2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第04练 基本不等式及其应用（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第04练基本不等式及其应用（精练）1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最值问题．3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．二、多选题2．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．三、填空题3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．【答案】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.

四、解答题4．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．【详解】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．【A级

基础巩固练】一、单选题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：C2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】利用基本不等式直接求出最大值.【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为3.故选：D3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【答案】B【分析】利用基本不等式，直接计算即可.【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意.故选：B.4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】利用基本不等式和不等式的加法性质即可求解.【详解】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为8.故选：C.5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若且，若的最大值为，则正常数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】借助基本不等式计算即可得.【详解】，当且仅当时，等号成立，则，故.故选：B.6．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正数a，b满足，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值4.故选：C7．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.【详解】因为，可得，且，，可知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1.故选：B.8．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（

）A．6 B．4 C．8 D．3【答案】A【分析】由平面向量共线的坐标表示得到，再由基本不等式计算可得.【详解】因为，且与共线，所以，所以，又，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故选：A9．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数，，满足（），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助已知可变形得，借助基本不等式可求范围.【详解】根据已知，可得，则，因为，所以，所以上式，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围是.故选：D10．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助不等式的性质与基本不等式逐项判断即可得.【详解】对A：由，故，即，故A错误；对B：由，，则，且，当且仅当时，等号成立，故，故B正确；对C：由，故，即有，又由B可得，即，故C错误；对D：由，故，即，故D错误.故选：B.11．（2024·山东枣庄·一模）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【详解】若，，，则，充分性成立；若，可能，，此时，所以必要性不成立．综上所述，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．12．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】由不等式的性质以及基本不等式即可求解.【详解】由题意均为正实数，，所以，左边第一个不等号成立的条件是，右边第二个不等号成立的条件是，综上所述，当且仅当时，取最小值，且.故选：B.二、多选题13．（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】因为x≥1，所以(当且仅当x＝2时取等号)；，但是等号取不到；因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号；因为x≥1，所以(当且仅当x＝1时取等号).故选：ACD.14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正数a，b满足，则（

）A． B．a与b可能相等C． D．的最小值为【答案】BD【分析】根据给定条件，结合基本不等式及“1”的妙用逐一判断即得.【详解】由正数a，b满足，得，A错误；若，则，而a为正数，则，B正确；显然，则，当且仅当时取等号，C错误；，当且仅当时取等号，D正确.故选：BD15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数满足，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据已知可直接得到A；根据换元法得B；乘“1”法得到C；基本不等式判断D即可.【详解】对于A，由题可得，即，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故B不正确；对于，当且仅当时，等号成立，故正确；对于D，，当且仅当时，等号成立，故D不正确.故选：AC.三、填空题16．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当时，取最小值为．【答案】514【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取最小值为.故答案为：；.17．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为.【答案】/【分析】根据基本不等式求解．【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是．故答案为：．18．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数满足，则的最小值是．【答案】4【分析】由基本不等式求解即可．【详解】因为为正数，，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：4．19．（23-24高二下·云南·阶段练习）设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为．【答案】2【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为曲线过定点，所以，即，则，当且仅当时,即时取“”，所以的最小值为2．故答案为：220．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为.【答案】9【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.【详解】由，得，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9.故答案为：921．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当米时，直角梯形花坛的面积最大．

【答案】【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解.【详解】由题意米，则直角梯形花坛的面积，当且仅当，即时，等号成立，所以当米时，直角梯形花坛的面积最大．故答案为：.22．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最小值为．【答案】【分析】利用均值定理即可求得的最小值.【详解】，因为，故，（当且仅当，即时取等号．）则的最小值为,故答案为：四、解答题23．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．(1)求的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．【答案】(1)(2)当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元【分析】（1）由建造费与能源消耗费求和可得；（2）利用基本不等式求解即可.【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，∴.（2）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，取得最小值，∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元.24．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，，，求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】运用基本不等式对（1）（2）进行求解即可.【详解】（1）∵，，，∴，，当且仅当时，等号成立.∴；（2）∵，，∴，当且仅当时，等号成立；∵，，∴，当且仅当时，等号成立；∵，，∴，当且仅当时，等号成立；累加，得，证毕.25．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）(1)求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式．(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元【分析】（1）依题意可得，再分、分别求出的解析式；（2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求出每一段上的最大值，再取两者较大的即可．【详解】（1）依题意，当时，，当时，，故；（2）若，，当时，，若，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，，又，故年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元．26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明：(1)对任意的正实数，，，证明：；(2)设，，为正实数，且，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由基本不等式得到，相加后得到答案；（2）由基本不等式得到，相加后得到答案.【详解】（1）由基本不等式可得，所以，即当且仅当时取等；（2）因为所以，即，因为所以，所以，当且仅当时取等【B级

能力提升练】一、单选题1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值.【详解】，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5.故选：A.2．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值【答案】D【分析】由题意，，，利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，.当且仅当，即时等号成立，所以函数有最大值.故选：D.3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解.【详解】因为，且，所以，从而，等号成立当且仅当，所以的最小值为.故选：A.4．（2024·辽宁·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解.【详解】由，，，，当且仅当，即时等号成立.故选：A.5．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对于AB，利用对数函数的性质即可判断；对于CD，利用对数的运算得到，结合基本不等式即可判断.【详解】因为，所以，对于A，易得，所以，故A成立.对于B，因为，所以，故B成立.对于C，，当且仅当时，等号成立，显然等号不成立，所以，故C不成立.对于D，因为且，所以，故D成立.故选：C.6．（2024·辽宁大连·一模）若奇函数，则的最小值为（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用奇函数的定义与对数运算可得，结合奇函数的定义域可得，在利用基本不等式即可得的最小值.【详解】若为奇函数，则，所以，则，整理得，又因为，奇函数的定义域满足，即，结合可得，即，故所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值.故选：B.7．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约，横约，挂在墙上最低点离地面，小兰身高(头顶距眼睛的距离为.为使观测视角最大，小兰离墙距离应为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意只需最大，设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，求出，，设，则，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.【详解】由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，则依题意可得（cm），（cm），，设，则，且，，故所以，当且仅当即时等号成立，故使观赏视角最大，小兰离墙距离应为cm.故选：C.8．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由基本不等式和可得，化简可得，令，利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，所以．因为，令，则，，所以，由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值，所以当时，，所以.故选：B．9．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】先设，然后将健身广场的面积表示为的函数，再使用基本不等式和二次函数的性质确定取得最大值时的取值，最后求出此时的长度.【详解】如图，设半圆的半径是，并设，则，由知.

由于，故四边形和四边形都是上底为，下底为，高为的梯形.所以，健身广场的面积.从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是最大的时候，而我们又有：，第一个不等号使用了基本不等式.等号成立当且仅当且，即且.由于时，故等号成立当且仅当.以上结论表明，的最大值是，且取到最大值当且仅当.由，我们得到当健身广场的面积最大时，的长度为.最后，由是半圆的半径，再根据题目条件，知等于200米，所以的长度为米，D选项正确.故选：D.二、多选题10．（2023·浙江绍兴·二模）已知，，，则（

）A．且 B．C． D．【答案】ABD【分析】由，可得，即可判断，同理判断，判断A；利用基本不等式可判断B，C，D；【详解】对于A，，，，则，故，同理可得，A正确；对于B，，，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，，，则，则，当且仅当，即时取等号，C错误；对于D，由于，故，当且仅当时取等号，而，故，D正确，故选：ABD11．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最小值 D．的最小值为【答案】ABD【分析】利用基本不等式可判断各选项.【详解】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确；B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确；C选项：由，得，所以，当且仅当，即，时取等号，故C选项错误；D选项：由A的分析知且，时取等号，所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确；故选：ABD．12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知．则下列结论正确的有（）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为3 D．

【答案】BD【分析】对于A：求关于b的函数的最值并验证等号的取得；对BC：使用基本不等式求最值并验证等号的取得；对D：求关于b的函数的最值并验证等号的取得.【详解】因为，，所以，，对于A：，当，即时，有最大值，而，取不到最值，故A错，对于B：，当且仅当，即当时取等号，所以B正确，对于C：，当且仅当，即时等号成立，而，所以取不到最值，故C错，对于D：因为，所以，所以，设，，则，所以在上递减，所以，所以，故D正确，故选：BD三、填空题13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数满足，则的最大值为．【答案】10【分析】利用基本不等式求积的最大值即可.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故的最大值为10．故答案为：1014．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，，，则的最大值为.【答案】/【分析】根据基本不等式求最大值即可.【详解】因为，，，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为为,故答案为：.15．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是．【答案】/．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.【详解】由，得，因为，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是．故答案为：．16．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为．【答案】/【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得.【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为．故答案为：．17．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为.【答案】【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.18．（23-24高一上·浙江·期末）已知，则的最小值为．【答案】/【分析】根据已知条件，结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解．【详解】因为，所以设，则，所以，，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．四、解答题19．（2024·全国·二模）已知实数，满足.(1)求证：；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将两边平方后利用基本不等式证明；（2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.【详解】（1）由得，当且仅当时等号成立，所以；（2）由已知，则，则，当且仅当，即一个为，一个为时等号成立.所以的最小值.20．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得证．（2）将代入“”中，从而利用基本不等式即可得证．【详解】（1）由，所以．所以，当且仅当，即时取等号，所以，由此得证．（2）因为，当且仅当，即时取等号，所以，由此得证．21．（23-24高一下·甘肃白银·期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成，，三块区域，图中是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边上（点E与D，C均不重合），F在鱼塘岸边．上（点F与B，C均不重合）．其中△的面积与四边形的面积相等，△为等边三角形．

(1)若测得EC的长为80米，求的长．(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢网所需的花费最少？最少约为多少元？（安装费忽略不计，取）【答案】(1)62.5米(2)E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米，6828元．【分析】（1）由，结合三角形的面积公式求解即可.（2）设米，米，，．由余弦定理和三角形的面积公式可求出，再由基本不等式求解即可.【详解】（1）依题意得平方米，由米，得平方米，解得米，即CF的长为62.5米，（2）设米，米，，．在△ECF中，由余弦定理可得，因为平方米，所以米，所以，则，当且仅当，即时，等号成立．故当E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米时，EF最短，此时购买的不锈钢网面积最小，花费最小．当时，不锈钢网的面积为平方米，所需的花费最少为元．22．（2023·贵州黔西·一模）设，，均为正数，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；（2）由已知得若证，即证，再根据，，，即可得证.【详解】（1）由，得，又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，当且仅当时，上述不等式等号均成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立；（2）因为，，均为正数，所以若证，即证，又，，，当且仅当时，不等式等号均成立，则，即，当且仅当时等号成立.23．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知，．(1)若，证明：．(2)若，求的最小值．(3)若，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）依题意可得，要证，即证，利用基本不等式计算可得；（2）利用基本不等式得到关于的不等式，解得即可；（3）依题意可得，再利用基本不等式得到关于的不等式，解得即可.【详解】（1）因为，所以，又，，则，要证，即证，即证，而，当且仅当，即时等号成立，所以原命题得证；（2）因为，且，所以，当且仅当时取等号，所以或（舍去），当且仅当时取等号，所以的最小值为.（3）因为，所以，则，又，当且仅当时等号成立，即，所以，显然，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为.【C级

拓广探索练】一、单选题1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值.【详解】，，又均为正实数，（当且仅当时取"=")，，此时.，，当且仅当时取得"="，满足题意.的最大值为1.故选：B.【点睛】对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元.2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，于是，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：B3．（2024·全国·模拟预测）设为中最大的数.已知正实数，记，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】根据函数定义可知，，，再由基本不等式可得当时，取得最小值2.【详解】由，得，，，所以，即，因为，所以；由基本不等式可得，所以，所以，，当，即时，取得最小值2.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数定义得出，，，再结合基本不等式求得.4．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.【详解】法一：∵，∴可设，，∴，代入所求式子得，，当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.法二：设，，代入已知等式得，，∴，其中，.∴，所以的最小值为.故选：D二、多选题5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ABD【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后