆。

例3:

R(s)+-Y(s)

--------------»«-----►

_s(s+K典〃)

解：结构图化简，有：

闭环特征方程为1+——=0n$2+&K„s+&=0

s~+K、Kfjs

n+1=0,(K*=(％),由此画K根轨迹图。

s+K]h

4

也可以由=>1+勺(11K心)=0,画(根轨迹。

例4：Go（s）=，（s+1）,a>0

+a）

融.*_l（s+a）dtC_+（3+a）s+2a]

S+1ds（s+1）-

.，1-（3+a）土J（3+a）2-16a-

则:s=-----------------------或s=0

4

①a=1,a=9时，有一个分离点

②（3+0）2-16&>0,解得&〉9或&<1

当a〈1时，显然不稳定。

当a>9时，如取a=10,则⑶=二10一（二1）=7.5,

3-1

-13±7132-16010,比…一…

=---------------=——-4,根轨迹如上图。

44

离散系统分析方法（考研题纲外）

一、采样定理

二、①

开环脉冲传递函数

1八一八

G°(z)=Z1-e-7^=K(l-zT).Z

s(s+l)」'7Lsss+1

Ml".Tz1)?zzK(0.368z+0.264)

----1----Z7

z-1z-e~T(z-lXz-0.368)

闭环落.=纲=特征方程

°Mz)1+G0(z)

2

1+GQ(Z)=OBPz+(0.368K-1.368)z+(0.264K+0.368)=0。

②判断稳定性：用双线性变换z=",将其代入特征方程中，再用劳斯判据。

CD-1

如果K给定，则直接解特征方程，若|z|<1则稳定，若|z|>1则不稳定。

③G0(z)=Z[G(s)],对参考输入有:

K「=limGo(z),当&)=a.1(/肘，e5.=

ZT11+K〃

K、.=lim(l-z-'匕°(z)，当r(。=匕•时，%=?

zfKv

K“=吧(1一z-iyGo(z),当&)=时,r=

有干扰时，霜^=①,“(z),e、,“=lim(z-l)£(z)

＜此时必须且唯有用终值定理＞

④求Y(z)=%(z)•Mz"(。=Z-仅z)]=Z-吼(z)R(z)]时，可以用两种方法:

a)部分分式法；b)长除方法

r(t)+e(t)e»(t)________'*j*(t)

------------A?______Z—►G(s)________FltT

------------------④暇

⑤z变换公式：

咐=1(。X(s)」X(z)=-^

sz-1

如：G0(s)=Z

(s+2)(s+3)

=(l_z-)K.Z应+小+卫)K.

ss+2s+3

非线性系统分析方法

+八xsinvt

2_＞G(s)

注：1为sinwt;2为基波和高次谐波经过G（s）后剩下的基波。

一、分析方法：

'相平面法——只适用于二阶系统（不考）

＜描述函数法——可适用于高阶，是频率法的推广（考）

李雅谱诺夫方法

二、描述函数法：

1

①闭环特征方程：l+N（X〉G（s）=O,则G（s）=

丽

判断G（/w）是否包围-亮，包围则系统不稳定，不包围则稳定。

如同1+GO（S）=O,GC＞，）=-1,判断是否包围T,包围则不稳定，不包围则稳定。

②负倒特性:

A点不稳定，自激振荡

B点为稳定自激振荡，因有干扰时系统发散，则系统正好进入稳定区，而系统稳

定时要衰减，则系统又回到B点右边，又再次进入到不稳定区，又要发散，然后

又进入稳定区，如此反复，则系统始终稳定再B点附近。

例1:如图。其中:

A^(X)=—Jl-|—|,G(s)=^——工一；,K=ll,a=l1=3

'，成丫(xjS(0.15+1/5+1)

判断是否存在稳定的自激振荡？为消除自激振荡如何调整？

解：

NG（_/M）=-180。n求出相交频痴

=lx）=>求出相交幅度

B点是稳定的自激振荡点A点不稳定。~Xp不稳定10cxe/

和X〉/稳定•减小K,使两者不相交或调整。、。使两者不相交。

解：-2,当x<Xo时无输出，x>x（）时输出则合成为:

M

『七T变换成:

①讨论参数T为系统自激振荡的影响

②设T=0.25sec,求输出自激振荡的振幅和频率。

解：G0(s)=(W"皿。，箭=

两者相切时，即频率特性G(jw)的虚部等于-1/N(X),B点稳定,A点不稳定。

此时，4<X</稳定;°<X<4和X>/不稳定

李雅普诺夫稳定性理论

连续系统在左平面钓士

特征方程求利

离散系统在单位圆

判断稳定忸劳斯判据

稳定判据

李氏稳定判据

一、①李氏第一方法：线性化方法

工(鼠,9..…X,,)

力(项，工2……七,)

,平衡状态为口即/(乙,。=

x=f[xe,t)0,

〃匹，》2••…%,)

线性系统平衡状态只有一个;非线性系统平衡状态有多个。雅可比矩阵:

%第

dxxdx2

A=,判断其稳定性用特征多项式卜/-A=0,

Lv=.re吼

dXn

x=xe

然后用劳斯判据。如果线性系统稳定，则非线性系统稳定；反之，如果线性系统

不稳定，则非线性系统不稳定。

如果处于稳定边界(有纯虚根)，则不能判定非线性系统的稳定性。

Hx)=/Px,P为正定对称矩阵，贝UV(x)>0；如果匕(x)<o,则大范围稳定②李氏直接

方法：〈1〉克拉索夫斯基方法；〈2〉变量梯度法(不考)

二、对非线性系统在平衡状态处的稳定性问题的解题步骤:

①先用线性化方法:

第第

dxxdx2

A旦,由\sl—4=0得，s}=Aj,s2—

dxxV空%=%

dx1ex、

若：(1)4>0,4>°，则系统在平衡状态处是不稳定的;

(2)<0,/12<0,则系统在平衡状态xeo处是渐进稳定的。

(3)%,%中至少有一个实部为0,则此方法失效。

②否则，用克拉索夫斯基方法:

.

或=阴露，其中/（x）=［第,0（6=—|停）+某当Q3正定时，

dx^fi_以［力⑴」l_w

dx{_

即当主子式均大于零时，且当闻->00时，有:

K(X)=f'(x)/(x)=……=—>8,则系统在平衡状态匕=。处大范围渐进稳定。

③最后想到用李雅普诺夫第二方法：构造标量函数V(x),例如：

V(x)=x：+x；,要求V(0)=0,xH0,V(x)>0。

步骤：1、构造V(x)=

2、V(x)=2xtx］+2X2X2,将后，4代入，若旧(x)为负定,半负定，国一>8,有

V(x)foo。则系统在儿=0处大范围渐进稳定。

例1:《2000年题6>使用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的

稳定性。

・,3-5

X1=-X|+X-X）=%1

2,X2x2-x2

解：线性化方法失效，则只好用克拉索夫斯基方法:

红—1-1-3元；I

dx~[1-1-5%/则

2+6x；-2

4

-22+10X2

•••主子式2+6x：>o,（2+6~2）（2+10々2）-4>0,Q（x）正定

且k|8时，有

T352

V(x)=f(x)f(x)=[-xi+x2-X,)'+(x,-x2-X2j=—>00,故此系统在原点处大

范围渐进稳定。

例2：<2001年题6〉试用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的

稳定性。用=-X|-3x「,尢2=X]+%2-5尤2，

解：用线性化方法:

或-105+10

A=，卜/—A|=52—1=0

dxxe-011-15-1

则4=1,$2=L故系统在原点处不稳定。

状态空间分析方法

一、模型的建立

分析。

A

1

(v0~y')c

0

则x=R

m

则产+(%-?)c—攵y=/冲，即：my+cy+ky-F+cv0

玉=/

令$=y,x2=y,则<工="一组一至+£+强，

mmmm

乜口对y（"）+qy（'i）(«-1)

+...+an_iy+any^h]u,令司=y,x2==y'

&=七

v•

Xi=X"

X„=_%X|-<2„_|X2-----a,x„+b]U

输出方程：'=项

y=[l0•••0]x

例1:由传递函数来求

r（A=%s"'+4s"I+…+仆+》,=组颂

s〃+qs〃T+…+*5+/17（s）U（s）9

Q（s）;___________1___________

=如"'+…+b_s+b,

U（s）s"+%$""••+%_/+%U（s）mx

s"Q（s）=U（s）-+…%s+a,[Q（s）

则

x]=x2

尤2=*3

=,即

尤-I=X,

xn^u-anx]-an_}x2-------a}xn

010

00

x=

__an_an-\,

y=瓦也-%0

例2：G(S)=444s2+17S+20-125

---------4-----------77-----------，

s'+Is2+165+125+2(s+2)s+3

吊二—2X]+x?-2100

x——2M+uX=0-20x+1u

有：，2-即：〈

*3——3工3+〃00-3_1

一元2+5X[2-15Jr

>'=2xl37=

可见-2为重根，则此为约当标准型。约当块对应B阵中的行中有一列不为零,

则能控；约当块对应C阵中的列中有一列不为零，则能观。

x=Ax+如型题的解答步骤:

二、对，

[y=s

①判断系统稳定性：卜/一4=0,得4=4,52=4，…，若4<°，4<0…则系统

稳定，否则系统不稳定。

②能控性判别矩阵：

M=\bAb\<二阶>,M=\bAbA2b\<三阶>

若r（M）=n,即满秩，为完全能控，否则不完全能控。

能观性判别矩阵：N=[ccA.....Y,若为满秩，为完全能观，否则不完全能

观。

注意：如果A是对角阵且没有重根时，则用直接观察的方法判别能控、能观便可。

若b中对应的值不为0,则此状态分量能控，若b中全不为0,则为完全能控。

若c中对应的值不为0,则此状态分量能观，若c中全不为0,则完全能观。

如果A是对角阵且有重根，或是一般矩阵时，则必须用能控性判别矩阵M和能观

性判别矩阵No

③状态反馈：条件——所调整的极点对应的状态分量必须能控。

原理：

1

x=Ax+huirq,fx=（A^bk\x

\,引入k2•••x2,则有《））

y=ex.[y=ex

解题方法：特征多项式=期望多项式，即凶-（A+4:）=（.石）…

得到&,勺,a,即长=[&K2KJ

④状态观测器〈不考计算，因为太复杂〉

条件：系统完全能观，才可用状态观测器

⑤输出可控性矩阵：P=\cbCAbCA2h­••],若满秩，则输出完全可控，否

则输出不完全可控。

例3、<2001年题5>

0

-2y=[011x2

0

要求：

(1)判断系统的稳定性

(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并指出各状态分量的能控，能观性

⑶能否用线性状态反馈(7=依=也k2…卜将原有的极点7,-2,3调整为7,

-2,-3?若能请计算出K1,K2,K3的值；若不能，请说明原因。

⑷判断系统的输出可控性

解：

(1)显然有+3特征根，则系统不稳定

(2)由B阵知不完全能控，x1,x3能控，x2不能控；由C阵知不完全能观，x2,x3

能观，x1不能观。

(3)能，因为x3时能控的，设/^=[00吗],由

5+10一舄,=-1

\sI-(A+bk)=05+20故<.=-2

00s-(3+2()4=3+2K3

因此有3+2K3=-3=>长3=-3,故长=[00-3]

(4)输出可控性矩阵P=[C5CABCA2B]^\2618],秩为1,可控。

例4：<2002年题2>

X-100b、王

y=[i1C3]/

x20-10+b?u

A00a1

要求:

⑴判断系统的稳定性

(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。

(3)能否通过状态反馈使闭环系统稳定？

⑷能否应用状态观测器？

解：(1)显然a>0,系统不稳定；a=0边界状态；a<0时系统稳定。

(2)因为7时重根，由不是约当型，则用较稳妥的方法，即用可控性矩阵。

仇-仄仇Eoo

AbA%]=b-h1+12-1

22b2aa

1a000

则秩为2,为不完全能观

(3)状态反馈要通过x3进行，则要能观测x3才行。当C3不为0时，可以通过

状态反馈使闭环系统稳定。

(4)系统完全能观，才可应用状态观测器。

例5:

101

+My=[oi]玉

0-2J|_X2_0

要求：

⑴判断系统的稳定性

(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。

(3)能否通过状态反馈使闭环系统稳定？

⑷能否应用状态观测器？

解：(1)显然有+1根，则系统不稳定

(2)不完全能控，x1可，x2不可

不完全能观，x1不可，x2可

(3)因为x1能控，则可以改成7,

1+K|0

设长=因0］贝必+必

0-2

故1+&=-1=>&=-2nK=[-20]

(4)不能，因为系统不完全能观

例6：

内其中A01o-

，仇G=[21]

%=。内-3-4i

x=AX+bU甘比入_\_\_i

S?.22222，其中——l,b?=1,C9—1

%=C2X2

要求：①…②…③…

X010王0王

1My=[2ii]

解:x2-3-40x2+x2

*3

00-1“3ix3

传递函数:

010

X=X+u.，故黑=d(…尸小

加：-3-411

〔必[2l]x

三、状态方程的解，状态转移矩阵

-1

如：3⑺=Av(r)+x(，0)=%,则X(5)=[si-A][X(0)+BU(s)]

齐次，则x(f)=Z-'[(5/-A)Tx(o)]=Z-'[(.vZ-A)T].x(o)

x(r)=。⑺x(0)+[M，-T}BU(T)dr,)=cx(t)。采用变换的方法:

PT＜最简单，推荐〉

其中：p=[qp2…p„]

特另U当

一010…04，丸2，…丸〃互异

001…011••1

4=4丸2.

,则「=

0••••••01

1〃-11n-11〃一]

-ani-I……一。［

如果有二重根，则

4