2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第03讲 不等式及其性质（精讲）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第03讲不等式及其性质（精讲）①不等式性质的简单应用②比较数（式）的大小③利用不等式的性质求代数式的取值范围④不等式的综合问题一、必备知识整合一、必备知识整合1.比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或2.不等式的性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性1.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.二、考点分类精讲二、考点分类精讲【题型一不等式性质的简单应用】应用不等式性质解决问题的一般思路1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．【典例1】（单选题）（2023·湖北武汉·模拟预测）下列不等式正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，，且，则【答案】D【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；对于D，，所以，故D正确．故选：D．一、单选题1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】由不等式性质可判断选项A，B，C；取特殊值可判断选项D.【详解】对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A错误；对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确；对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误；对于选项D：当时，，故选项D错误.故选：B2．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.【详解】，即，故选项A正确；当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误；当时，由可得，故选项D错误.故选:A．3．（23-24高三上·北京房山·期末）已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.【详解】对A：若，则，故错误；对B：若，则，故错误；对C：若，则，，左右同除，有，故错误；对D：由且，为非零实数，则，即，故正确.故选：D.4．（2024·陕西西安·一模）已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即可.【详解】对于A，当，满足，但不成立，当时，满足，但不成立，故A错误；对于B，当时，，但，故B正确；对于C，时，，但不成立，时，，但不成立，故C错误；对于D，因为指数函数在上单调递增，故，故D错误.故选：B5．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对于选项A,B利用作差法即可判断；对于选项C,D利用指数函数及幂函数的单调性即可判断.【详解】对于选项A：因为，所以，由，故，选项A错误；对于选项B：因为，所以，由，故，选项B错误；对于选项C：由指数函数可知，在定义域上单调性不确定，故无法确定的大小，比如当时，则，选项C错误；对于选项D：由幂函数可知，在定义域上单调递增，且，所以，选项D正确.故选：D.【题型二比较数（式）的大小】比较两个数或代数式的大小的四种方法(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．(4)中间值法：利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝logax的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．【典例1】（单选题）（2023高三·全国·专题练习）已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（）A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N【答案】B【分析】作出M，N的差，变形并判断符号作答.【详解】，所以.故选：B.【典例2】（单选题）（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.【详解】，所以，，又因为，所以，即.故选：B.【典例3】（单选题）（23-24高一下·福建·期中）三个数，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的性质，即可比较大小.【详解】，，，所以最大，因为，所以，因为，所以，则，所以，即.故选：B一、单选题1．（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，用a表示b，再利用作差法比较大小作答.【详解】由，得，于是，即，而，且三个实数互不相等，因此，所以的大小关系是.故选：D2．（2023高三·全国·专题练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的性质分析判断即可.【详解】因为，所以．又，所以，则.故选：C．3．（2023·四川资阳·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】四次方后可比较，用即可比较【详解】故，而，所以，综上，.故选：B4．（2023·广东·二模）若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项.【详解】因为，所以.，因为，且，所以，所以，所以.故.故选：A5．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确；对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；对于C，因为，所以，而函数为减函数，所以，故C结论正确；对于D，，因为，所以，所以，所以，故D结论错误.故选：D.6．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）设，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据换底公式将变形利用不等式性质比较的大小，再根据中间量比较的解.【详解】，，又，，，，即，又，，，所以.故选：A.7．（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断范围，比较它们的大小；利用作商法比较的大小，即可得答案.【详解】因为函数在R上单调递增，所以．又，所以．因为，故在上单调递减，所以，所以，所以实数的大小关系为，故选：B．8．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）若正实数，，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作商法，根据指数函数的单调性即可比较大小.【详解】解：是正实数，且，，由，得，，，，，，，即，综上可知，，故选：C.【题型三利用不等式的性质求代数式的取值范围】利用不等式的性质求代数式的取值范围的一般思路1．判断不等式是否成立的方法(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．2．利用不等式的性质求取值范围的方法(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．【典例1】（单选题）（22-23高一上·四川眉山·期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的性质得到的范围，再和的范围相加即可.【详解】,，又，故选：C【典例2】（单选题）（22-23高一上·山东济宁·期末）已知，，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先用和表示，再根据条件的范围，求解的范围.【详解】设，得，解得：，所以，因为，，所以，，所有的范围是.故选：C一、单选题1．（2023高三·全国·专题练习）已知,则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案【详解】因为,所以,由,得,故选：A2．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.【详解】因为，所以，对于A，，,,综上可得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：D.3．（22-23高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用不等式性质求目标式范围.【详解】由题设，则，又，所以.故选：C4．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，结合不等式的性质求解即可.【详解】由题意，，故，即.故选：D二、填空题5．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）已知，，则的取值范围是.【答案】【分析】运用不等式的性质即可求得结果.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.即的取值范围为.故答案为：.6．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是．【答案】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由可得，所以，故答案为：7．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是，的取值范围是.【答案】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】因为，所以.又，所以，所以，即的取值范围是.因为所以，即，所以的取值范围是答案：,8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知，则的取值范围是.【答案】【分析】，根据求出的取值范围.【详解】因，而，则，即，即，所以的取值范围是.故答案为：9．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是.【答案】【分析】先得到，并根据得到，从而求出.【详解】因为，故，由得，解得，故.故答案为：【题型四不等式的综合问题】【典例1】（单选题）（2023·四川南充·一模）已知：，，则下列说法中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，，得到，再由，得到，然后逐项判断.【详解】解：因为，，所以，则，故A正确；因为，则，所以，即，故B正确：因为，所以，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：D一、单选题1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知，条件，条件，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A.2．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确；对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；对于C，因为，所以，而函数为减函数，所以，故C结论正确；对于D，，因为，所以，所以，所以，故D结论错误.故选：D.3．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意进行转化，利用完全平方式的性质即可得解.【详解】由可得：，当时取等号，所以的最小值为.故选：B4．（2024高三下·全国·专题练习）记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得，，所以，即，解不等式即可得到答案.【详解】因为，所以，，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故选：A5．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的单调性和对数的换底公式逐项判断即可.【详解】对于A，，，且，A错误；对于B，，，，即，B正确；对于C,，C错误；对于D，，，即，故D错误.故选：B二、多选题6．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知，则以下不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据不等式的性质判断A，由即可判断B，利用特殊值判断C，由，再利用基本不等式判断D.【详解】当，所以，则，当时可得，所以，则，当时，，所以，综上可得，故A正确；